林承初
(廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 南寧市 530000)
金融數(shù)學(xué)最早作為學(xué)科出現(xiàn)是在上世紀(jì)80年代,Duffie認(rèn)為金融數(shù)學(xué)是不確定條件下的不同時(shí)期框架證券組合選擇理論和資產(chǎn)定價(jià)理論,在金融數(shù)學(xué)中,套利、最優(yōu)、均衡是最主要的概念,是金融數(shù)學(xué)研究思想的基礎(chǔ)。發(fā)展到今天,金融數(shù)學(xué)成為了金融學(xué)、數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的交叉學(xué)科,逐漸成為一門應(yīng)用科學(xué)。
1900 年,法國(guó)數(shù)學(xué)家Bachelier發(fā)表了學(xué)位論文《投機(jī)理論》,將股市運(yùn)作視作一種布朗運(yùn)動(dòng),假設(shè)其為絕對(duì)布朗運(yùn)動(dòng),定義其到期日買方預(yù)期價(jià)格為:
式中:S-股票價(jià)格;X-執(zhí)行價(jià)格;Vc-買方價(jià)格;φ-標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)。
之后幾十年金融數(shù)學(xué)發(fā)展相對(duì)緩慢,直到20世紀(jì)中葉,計(jì)算機(jī)技術(shù)逐漸發(fā)展起來(lái),金融數(shù)學(xué)利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能力,獲得了自身的發(fā)展,金融學(xué)的適用性逐漸被理論界、實(shí)務(wù)界和計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)界重視。
Markowitz在1959年又提出了證券選擇理論,主要研究單個(gè)投資者的資產(chǎn)組合行為。Sharpe-Lintner提出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型,深入探討投資者的總體行為和市場(chǎng)資產(chǎn)定價(jià)內(nèi)在機(jī)理。標(biāo)準(zhǔn)CAPM模型依據(jù)均值-方差理論以及一些嚴(yán)格假設(shè),和實(shí)際出入較大。70年代之后,非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的CAPM模型逐漸衍生出來(lái),金融神童Ross提出了嶄新思路的套利定價(jià)理論:
1992 年,Duffie和Epstein使用隨機(jī)微分效用確定環(huán)境下的效用函數(shù),獲得特殊情況的BSDE。1993年Antonelli提出了正-倒向隨機(jī)微分方程,1994年Ma Protter和Yong獲得了有效位FBSDE的一般形式,標(biāo)志著有限維倒向隨機(jī)微分方程理論研究逐漸完善,在投資決策、期權(quán)定價(jià)和隨機(jī)微分效用等經(jīng)濟(jì)理論實(shí)踐中提供了十分有力的分析和近似計(jì)算方法。
Copula能夠?qū)鹑谑袌?chǎng)不同資產(chǎn)相關(guān)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性進(jìn)行良好描述,是一種特殊的多元變量分布,邊緣分布為(0,1)上的均勻分布。
隨機(jī)變量 X、Y邊緣分布函數(shù) F(x)=Pr(X<x) 和 G(y)=Pr(Y<y),聯(lián)合分布函數(shù)為H(x,y)=Pr(X<x,Y<y)。Copula函數(shù)是一個(gè)能夠聯(lián)合單個(gè)邊緣分布和多元聯(lián)合部分的函數(shù),連續(xù)多元分布函數(shù)中,單變量邊緣分布和多變量相依結(jié)構(gòu)能夠分離開,Copula函數(shù)模式適用于描述任意邊緣函數(shù)多元分布函數(shù)。
1.線性相依
通過(guò)線性相關(guān)系數(shù)度量,線性相關(guān)系數(shù)為:
線性相關(guān)可以直接計(jì)算相關(guān)系數(shù),線性條件下相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差的計(jì)算比較方便,多元正態(tài)分布是一個(gè)相依性較強(qiáng)的普通度量,但是金融資產(chǎn)收益并非正態(tài)分布,具有明顯的厚尾分布特征,線性相關(guān)描述資產(chǎn)之間的相依性不足比較明顯。
2.秩相關(guān)
有Kendall秩相關(guān)和Spearman秩相關(guān)兩種,是連續(xù)隨機(jī)變量組,對(duì)稱并且范圍在-1-1之間。
Q-Q圖對(duì)樣本數(shù)據(jù)的鑒別比較直觀,通過(guò)觀察Q-Q圖上點(diǎn)是否在同一條直線上來(lái)確定樣本數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)相關(guān),所以選擇Q-Q圖能夠比較清晰的反映樣本的擬合度。
計(jì)算投資組合收益。收益和風(fēng)險(xiǎn)未必成正比,高收益不代表高風(fēng)險(xiǎn)。在金融市場(chǎng)中,投資者能夠根據(jù)數(shù)量化投資選擇風(fēng)險(xiǎn)低并且收益穩(wěn)定的資產(chǎn)組合,比較符合大多數(shù)投資者的心理期望實(shí)際。
金融證券是經(jīng)濟(jì)高度發(fā)展的必然產(chǎn)物,金融數(shù)學(xué)對(duì)證券投資組合的指導(dǎo)作用是十分顯著的,但是金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)處理量巨大,離散型和連續(xù)性變量混雜,所以在研究金融數(shù)學(xué)模型的同時(shí),研究高效的海量數(shù)據(jù)處理工具同樣十分必要。
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