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        李超三系的形心及其性質(zhì)

        2014-02-10 03:05:06趙冠華朱玉龍
        安徽大學學報(自然科學版) 2014年3期
        關(guān)鍵詞:形心李超代數(shù)

        趙冠華,朱玉龍,劉 潔

        由于李超三系在數(shù)學和物理上的一些應用,特別是可以用于求解Yang-Baxter方程,從而引起了人們的研究興趣[1-5].形心的概念在研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)和分類中起著重要的作用[6-14],受此啟發(fā),論文將討論李超三系的形心及其性質(zhì).首先回顧一些基本概念,未提到的有關(guān)概念請分別參閱文獻[4,14].

        設(shè)V=V0⊕V1是Z2-階化線性空間,其中:V0={x∈V|d(x)=0},V1={x∈V|d(x)=1},d(x)表示x的階化次數(shù).簡記(-1)d(x)d(y)=(-1)x·y.總假定文中的元素是齊次的,即或者x∈V0,或者x∈V1.

        定義1 一個Z2-階化線性空間T=T0⊕T1,如果它有三元線性運算滿足

        1)d([x,y,z])=d(x)+d(y)+d(z)(mod 2);

        2)[x,y,z] = - (- 1)xy[y,x,z];

        3)(- 1)xz[x,y,z]+(- 1)yx[y,z,x]+(- 1)zx[z,x,y] =0;

        4)[u,v,[x,y,z]]= [[u,v,x],y,z]+(- 1)(u+v)x[x,[u,v,y],z]+(- 1)(u+v)(x+y)[x,y,[u,v,z]].則稱 T 為一個李超三系.

        設(shè)T=T0⊕T1是一個李超三系,L是T的Z2-階化子空間,若[L,T,T]?L,稱L是T的理想.若I,J分別是李超三系T的理想,則I+J,I∩J都是T的理想.令Z(T)={x∈T|[x,T,T]=0},稱Z(T)是T的中心,顯然Z(T)是T的理想.

        規(guī)定李超三系T的左乘和右乘變換分別為

        L(x,y):L(x,y)(z)= [x,y,z];R(x,y):R(x,y)(z)=(- 1)z·(x+y)[z,x,y],?x,y,z∈ T.

        顯然d(L(x,y))=d(x)+d(y),d(R(x,y))=d(x)+d(y)(mod 2).若李超三系T的所有左乘變換的集合記為 H=L(T,T)={∑L(xi,yj)|xi,yj∈ T},可得到 H 構(gòu)成一個李超代數(shù)[4].

        設(shè) T=T0⊕ T1是一個李超三系,令 EndαT={φ ∈ End T| φTs? Ts+α,s=0,1},α =0,1.則結(jié)合超代數(shù)End T=End0T⊕End1T,按照運算[a,b]=ab-(-1)abba構(gòu)成李超代數(shù).

        定義2 設(shè)T是一個李超三系.稱Γ(T)={φ∈End T|[φ,L(x,y)]=[R(x,y),φ]=0}為李超三系T的形心.

        定義3 設(shè)T是一個李超三系.在空間直和L(T)=T⊕H中規(guī)定二元運算,滿足

        [t1⊕h1,t2⊕h2]=(h1(t2)- (- 1)h2·t1h2(t1))⊕(L(t1,t2)+[h1,h2]),?t1,t2∈T,h1,h2∈H.則稱L(T)為李超三系T的標準嵌入李超代數(shù).

        定理1 設(shè)T為一個李超三系,則

        證明 由 Γ(T)={φ ∈ End T|[φ,L(x,y)] = [R(x,y),φ] =0},可得

        對任意 x,y,z∈ T,有

        又由 φR(x,y)(z)=(- 1)φ·(x+y)R(x,y)φ(z),(- 1)φ(x)=(- 1)φ +x,可得

        定理2 設(shè)T為一個李超三系.則Γ(T)是一個可換的李超代數(shù).

        證明 對任意 φ,φ ∈ Γ(T),x,y,z∈ T,有

        由定理 1可知 φφ ∈ Γ(T),即 Γ(T)是一個結(jié)合超代數(shù).規(guī)定二元運算[φ,φ] =φφ -(-1)φ·φφφ,易證Γ(T)可以構(gòu)成一個李超代數(shù).

        又由 φφ[x,y,z] = φ[φ(x),y,z] =(- 1)φ·(φ(x)+y)[φ(x),y,φ(z)],有

        即[φ,φ]=0,所以Γ(T)是一個可換的李超代數(shù).

        定理3 設(shè)T為一個單李超三系.則Γ(T)具有可除性.

        證明 由于T的理想在H作用下是不變的,T為單李超三系當且僅當H是不可約超代數(shù).

        對任意 φ ∈ Γ(T),φ ≠0,x,y∈ T,有

        可得φ(T)在H作用下是不變的,即φ(T)=T.從而φ是一個滿射.又由T為單李超三系,可得kerφ =0.從而φ是一個單射.所以φ是一個雙射,即φ-1∈End T.

        對任意 x,y,z∈ T,有

        從而φ-1∈Γ(T),即Γ(T)具有可除性.

        定理4 設(shè)T為一個李超三系,L(T)=T⊕H為其標準嵌入李超代數(shù).則對任意φ∈Γ(T),存在ψ ∈Γ(L),使得 ψ|T= φ,ψ|H∈ Γ(H).

        證明 對任意φ∈Γ(T),t⊕h∈L(T).規(guī)定L(T)上的變換:

        任取 h∈ H,由[φ,h] =0,故有 φh=(-1)φ·hhφ.對任意 h∈ H,可得

        對任意 t1,t2,z∈ T,可得

        即對任意t1⊕h1,t2⊕h2∈L(T),可得

        所以 ψ ∈ Γ(L).顯然 φ|T= φ,又由 φh=(-1)φ·hhφ,可得 φ|H∈Γ(H).

        設(shè)L(T)為李超三系T的標準嵌入李超代數(shù).規(guī)定L(T)的自同構(gòu)

        則稱θ為L(T)的主對合自同構(gòu).

        引理[4]設(shè)L(T)為李超三系T的標準嵌入李超代數(shù).則對?x,y,z∈T,有

        定理5 設(shè)T為一個李超三系,L(T)=T⊕H為其標準嵌入李超代數(shù).若對任意ψ∈Γ(L),且ψθ= θψ.則有 ψ |T∈ Γ(T).

        證明 任取t∈T,由于

        可得ψ(t)∈T,即ψ|T∈End T.

        對任意 x,y,z∈ T,有

        所以

        致謝:在寫作過程中得到了河北大學張知學教授的指導和幫助,在此深表謝意.

        [1] Okubo S,Kamiya N.Quasiclassical Lie superalgebras and Lie supertriple systems[J].Comm Alg,2002,8:3825 -3850.

        [2] Okubo S,Kamiya N.Jordan- Lie superalgebras and Jordan - Lie supertriple systems[J].J Alg,1997,198:388 -411.

        [3] Okubo S.Triple products and Yang - Baxter equation and symplectic ternary systems[J].J Math Phys,1993,34:3273-3292.

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        [5] 潘玉霞,張慶成.李超三系的分解唯一性[J].數(shù)學物理學報,2008,28A:1058-1066.

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