辛自強(qiáng) 韓玉蕾

(1中央財(cái)經(jīng)大學(xué)社會(huì)發(fā)展學(xué)院心理學(xué)系, 北京 100081) (2北京市房山區(qū)考試中心, 北京 102412)

1 問(wèn)題提出

等值分?jǐn)?shù)是表示具有相等值的分?jǐn)?shù)(Chapin &Johnson, 2006), 例如1/2 = 2/4。它建立在分子和分母之間的乘法關(guān)系不變性前提上。等值是分?jǐn)?shù)知識(shí)體系中的基礎(chǔ)性概念, 對(duì)于學(xué)習(xí)通分、約分以及比例關(guān)系等內(nèi)容具有重要意義。

國(guó)內(nèi)外研究均表明, 學(xué)生普遍不能很好地掌握等值分?jǐn)?shù)的概念(Mitchell & Horne, 2010; Nunes &Bryant, 2008; 蘇洪雨, 2007)。國(guó)外調(diào)查發(fā)現(xiàn), 有60%的四年級(jí)學(xué)生和51%的六年級(jí)學(xué)生認(rèn)為10/12是5/6的2倍(Mcnamara & Shaughnessy, 2010)。我國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)盡管優(yōu)于國(guó)外同齡者, 但同樣不能很好地理解這一概念。研究發(fā)現(xiàn), 五年級(jí)以上學(xué)生對(duì)等值分?jǐn)?shù)的運(yùn)算程序較為熟練, 但對(duì)其概念的理解比較薄弱(蘇洪雨, 2007)。

新皮亞杰學(xué)派的代表人物Kamii等人(Kamii &Clark, 1995; Sophian, 2007)提出, 兒童不能理解等值分?jǐn)?shù)的原因是未發(fā)展起等值分?jǐn)?shù)的運(yùn)算思維, 包括守恒觀念和乘法思維。守恒指物體某方面的特征(如重量或體積), 不因其另一方面的特征(如形狀)改變而改變(Piaget & Inhelder, 1997)。獲得守恒觀念的前提是對(duì)相對(duì)量的認(rèn)識(shí), 即整體的大小是由兩個(gè)部分量共同決定的。乘法思維指表征某一情境的數(shù)量之間存在著確定的倍數(shù)關(guān)系(Smith, Solomon,& Carey, 2005)。乘法思維的發(fā)展也要以相對(duì)量概念的發(fā)展為基礎(chǔ), 尤其是要理解兩個(gè)量之間的協(xié)變關(guān)系, 即兩個(gè)量同向變化, 而它們之間的關(guān)系保持不變?？梢?jiàn), 相對(duì)量概念的發(fā)展是等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的基礎(chǔ)。

Piaget和Inhelder (1975)認(rèn)為, 兒童要到抽象運(yùn)算階段(11歲以后)才能獲得比例守恒的概念。但后來(lái)的研究發(fā)現(xiàn), 兒童很早就具有對(duì)等值分?jǐn)?shù)的非符號(hào)化的理解(Siegler, Fazio, Bailey & Zhou, 2013)。McCrink和Wynn (2007)發(fā)現(xiàn), 6個(gè)月大的嬰兒能夠正確地分辨變化了的兩個(gè)因素的比例, 當(dāng)重復(fù)呈現(xiàn)藍(lán)點(diǎn)與黃點(diǎn)的數(shù)量比為2：1的圖片時(shí), 嬰兒表現(xiàn)出習(xí)慣化, 而當(dāng)數(shù)量比變?yōu)?：1時(shí), 嬰兒出現(xiàn)去習(xí)慣化。在Spinillo和Bryant (1991)的研究中, 6、7歲兒童能對(duì)由藍(lán)白兩種顏色填充的長(zhǎng)方形模型與圖片進(jìn)行匹配。

對(duì)于上述現(xiàn)象, 學(xué)者們經(jīng)過(guò)多項(xiàng)研究證實(shí), 這是由于兒童具有一個(gè)直覺(jué)數(shù)學(xué)系統(tǒng)—— 類(lèi)比數(shù)值系統(tǒng)(Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004; McCrink& Wynn, 2007; van Marle & Wynn, 2009)。在非計(jì)數(shù)的條件下, 嬰兒和學(xué)前兒童能夠通過(guò)該系統(tǒng)以近似、抽象的方式表征兩個(gè)數(shù)的比。但當(dāng)兒童初步發(fā)展起計(jì)數(shù)能力后, 就容易受整數(shù)等值的干擾, 當(dāng)?shù)戎捣謹(jǐn)?shù)問(wèn)題中有計(jì)數(shù)線索時(shí), 傾向于使用按絕對(duì)量判斷的錯(cuò)誤策略。

為了檢驗(yàn)這一解釋, Boyer等人(Boyer, Levine,& Huttenlocher, 2008)采用橙汁濃度匹配實(shí)驗(yàn), 對(duì)幼兒園至小學(xué)四年級(jí)的兒童進(jìn)行考察。實(shí)驗(yàn)材料采用圖片呈現(xiàn), 每幅場(chǎng)景包括一個(gè)原始項(xiàng)和兩個(gè)選項(xiàng),要求被試從兩杯橙汁和水的混合物中選擇與原始項(xiàng)濃度相同的那杯。每一個(gè)杯子由兩種顏色填充,分別代表橙汁和水。在一些任務(wù)中, 杯子上標(biāo)有刻度以便被試能夠?qū)λ统戎牧窟M(jìn)行計(jì)數(shù), 代表離散量任務(wù), 另一些任務(wù)的杯子上未標(biāo)刻度, 代表連續(xù)量任務(wù)。該實(shí)驗(yàn)設(shè)置了4種組間條件, 分別為：原始項(xiàng)和選項(xiàng)均為連續(xù)量; 原始項(xiàng)為連續(xù)量, 選項(xiàng)為離散量; 原始項(xiàng)為離散量, 選項(xiàng)為連續(xù)量; 原始項(xiàng)和選項(xiàng)均為離散量。結(jié)果發(fā)現(xiàn), 只有原始項(xiàng)和選項(xiàng)均為離散量條件下的正確率低于隨機(jī)水平, 且顯著低于其他3種條件下的正確率, 其他3種條件之間無(wú)顯著差異, 這表明只有在能夠進(jìn)行數(shù)量匹配的條件下兒童才會(huì)被誤導(dǎo), 兒童的錯(cuò)誤是受整數(shù)等值的干擾造成的; 四年級(jí)的正確率顯著高于二、三年級(jí), 后者又顯著高于幼兒園和一年級(jí), 只有幼兒園和一年級(jí)的正確率低于隨機(jī)水平, 這說(shuō)明隨著年齡的增長(zhǎng), 兒童解決等值分?jǐn)?shù)問(wèn)題的能力顯著提高。

在這里, Boyer等人(2008)的研究只說(shuō)明了低年級(jí)兒童容易受整數(shù)等值思維的干擾, 并沒(méi)有進(jìn)一步分析這反映了運(yùn)算思維處于哪個(gè)水平, 也沒(méi)有深入揭示低年級(jí)與高年級(jí)兒童在等值分?jǐn)?shù)概念水平的差異, 以及從低年級(jí)到高年級(jí)的概念發(fā)展過(guò)程, 而這些對(duì)于指導(dǎo)等值分?jǐn)?shù)的早期教學(xué)是具有重要意義的。Boyer等人提出, 有必要進(jìn)一步探討等值分?jǐn)?shù)教學(xué)的有效方法, 可以借助兒童在連續(xù)量任務(wù)上的成功給離散量任務(wù)搭建支架, 通過(guò)兩種問(wèn)題的比較可能使其運(yùn)用正確的直覺(jué)性加工過(guò)程而非錯(cuò)誤的計(jì)數(shù)策略來(lái)解決離散量問(wèn)題。一些教育研究者(Fuson & Abrahamson, 2005; Pitkethly & Hunting,1996)也提倡將教學(xué)與兒童的直覺(jué)性知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。這實(shí)際上體現(xiàn)了支架式教學(xué)的思想(Henderson,Many, Wellborn, & Ward, 2002), 它的理論基礎(chǔ)是“最近發(fā)展區(qū)”概念(Vygotsky, 1978)。“最近發(fā)展區(qū)”是兒童獨(dú)立解決問(wèn)題時(shí)的實(shí)際發(fā)展水平和在他人指導(dǎo)下解決問(wèn)題時(shí)的潛在發(fā)展水平之間的距離。因此我們需要確定兒童的等值分?jǐn)?shù)概念的實(shí)際發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平。具體來(lái)說(shuō), 各年齡兒童的運(yùn)算思維處于哪個(gè)層次, 怎樣促進(jìn)兒童的概念水平由低向高發(fā)展, 這些問(wèn)題需要結(jié)合守恒觀念和乘法思維的發(fā)展來(lái)進(jìn)行細(xì)致地分析和探討。當(dāng)前的研究主要聚焦于個(gè)體對(duì)等值分?jǐn)?shù)的加工特點(diǎn)(Boyer &Levine, 2012; Meert, Grégoire, Seron, & No?l, 2012)以及小學(xué)高年級(jí)及其后階段關(guān)于等值分?jǐn)?shù)的正式教學(xué)(Fernández, Llinares, Van Dooren, De Bock, &Verschaffel, 2009; Jitendra et al., 2009; Nunokawa,2012), 很少專(zhuān)門(mén)探討我國(guó)小學(xué)低年級(jí)兒童等值分?jǐn)?shù)概念的理解(這時(shí)兒童尚未正式學(xué)習(xí)等值分?jǐn)?shù))以及干預(yù)方法。

本研究擬通過(guò)分析不同年齡兒童的運(yùn)算思維水平來(lái)確定個(gè)體的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展過(guò)程, 并基于“最近發(fā)展區(qū)”理論對(duì)小學(xué)低年級(jí)兒童的守恒觀念和乘法思維實(shí)施干預(yù), 以提高其等值分?jǐn)?shù)概念水平。實(shí)驗(yàn)1改進(jìn)了Boyer等人(2008)的橙汁濃度匹配任務(wù), 考察小學(xué)一至三年級(jí)兒童在不同數(shù)量性質(zhì)條件下的正確率和策略使用情況, 以確定其運(yùn)算思維水平, 在此基礎(chǔ)上描述總體的概念發(fā)展過(guò)程, 并以此來(lái)界定各年級(jí)兒童所處的發(fā)展階段。鑒于一年級(jí)主要學(xué)習(xí)加法思維, 二年級(jí)主要學(xué)習(xí)乘法思維,三年級(jí)初步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的正式知識(shí), 考察這3個(gè)年級(jí)的等值分?jǐn)?shù)概念特點(diǎn), 能夠較為全面地揭示兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展過(guò)程。在Boyer等人的研究中,連續(xù)量和離散量是通過(guò)杯子上有無(wú)刻度來(lái)區(qū)分的,但是在杯子上標(biāo)刻度的情況并非完全的離散量, 因?yàn)閮和赡軙?huì)忽視刻度而將其當(dāng)作連續(xù)量, 即便如此也能正確解決問(wèn)題。為此, 本研究中設(shè)置了一種新的離散量條件—— 將水和橙汁分別裝在一個(gè)個(gè)小杯子中, 而將有刻度的情況作為混合量條件(同時(shí)提供了連續(xù)量和離散量信息), 因此共有3種數(shù)量性質(zhì)條件：連續(xù)量、混合量和離散量。另外, 為考察兒童對(duì)部分和整體的加工特點(diǎn), 實(shí)驗(yàn)設(shè)置了兩種干擾條件, 一種條件是干擾項(xiàng)和原始項(xiàng)的橙汁量相等(即部分絕對(duì)量相等), 另一種條件是干擾項(xiàng)和原始項(xiàng)的橙汁和水總量相等(即整體絕對(duì)量相等)。

實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3根據(jù)每個(gè)年級(jí)兒童的實(shí)際發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平, 設(shè)計(jì)適合其水平的干預(yù)實(shí)驗(yàn),促進(jìn)相應(yīng)年級(jí)兒童的等值分?jǐn)?shù)概念水平的發(fā)展, 以便從中概括適合特定發(fā)展階段的干預(yù)方法; 此外,這種干預(yù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果也可用于說(shuō)明實(shí)驗(yàn)1所得到的概念發(fā)展階段模型的有效性。

2 實(shí)驗(yàn)1：兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展特點(diǎn)

該實(shí)驗(yàn)采用3種數(shù)量性質(zhì)條件下的橙汁濃度匹配任務(wù), 考察小學(xué)一至三年級(jí)兒童的運(yùn)算思維水平,并據(jù)此確定兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展路徑。

2.1 方法

2.1.1 被試

從北京市某普通小學(xué)一至三年級(jí)中隨機(jī)抽取151名兒童, 其中一年級(jí)47人(男24, 女23), 平均年齡為80.86 (± 6.32)月; 二年級(jí)52人(男27, 女25),平均年齡為90.44 (± 4.28)月; 三年級(jí)52人(男27,女25), 平均年齡為104.22 (± 6.16)月。鑒于Boyer等人(2008)的研究中檢測(cè)到性別差異, 本研究的3個(gè)實(shí)驗(yàn)中均保持了男女人數(shù)的基本平衡。

2.1.2 刺激材料和儀器

本研究采用電腦播放PPT圖片的方式來(lái)呈現(xiàn)任務(wù)。實(shí)驗(yàn)儀器是17英寸彩色顯示器的聯(lián)想 PIV計(jì)算機(jī), 屏幕分辨率是1024×768, 刷新頻率是70 Hz。

實(shí)驗(yàn)材料為改編的橙汁濃度匹配任務(wù), 給兒童呈現(xiàn)一杯橙汁和水的混合物(原始項(xiàng)), 讓兒童從后面兩杯(備選項(xiàng))中選擇與原始項(xiàng)的橙汁濃度相同的那杯(如圖1所示)。為了便于直觀比較, 杯子的下部為橙汁(黃色部分), 上部為水(藍(lán)色部分)。設(shè)定3種數(shù)量性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)條件：一種是連續(xù)量條件, 僅標(biāo)出橙汁和水的分界線; 一種是離散量條件, 橙汁和水分裝在小杯子中; 一種是混合量條件, 在杯子上標(biāo)刻度。為考察兒童對(duì)部分和整體的加工特點(diǎn), 干擾選項(xiàng)的設(shè)置包括兩種干擾條件, 一種條件是干擾項(xiàng)和原始項(xiàng)的橙汁量相等(即部分絕對(duì)量相等), 另一種條件是干擾項(xiàng)和原始項(xiàng)的橙汁和水總量相等(即整體絕對(duì)量相等)。匹配項(xiàng)(即答案)的橙汁和水之比等于原始項(xiàng)的橙汁和水之比, 但對(duì)應(yīng)部分的絕對(duì)量均不相等。

3種數(shù)量性質(zhì)下各有16道測(cè)驗(yàn)題目, 其中8題的干擾項(xiàng)為部分絕對(duì)量相等, 另外8題的干擾項(xiàng)為整體絕對(duì)量相等。為減小誤差, 干擾選項(xiàng)與原始項(xiàng)之間的差值絕對(duì)量在所有的題目上大體保持一致(如表1)。表中分?jǐn)?shù)值是澄汁濃度, 即橙汁/(橙汁+水)。先前研究表明“一半”是一個(gè)比較特殊的分?jǐn)?shù)(Spinillo & Bryant, 1991), 因此題目中沒(méi)有涉及“一半”, 并且所有的干擾項(xiàng)和原始項(xiàng)的分?jǐn)?shù)值都分布在“一半”分界線兩側(cè)(即, 如果原始項(xiàng)的分?jǐn)?shù)值小于二分之一, 那么干擾項(xiàng)大于二分之一, 反之亦然),這比在二分之一同側(cè)的情況下更加簡(jiǎn)單。對(duì)所有題目的干擾項(xiàng)和匹配項(xiàng)的相對(duì)位置進(jìn)行了平衡, 并對(duì)兩種干擾條件下的題目的呈現(xiàn)順序進(jìn)行了平衡。

圖1 三種數(shù)量性質(zhì)的橙汁濃度匹配測(cè)驗(yàn)題目

表1 16道測(cè)驗(yàn)題目的分?jǐn)?shù)值

2.1.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和程序

實(shí)驗(yàn)1為3(年級(jí)：一、二、三年級(jí))×3(數(shù)量性質(zhì)：連續(xù)量、混合量、離散量)×2(干擾條件：部分絕對(duì)量相等干擾、整體絕對(duì)量相等干擾)的三因素混合設(shè)計(jì)。其中年級(jí)、數(shù)量性質(zhì)屬于被試間變量, 干擾條件屬于被試內(nèi)變量, 因變量為被試的得分(正確答題的個(gè)數(shù))。

實(shí)驗(yàn)采用個(gè)別施測(cè), 在學(xué)校的機(jī)房進(jìn)行, 環(huán)境安靜、光線充足。每名被試由兩名主試負(fù)責(zé), 其中一名主試給被試講解指導(dǎo)語(yǔ)并追問(wèn), 另一名主試負(fù)責(zé)記錄被試的反應(yīng)以及口語(yǔ)報(bào)告。為增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)材料的趣味性, 采用卡通人物“懶羊羊喝橙汁”的故事情境來(lái)講解。首先用PPT動(dòng)畫(huà)給兒童演示橙汁的調(diào)制過(guò)程, 指導(dǎo)語(yǔ)如下：“懶羊羊喜歡喝橙汁, 可是它嫌橙汁太酸了, 就會(huì)往橙汁里面加一些水, 變成自己喜歡的味道?！?接著給兒童演示橙汁濃度匹配的例子, 指導(dǎo)語(yǔ)如下：“懶羊羊先調(diào)了一大杯橙汁, 喝完后還想再喝一杯同樣味道的, 就又調(diào)了一小杯。”為了確保兒童理解, 演示完畢后, 讓兒童再陳述一遍懶羊羊是在干什么。然后進(jìn)行正式實(shí)驗(yàn), 指導(dǎo)語(yǔ)如下：“現(xiàn)在懶羊羊遇到一個(gè)問(wèn)題, 需要你幫忙解決一下。左邊這杯橙汁是懶羊羊喜歡的味道, 但它不知道右邊兩杯中哪一杯跟左邊的味道相同。你能幫它選出來(lái)嗎？”待被試作出選擇后, 主試追問(wèn)：“為什么選這杯呢？”另一名主試記錄被試的答案、口語(yǔ)報(bào)告, 以及在此過(guò)程中的非言語(yǔ)表現(xiàn)。

2.1.4 資料分析

各題目采取做對(duì)記1分, 做錯(cuò)記0分的計(jì)分方式, 計(jì)算每個(gè)被試在兩種干擾條件下的得分以及總分, 并對(duì)兒童的解題策略進(jìn)行編碼和分析。

根據(jù)本研究中兒童的表現(xiàn)和口語(yǔ)報(bào)告, 總結(jié)出兒童在解決此類(lèi)等值分?jǐn)?shù)任務(wù)時(shí)使用的正確策略和錯(cuò)誤策略類(lèi)型。正確策略有6種, 分別為：知覺(jué)相似性、部分-部分比較、部分-整體比較、同增同減、部分-部分比例、同增同減比例。錯(cuò)誤策略有5種, 分別為：部分絕對(duì)量、整體絕對(duì)量、加減運(yùn)算、部分未對(duì)應(yīng)、不理解題意。對(duì)各種策略的界定說(shuō)明詳見(jiàn)表2和表3。

表2 正確策略編碼表

表3 錯(cuò)誤策略編碼表

結(jié)合以往研究結(jié)論, 以及本研究中不同年級(jí)兒童的表現(xiàn), 將正確策略劃分為3種水平。水平一是知覺(jué)相似性策略, 反映了兒童運(yùn)用直覺(jué)性知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題, 在該水平上, 兒童主要依據(jù)整體性的、籠統(tǒng)的知覺(jué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷兩個(gè)量的關(guān)系; 水平二是部分比較系列策略, 包括部分-部分比較、同增同減、部分-整體比較, 反映了兒童初級(jí)的等值分?jǐn)?shù)概念,在該水平上, 兒童能夠同時(shí)考慮兩個(gè)量的變化來(lái)比較其關(guān)系, 但這種關(guān)系往往是簡(jiǎn)單的相對(duì)多少比較,是一種粗略的比較策略; 水平三是正式的等值分?jǐn)?shù)運(yùn)算策略, 包括部分-部分比例、同增同減比例, 反映了兒童運(yùn)用正式的等值分?jǐn)?shù)概念來(lái)解決問(wèn)題, 在該水平上, 兒童能夠精確計(jì)算兩個(gè)量的比例關(guān)系。

由兩名主試(發(fā)展與教育心理學(xué)專(zhuān)業(yè)的碩士)對(duì)被試的口語(yǔ)報(bào)告進(jìn)行評(píng)估, 對(duì)照策略編碼表進(jìn)行策略歸類(lèi)。對(duì)兩名主試的評(píng)估結(jié)果進(jìn)行評(píng)分者信度分析, 計(jì)算Kappa系數(shù)平均值為0.91, 說(shuō)明主試對(duì)策略歸類(lèi)的評(píng)判具有較高的一致性。

2.2 結(jié)果與分析

2.2.1 得分分析

表4列出一至三年級(jí)兒童在3種數(shù)量性質(zhì)下的人數(shù)、得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差, 包括在兩種干擾條件下(部分絕對(duì)量相等、整體絕對(duì)量相等)的得分(滿分為8)以及總分(滿分為16)。

單尾

t

檢驗(yàn)的結(jié)果表明, 在整體絕對(duì)量相等的干擾條件下, 3個(gè)年級(jí)在3種數(shù)量性質(zhì)下的得分均顯著高于隨機(jī)水平; 在部分絕對(duì)量相等的干擾條件下, 一年級(jí)在連續(xù)量條件下、二年級(jí)在連續(xù)量和離散量條件下、三年級(jí)兒童在3種數(shù)量性質(zhì)下的得分均顯著高于隨機(jī)水平(

ps

＜ 0.05)。以年級(jí)、數(shù)量性質(zhì)為被試間變量, 以干擾條件為被試內(nèi)變量, 以得分為因變量, 進(jìn)行3(年級(jí))×3(數(shù)量性質(zhì))×2(干擾條件)的重復(fù)測(cè)量方差分析。由于球形檢驗(yàn)不成立,

df

= 0, 需校正單變量檢驗(yàn)的自由度, 取Greenhouse-Geisser Epsilon (G-G)校正系數(shù)。重復(fù)測(cè)量變量干擾條件的主效應(yīng)顯著,

F

(1, 142) = 35.89,

p

＜ 0.001, η= 0.20, 整體絕對(duì)量相等的干擾條件下的得分顯著高于部分絕對(duì)量相等條件下的得分(

p

＜ 0.01); 干擾條件和數(shù)量性質(zhì)的交互作用顯著,

F

(2, 142) = 3.87,

p

＜ 0.05, η= 0.05,簡(jiǎn)單效應(yīng)分析的結(jié)果表明, 這種交互作用是次序性交互作用, 即條件變量只影響了自變量對(duì)因變量的作用程度而非方向。具體來(lái)說(shuō), 從連續(xù)量到離散量再到混合量任務(wù), 兩種干擾條件下的得分差距逐次拉大; 而部分量相等的干擾條件與整體量相等的干擾條件相比, 3種數(shù)量性質(zhì)之間的差異更大。對(duì)于被試間變量, 年級(jí)的主效應(yīng)顯著,

F

(2, 142) = 13.88,

p

＜ 0.001, η= 0.16, 三年級(jí)的得分顯著高于二年級(jí)的得分(

p

＜ 0.05), 二年級(jí)的得分顯著高于一年級(jí)的得分(

p

＜ 0.01); 數(shù)量性質(zhì)的主效應(yīng)顯著,

F

(2, 142)= 10.21,

p

＜ 0.001, η= 0.12, 連續(xù)量任務(wù)的得分顯著高于離散量任務(wù)的得分(

p

＜ 0.05), 離散量任務(wù)的得分顯著高于混合量任務(wù)的得分(

p

＜ 0.01)。

表4 各年級(jí)在不同實(shí)驗(yàn)條件下的人數(shù)、平均分及標(biāo)準(zhǔn)差

2.2.2 策略分析

為了清楚地分析兒童的策略變化, 我們對(duì)一至三年級(jí)兒童在不同數(shù)量性質(zhì)條件下使用每種正確策略的頻次和百分比進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(如表5)。頻次統(tǒng)計(jì)依據(jù)每個(gè)被試在每道題目上的表現(xiàn), 百分比的計(jì)算方法為頻次/(人數(shù)×題目數(shù))。

在連續(xù)量任務(wù)上, 3個(gè)年級(jí)運(yùn)用正確策略的總頻次都比較高, 卡方檢驗(yàn)表明年級(jí)差異顯著, χ=20.14,

p

＜ 0.01。3個(gè)年級(jí)均使用了水平二的策略,且使用頻次最高的策略均為部分-部分比較。此外,部分一年級(jí)兒童還使用了水平一的知覺(jué)相似性策略, 部分三年級(jí)兒童還使用了水平三的兩種比例計(jì)算策略。在離散量任務(wù)上, 3個(gè)年級(jí)使用正確策略的總頻次有較大差異, 卡方檢驗(yàn)表明年級(jí)差異顯著, χ=40.10,

p

＜ 0.01。一、二年級(jí)都使用了水平二的部分-部分比較策略和同增同減策略, 三年級(jí)使用了水平二的3種策略以及水平三的部分-部分比例策略。在混合量任務(wù)上, 3個(gè)年級(jí)使用正確策略的總頻次有較大差異, 卡方檢驗(yàn)表明年級(jí)差異顯著, χ=55.86,

p

＜ 0.01。一、二年級(jí)兒童均使用了水平一和水平二的策略, 三年級(jí)兒童則使用了水平二和水平三的策略。

對(duì)一至三年級(jí)兒童在3種數(shù)量性質(zhì)下使用錯(cuò)誤策略的頻次和百分比進(jìn)行統(tǒng)計(jì), 方法同上, 結(jié)果如表6。

表5 一至三年級(jí)兒童在不同數(shù)量性質(zhì)下使用正確策略的頻次及百分比

表6 一至三年級(jí)兒童在不同數(shù)量性質(zhì)下使用錯(cuò)誤策略的頻次及百分比

由表6可知, 兒童在連續(xù)量條件下出現(xiàn)的錯(cuò)誤策略較少, 而在離散量和混合量條件下出現(xiàn)的錯(cuò)誤策略較多; 隨著年級(jí)升高, 兒童使用錯(cuò)誤策略的頻次降低。兒童使用頻次較高的錯(cuò)誤策略是部分絕對(duì)量相等和整體絕對(duì)量相等。

對(duì)各條件下每個(gè)年級(jí)的錯(cuò)誤策略進(jìn)行具體分析。在連續(xù)量條件下, 兒童的錯(cuò)誤類(lèi)型比較一致。除了有少數(shù)一年級(jí)兒童(3.13%)沒(méi)有理解題意以外,3個(gè)年級(jí)兒童的錯(cuò)誤策略均為部分絕對(duì)量相等和整體絕對(duì)量相等。在離散量條件下, 一、二年級(jí)兒童的錯(cuò)誤策略呈現(xiàn)多樣化特點(diǎn), 均出現(xiàn)了部分絕對(duì)量相等、整體絕對(duì)量相等、加減運(yùn)算以及不理解題目的錯(cuò)誤, 少數(shù)二年級(jí)兒童還出現(xiàn)了部分未對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤。在混合量條件下, 一年級(jí)使用部分絕對(duì)量相等和整體絕對(duì)量相等策略的頻次較高, 一、二年級(jí)使用加減運(yùn)算的頻次較高。

2.3 討論

2.3.1 一至三年級(jí)兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展特點(diǎn)

本實(shí)驗(yàn)考察了一至三年級(jí)兒童在不同數(shù)量性質(zhì)的等值分?jǐn)?shù)任務(wù)上的表現(xiàn)。得分分析表明, 兒童的表現(xiàn)受到數(shù)量性質(zhì)的制約; 隨著年級(jí)升高, 兒童的正確率顯著提高。這與Boyer等人(2008)的研究結(jié)果是一致的。策略分析表明, 在3種數(shù)量性質(zhì)條件下, 一至三年級(jí)兒童出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要是按絕對(duì)量進(jìn)行判斷, 表明他們?nèi)菀资苷麛?shù)等值思維的干擾而作出錯(cuò)誤選擇, 從等值分?jǐn)?shù)的運(yùn)算思維來(lái)看, 這反映了兒童的相對(duì)量概念發(fā)展不夠成熟。另外, 干擾條件對(duì)兒童的表現(xiàn)有顯著影響, 當(dāng)任務(wù)中有部分絕對(duì)量相等的干擾條件時(shí), 比在整體絕對(duì)量相等的干擾條件下, 兒童更容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。這驗(yàn)證了兒童在加工過(guò)程中傾向于關(guān)注部分, 而非整體(Spinillo,2002; Spinillo & Bryant, 1991)。

下面結(jié)合不同數(shù)量性質(zhì)的任務(wù)來(lái)分析各年級(jí)兒童的等值分?jǐn)?shù)概念特點(diǎn)。連續(xù)量任務(wù)最為簡(jiǎn)單,少數(shù)一年級(jí)兒童運(yùn)用了知覺(jué)相似性策略, 表明他們借助直覺(jué)性知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。這種兒童在早期獲得的、對(duì)量的相對(duì)大小的認(rèn)識(shí)是基于整體量圖式(global quantitative schemas) (Resnick & Singer,1993)?；蛘哒f(shuō), 兒童本來(lái)無(wú)須通過(guò)認(rèn)識(shí)數(shù), 就可以基于知覺(jué)經(jīng)驗(yàn)初步認(rèn)識(shí)兩個(gè)量的關(guān)系。Sophian(2004)的研究表明, 在面積相對(duì)大小判斷任務(wù)中, 5歲兒童在連續(xù)量任務(wù)上的成績(jī)要好于離散量任務(wù),而10歲兒童在離散量任務(wù)上的成績(jī)要好于連續(xù)量任務(wù), 這是由于與10歲兒童相比, 5歲兒童更少依賴計(jì)數(shù)策略。事實(shí)上, 另有研究表明, 5歲兒童即使在完成離散量的相對(duì)大小比較任務(wù)時(shí)可能也并不使用計(jì)數(shù)策略(Wing & Beal, 2004)。本研究中也體現(xiàn)了這一點(diǎn), 在混合量任務(wù)上, 少數(shù)一、二年級(jí)的兒童采用了知覺(jué)相似性策略。

兒童獲得數(shù)量化的相對(duì)量概念的時(shí)間要大大晚于獲得整體量圖式的時(shí)間。在需要計(jì)數(shù)的離散量任務(wù)中, 年齡較小的兒童往往只關(guān)注一個(gè)優(yōu)勢(shì)維度的絕對(duì)量, 而忽視另一個(gè)維度的變化, 表現(xiàn)出整數(shù)偏向(Ni & Zhou, 2005)。例如, Piaget和Inhelder(1975)的彈珠概率實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn), 年齡較小的兒童是根據(jù)紅色彈珠個(gè)數(shù)來(lái)判斷摸到它的概率的, 沒(méi)有同時(shí)考慮白色彈珠的個(gè)數(shù)。在本實(shí)驗(yàn)中, 一年級(jí)兒童在離散量任務(wù)上表現(xiàn)不理想, 出現(xiàn)較多的按絕對(duì)值判斷的錯(cuò)誤, 這表明他們尚未獲得成熟的數(shù)量化的相對(duì)量概念。二、三年級(jí)兒童的表現(xiàn)較好, 能同時(shí)考慮兩個(gè)數(shù)量的變化來(lái)比較其關(guān)系, 表明具有了數(shù)量化的相對(duì)量概念, 但部分二年級(jí)兒童使用了加減運(yùn)算的錯(cuò)誤策略, 這說(shuō)明他們的乘法思維尚不夠成熟。二年級(jí)兒童使用的正確策略為部分-部分比較和同增同減, 這在很大程度上仍依賴于加法思維。在本實(shí)驗(yàn)中, 為了降低任務(wù)難度, 干擾項(xiàng)和原始項(xiàng)的分?jǐn)?shù)值都是位于二分之一兩側(cè), 兒童采用這種策略有助于解決問(wèn)題。

混合量任務(wù)具有雙重線索, 兒童既可以忽視刻度, 將其看作連續(xù)量任務(wù)來(lái)進(jìn)行判斷, 也可以通過(guò)數(shù)格子, 將其看作離散量任務(wù)來(lái)進(jìn)行判斷, 因而導(dǎo)致該條件下兒童的策略不夠穩(wěn)定, 出錯(cuò)也更多。兒童在混合量任務(wù)上的表現(xiàn)要差于離散量, 可能有兩個(gè)原因：一是從離散量任務(wù)而言, 為了避免兒童將離散量當(dāng)做連續(xù)量, 將橙汁和水排成兩列, 這樣可能會(huì)提示兒童通過(guò)比較橙汁和水的相對(duì)多少來(lái)進(jìn)行判斷, 因而正確率高; 二是混合條件下的刻度線索較為突出, 容易吸引兒童進(jìn)行計(jì)數(shù), 這一點(diǎn)也體現(xiàn)在兒童的口語(yǔ)報(bào)告中, 但對(duì)于一、二年級(jí)的兒童而言,由于尚未掌握成熟的乘法思維, 計(jì)數(shù)后更容易采用加法思維來(lái)進(jìn)行判斷, 從而出現(xiàn)較多的錯(cuò)誤。

值得注意的是, 在沒(méi)有計(jì)數(shù)線索的連續(xù)量條件下, 仍有部分三年級(jí)兒童運(yùn)用了精確的比例計(jì)算,這表明他們獲得了成熟的相對(duì)量概念和乘法思維,初步具有了正式的等值分?jǐn)?shù)概念。

2.3.2 兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展階段

相對(duì)量概念和乘法思維的發(fā)展是獲得等值分?jǐn)?shù)概念的基礎(chǔ)。根據(jù)上文對(duì)一至三年級(jí)兒童的分析,我們認(rèn)為等值分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展可以劃分為3個(gè)階段。第一階段是“整體量概念”, 代表的是初步的直覺(jué)性理解, 在這一階段兒童借助直覺(jué)性的整體量圖式解決非符號(hào)化的等值分?jǐn)?shù)問(wèn)題。第二階段是“數(shù)量化的相對(duì)量概念”, 在這一階段, 兒童對(duì)相對(duì)量的認(rèn)識(shí)從籠統(tǒng)的、直覺(jué)性的狀態(tài)發(fā)展為具體的、量化的狀態(tài), 能夠克服整數(shù)等值思維的干擾, 同時(shí)考慮兩個(gè)維度的數(shù)量變化來(lái)進(jìn)行等值判斷。但由于受加法思維的限制, 經(jīng)常采用相對(duì)多少比較或是加減運(yùn)算, 不能進(jìn)行比例運(yùn)算。第三階段是“正式的等值分?jǐn)?shù)概念”, 在該階段, 兒童發(fā)展起成熟的乘法思維, 能夠同時(shí)關(guān)注兩個(gè)維度, 并計(jì)算兩者的比例關(guān)系。這個(gè)發(fā)展過(guò)程可表示為圖2。

圖2 兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展階段圖

根據(jù)以上階段劃分, 我們可以確定小學(xué)一至三年級(jí)兒童各自所處的發(fā)展階段。一年級(jí)兒童尚未獲得成熟的數(shù)量化相對(duì)量概念, 這表明他們處于第一階段到第二階段的過(guò)渡期。二年級(jí)兒童在連續(xù)量和離散量任務(wù)上表現(xiàn)較好, 在混合量任務(wù)上表現(xiàn)較差,錯(cuò)誤策略中有較多的加減運(yùn)算策略, 說(shuō)明二年級(jí)兒童處于第二階段到第三階段的過(guò)渡期, 已發(fā)展起數(shù)量化的相對(duì)量概念, 但不具有成熟的乘法思維。三年級(jí)兒童在3種數(shù)量性質(zhì)條件下均表現(xiàn)較好, 并且一些個(gè)體能夠使用比例計(jì)算策略, 表明這部分兒童發(fā)展起較為成熟的相對(duì)量概念和乘法思維, 初步獲得了正式的等值分?jǐn)?shù)概念。

3 實(shí)驗(yàn)2：對(duì)一年級(jí)兒童的相對(duì)量概念的干預(yù)研究

針對(duì)實(shí)驗(yàn)1的結(jié)論, 設(shè)計(jì)干預(yù)實(shí)驗(yàn)以促進(jìn)一年級(jí)兒童的相對(duì)量概念水平的提高。根據(jù)最近發(fā)展區(qū)原理, 可以在兒童已有的整體量圖式的基礎(chǔ)上促進(jìn)其數(shù)量化的相對(duì)量概念的發(fā)展。實(shí)驗(yàn)2(a)采用支架式教學(xué)的方法, 讓兒童先進(jìn)行連續(xù)量任務(wù)的練習(xí),激活相對(duì)量表征, 再讓兒童做離散量任務(wù), 前一個(gè)任務(wù)會(huì)對(duì)后一個(gè)任務(wù)產(chǎn)生正遷移作用。受前一個(gè)任務(wù)的啟發(fā), 兒童在離散量任務(wù)中能夠關(guān)注兩部分的數(shù)量變化, 從而發(fā)展起數(shù)量化的相對(duì)量概念。

若干預(yù)實(shí)驗(yàn)有效果, 有可能是連續(xù)量對(duì)離散量的正遷移作用, 也有可能是任務(wù)熟悉性和練習(xí)效應(yīng)。為了檢驗(yàn)這兩種猜想, 下面又設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)2(b)。該實(shí)驗(yàn)中設(shè)置兩種對(duì)比條件：先做連續(xù)量任務(wù)再做離散量任務(wù)、先做離散量任務(wù)再做連續(xù)量任務(wù)。比較被試在兩種條件下的成績(jī)。如果第一種條件下被試在離散量任務(wù)上的成績(jī)顯著優(yōu)于第二種條件下被試在該任務(wù)上的成績(jī), 而第二種條件下被試在連續(xù)量任務(wù)上的成績(jī)與第一種條件下相比無(wú)顯著差異, 就說(shuō)明并非是由于任務(wù)的熟悉性導(dǎo)致了成績(jī)提高。

3.1 實(shí)驗(yàn)2(a)

3.1.1 被試

選取與實(shí)驗(yàn)1的學(xué)校水平相當(dāng)?shù)牧硪凰W(xué)。兩所學(xué)校的在校人數(shù)、師資配置和配套設(shè)施大體相當(dāng),且兩校一年級(jí)的上次期末考試成績(jī)處于同一水平。

從一年級(jí)隨機(jī)選取50名被試, 隨機(jī)分配到干預(yù)組和對(duì)照組, 每組各25人。干預(yù)組男生13人, 女生12人, 平均年齡為80.86 (± 6.32)月; 對(duì)照組男生14人, 女生11人, 平均年齡為83.42 (± 3.54)月。

3.1.2 刺激材料和儀器

實(shí)驗(yàn)儀器同實(shí)驗(yàn)1。

實(shí)驗(yàn)材料也是橙汁濃度匹配任務(wù)。干預(yù)組在干預(yù)階段做8道連續(xù)量題目, 在正式測(cè)驗(yàn)中做16道離散量題目。8道連續(xù)量題目中包含部分絕對(duì)量干擾和整體絕對(duì)量干擾的題目各4道, 題目分?jǐn)?shù)值見(jiàn)表7。16道離散量題目同實(shí)驗(yàn)1。對(duì)照組只做16道離散量題目。對(duì)兩種干擾條件下的題目的呈現(xiàn)順序進(jìn)行了平衡。

表7 8道測(cè)驗(yàn)題目的分?jǐn)?shù)值

3.1.3 任務(wù)和程序

采用2(干預(yù)條件：有, 無(wú))×2(干擾條件：部分絕對(duì)量相等干擾、整體絕對(duì)量相等干擾)的兩因素混合設(shè)計(jì)。其中干預(yù)條件屬于被試間變量, 干擾條件屬于被試內(nèi)變量, 因變量為被試的得分。

實(shí)驗(yàn)條件和指導(dǎo)語(yǔ)同實(shí)驗(yàn)1。干預(yù)組先做8道連續(xù)量題目, 過(guò)一小時(shí)后, 進(jìn)行正式測(cè)驗(yàn), 做16道離散量題目。實(shí)驗(yàn)組只做16道離散量題目。

3.1.4 資料編碼

對(duì)被試的得分和解題策略的編碼方式同實(shí)驗(yàn)1。對(duì)兩名主試的評(píng)估結(jié)果進(jìn)行評(píng)分者信度分析, 計(jì)算Kappa系數(shù)平均值為0.95, 說(shuō)明主試對(duì)策略歸類(lèi)的評(píng)判具有較高的一致性。

3.1.5 結(jié)果與分析

首先計(jì)算干預(yù)組兒童在干預(yù)階段的連續(xù)量任務(wù)上的得分情況。部分絕對(duì)量相等條件下的平均得分為2.95 ± 1.52(滿分為4), 整體絕對(duì)量相等條件下的平均得分為3.29 ± 1.24(滿分為4), 總分為6.24 ±2.21(滿分為8)。

對(duì)于正式測(cè)驗(yàn), 分別計(jì)算干預(yù)組和對(duì)照組兒童在離散量任務(wù)上的得分情況(表8)。對(duì)干預(yù)組和對(duì)照組的總分進(jìn)行獨(dú)立樣本

t

檢驗(yàn),

t

= 2.142,

df

= 48,

p

＜ 0.05, 表明兩組的總分差異顯著。以干預(yù)條件為被試間變量, 以干擾條件為被試內(nèi)變量, 以得分為因變量, 進(jìn)行2(干預(yù)條件)×2(干擾條件)的重復(fù)測(cè)量方差分析。由于球形檢驗(yàn)不成立,

df

= 0, 需校正單變量檢驗(yàn)的自由度, 取Greenhouse-Geisser Epsilon (G-G)校正系數(shù)。重復(fù)測(cè)量變量干擾條件的主效應(yīng)顯著,

F

(1, 48) = 9.02,

p

＜ 0.01, η= 0.16; 干擾條件與干預(yù)條件的交互作用不顯著,

F

(1, 48) =0.09,

p

＞ 0.05; 被試間變量干預(yù)條件的主效應(yīng)顯著,

F

(1, 48) = 4.59,

p

＜ 0.05, η= 0.09。

表8 干預(yù)組和對(duì)照組得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

干預(yù)組和對(duì)照組使用正確策略的情況如表9。對(duì)兩組被試使用正確策略的總頻次進(jìn)行卡方檢驗(yàn),χ= 32.26,

p

＜ 0.01, 表明存在顯著差異。兩組被試均使用了部分-部分比較和同增同減兩種策略。對(duì)照組使用部分-部分比較的頻次百分比高出控制組14.75%, 在同增同減策略的使用上則差別不大。

表9 干預(yù)組和對(duì)照組使用正確策略的頻次及百分比

干預(yù)組和對(duì)照組使用錯(cuò)誤策略的情況如表10。其中使用頻次最高的依然是部分絕對(duì)量和整體絕對(duì)量策略。在這4種策略上, 干預(yù)組比對(duì)照組的使用頻次百分比分別下降了10%、5.5%、1%、1.75%,其中部分絕對(duì)量策略和整體絕對(duì)量策略的使用明顯減少, 加減運(yùn)算則變化不大。

表10 干預(yù)組和對(duì)照組使用錯(cuò)誤策略的頻次及百分比

3.2 實(shí)驗(yàn)2(b)

3.2.1 被試

選取與實(shí)驗(yàn)2(a)同一所學(xué)校的30名一年級(jí)被試, 他們均未參加實(shí)驗(yàn)2(a), 將其隨機(jī)分配到兩種條件下。先做連續(xù)量任務(wù)再做離散量任務(wù)的條件下,男生7人, 女生8人, 平均年齡81.25 (± 5.42)月; 先做離散量任務(wù)再做連續(xù)量任務(wù)的條件下, 男生8人,女生7人, 平均年齡為84.64 (± 4.54)月。

3.2.2 刺激材料和儀器

實(shí)驗(yàn)儀器同實(shí)驗(yàn)1。實(shí)驗(yàn)材料也是橙汁濃度匹配題目, 包括16道連續(xù)量任務(wù)和16道離散量任務(wù)。

3.2.3 任務(wù)和程序

采用組間設(shè)計(jì), 自變量為測(cè)驗(yàn)順序(先連續(xù)后離散, 先離散后連續(xù)), 因變量為被試得分。

實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)語(yǔ)同實(shí)驗(yàn)1。一組被試先做16道連續(xù)量題目, 過(guò)一小時(shí)后, 再做16道離散量題目; 另一組被試先做16道離散量題目, 過(guò)一小時(shí)后, 再做16道連續(xù)量題目。

3.2.4 資料分析

對(duì)被試的得分和解題策略的編碼方式同實(shí)驗(yàn)1。對(duì)兩名主試的評(píng)估結(jié)果進(jìn)行評(píng)分者信度分析, 計(jì)算Kappa系數(shù)平均值為0.93, 說(shuō)明主試對(duì)策略歸類(lèi)的評(píng)判具有較高的一致性。

3.2.5 結(jié)果與分析

表11列出兩種順序條件下兒童在連續(xù)量和離散量任務(wù)上得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)兩組被試在連續(xù)量任務(wù)上的得分進(jìn)行獨(dú)立樣本

t

檢驗(yàn),

t

= 0.59,

df

= 28,

p

＞ 0.05, 表明兩組得分差異不顯著。對(duì)兩組被試在離散量任務(wù)上的得分進(jìn)行獨(dú)立樣本

t

檢驗(yàn),

t

= 2.44,

df

= 28,

p

＜ 0.05, 表明兩組得分差異顯著,先連續(xù)后離散條件下的得分顯著高于先離散后連續(xù)條件下被試的得分。

表11 兩種順序條件下被試得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

兩組被試使用正確策略的頻次情況如表12。在連續(xù)量任務(wù)上, 兩組被試使用正確策略的頻次沒(méi)有顯著差異, 使用的策略類(lèi)型相同。在離散量任務(wù)上,兩組被試使用正確策略的頻次存在顯著差異, χ=34.25,

p

＜ 0.001, 先連續(xù)后離散條件下的頻次顯著高于先離散后連續(xù)條件下的頻次。

兩組被試使用錯(cuò)誤策略的頻次情況如表13。在連續(xù)量任務(wù)上, 兩組被試使用錯(cuò)誤策略的頻次沒(méi)有顯著差異。在離散量任務(wù)上, 先連續(xù)后離散條件下的被試比先離散后連續(xù)條件下的被試使用部分絕對(duì)量、整體絕對(duì)量、加減策略和不理解題意的頻次百分比分別下降了10%、5.42%、0.83%、2.92%, 其中部分絕對(duì)量策略和整體絕對(duì)量策略減少得較明顯, 加減運(yùn)算則變化不大。

3.3 討論

實(shí)驗(yàn)2(a)使用連續(xù)量任務(wù)給兒童搭腳手架, 從而促進(jìn)兒童在離散量任務(wù)上的表現(xiàn)。結(jié)果表明, 干預(yù)組在離散量任務(wù)上的得分以及使用正確策略的總頻次均顯著高于對(duì)照組, 而干預(yù)組使用絕對(duì)量相等錯(cuò)誤策略的頻次比對(duì)照組有較大幅度的下降, 這說(shuō)明干預(yù)組被試能夠更有效地使用相對(duì)量概念進(jìn)行判斷。但由于干預(yù)階段和正式測(cè)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)材料具有一定的相似度, 不排除被試成績(jī)的提高是由于練習(xí)效應(yīng)。為了檢驗(yàn)這一假設(shè), 設(shè)計(jì)并實(shí)施了實(shí)驗(yàn)2(b), 讓一組被試先做連續(xù)量題目, 再做離散量題目, 另一組被試先做離散量題目, 再做連續(xù)量題目。結(jié)果發(fā)現(xiàn), 在離散量任務(wù)上, 第一組被試的得分顯著高于第二組被試的得分, 且前者比后者使用了更多的正確策略和更少的按絕對(duì)量判斷的錯(cuò)誤策略; 而在連續(xù)量任務(wù)上, 兩組的得分和使用策略情況均無(wú)明顯差異。這表明只有連續(xù)量任務(wù)對(duì)離散量任務(wù)具有遷移作用, 而離散量任務(wù)對(duì)連續(xù)量任務(wù)沒(méi)有遷移作用, 說(shuō)明被試成績(jī)的提高不是由于練習(xí)效應(yīng)造成的, 也表明個(gè)體的相對(duì)量概念確實(shí)是從低層次的整體量概念向更高層次的數(shù)量化的概念水平發(fā)展。

本實(shí)驗(yàn)的干預(yù)原理是依據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論, 在原先的整體量概念的基礎(chǔ)上促進(jìn)數(shù)量化的相對(duì)量概念的發(fā)展。因?yàn)閮和念^腦中先具有了非符號(hào)的相對(duì)量圖式, 通過(guò)解決連續(xù)量任務(wù)可以激活這一相對(duì)量表征, 從而對(duì)離散量任務(wù)的解決產(chǎn)生啟發(fā), 最終促使兒童發(fā)展起數(shù)量化的相對(duì)量概念。這是一種學(xué)習(xí)遷移。在個(gè)體原有的知識(shí)基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識(shí)是一種有效的教學(xué)方法, 例如, Nunokawa (2012)在研究中采用雙重?cái)?shù)字線的形式, 通過(guò)類(lèi)比整數(shù)數(shù)字線能夠有效地促進(jìn)五年級(jí)小學(xué)生對(duì)比例和百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)。

在本實(shí)驗(yàn)中, 干預(yù)組對(duì)加減運(yùn)算策略的使用與對(duì)照組差別不大, 這表明干預(yù)條件對(duì)發(fā)展乘法思維沒(méi)有顯著影響。

表12 兩種順序條件下使用正確策略的頻次及百分比

表13 兩種順序條件下使用錯(cuò)誤策略的頻次及百分比

4 實(shí)驗(yàn)3：對(duì)二年級(jí)兒童的乘法思維的干預(yù)研究

針對(duì)實(shí)驗(yàn)1的結(jié)論, 設(shè)計(jì)干預(yù)實(shí)驗(yàn)以促進(jìn)二年級(jí)兒童的乘法思維的發(fā)展。通過(guò)對(duì)干預(yù)組進(jìn)行乘法思維的訓(xùn)練, 使其理解等值分?jǐn)?shù)任務(wù)情境中各對(duì)應(yīng)維度之間的乘法關(guān)系。

4.1 方法

4.1.1 被試

本實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)2是在同一所學(xué)校開(kāi)展的。從二年級(jí)隨機(jī)選取50名被試, 隨機(jī)分配到干預(yù)組和對(duì)照組, 每組各25人。干預(yù)組男生14人, 女生11人,平均年齡為91.45 (± 5.26)月; 對(duì)照組男生12人, 女生13人, 平均年齡為90.32 (± 4.48)月。

4.1.2 刺激材料和儀器

實(shí)驗(yàn)儀器同實(shí)驗(yàn)1。

干預(yù)階段的實(shí)驗(yàn)材料為8道桌椅組合題目, 呈現(xiàn)方式如下：首先給兒童呈現(xiàn)一套桌椅組合的示例圖片(單人桌椅/雙人桌椅/三人桌椅/四人桌椅), 然后給兒童呈現(xiàn)兩張測(cè)驗(yàn)圖片, 內(nèi)容包含若干桌子和椅子, 問(wèn)能夠組成幾套示例圖片所示的桌椅組合。測(cè)驗(yàn)材料如圖3所示, 左上為單人桌椅的示例圖片,右上為該條件下的一張測(cè)驗(yàn)圖片; 左下為四人桌椅的示例圖片, 右下為該條件下的一張測(cè)驗(yàn)圖片。這8道組合題目涉及的比例關(guān)系如表14所示。正式測(cè)驗(yàn)階段的實(shí)驗(yàn)材料為16道混合量的橙汁濃度匹配題目, 對(duì)兩種干擾條件下的題目的呈現(xiàn)順序進(jìn)行了平衡。

圖3 桌椅組合題目示例

4.1.3 任務(wù)和程序

采用2(干預(yù)條件：有, 無(wú))×2(干擾條件：部分絕對(duì)量相等干擾、整體絕對(duì)量相等干擾)的兩因素混合設(shè)計(jì)。其中干預(yù)條件屬于被試間變量, 干擾條件屬于被試內(nèi)變量, 因變量為被試的得分。

實(shí)驗(yàn)條件同實(shí)驗(yàn)1。

表14 8道桌椅組合題目的分?jǐn)?shù)值

實(shí)驗(yàn)程序：對(duì)于干預(yù)組, 主試在干預(yù)階段指導(dǎo)其做8道桌椅組合題目。首先播放一張示例圖片,指導(dǎo)語(yǔ)為：“這是一套單人桌椅的圖片, 它是由一張桌子和一把椅子組成的, 請(qǐng)仔細(xì)觀察并記住它們的組合方式?！比缓蠓较旅娴臏y(cè)試圖片, 主試問(wèn)：“這張圖片上有一些桌子和椅子, 你看它們能組成幾套剛才看到的那種單人桌椅呢？”小朋友思考并回答。如果小朋友能夠回答正確則繼續(xù)播放下一張,如果小朋友不能回答正確則進(jìn)一步引導(dǎo)其思考, 告訴他一張桌子對(duì)應(yīng)一把椅子, 直到其能作出正確選擇。對(duì)于下面的雙人桌椅、三人桌椅、四人桌椅圖片, 指導(dǎo)語(yǔ)類(lèi)似。當(dāng)兒童不能回答正確時(shí), 主試會(huì)對(duì)其引導(dǎo), 保證兒童最終能夠正確理解和回答所有題目。過(guò)一個(gè)小時(shí)之后, 進(jìn)行正式測(cè)驗(yàn), 主試讓被試做16道混合量題目。對(duì)于對(duì)照組, 也在正式測(cè)驗(yàn)階段做16道混合量題目。正式測(cè)驗(yàn)階段的指導(dǎo)語(yǔ)和記錄內(nèi)容同研究一。

4.1.4 資料分析

對(duì)被試的得分和解題策略的編碼方式同實(shí)驗(yàn)1。兩名主試的評(píng)估結(jié)果進(jìn)行評(píng)分者信度分析, 計(jì)算Kappa系數(shù)平均值為0.94, 說(shuō)明主試對(duì)策略歸類(lèi)的評(píng)判具有較高的一致性。

4.2 結(jié)果與分析

計(jì)算干預(yù)組和對(duì)照組兒童在混合量任務(wù)上得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差, 分?jǐn)?shù)包括在兩種干擾條件下的得分以及總分(如表15)。對(duì)干預(yù)組和對(duì)照組的總分進(jìn)行獨(dú)立樣本

t

檢驗(yàn),

t

= 2.24,

df

= 48,

p

＜ 0.05,表明兩組的總分差異顯著。以干預(yù)條件為被試間變量, 以干擾條件為被試內(nèi)變量, 以得分為因變量, 進(jìn)行2(干預(yù)條件)×2(干擾條件)的重復(fù)測(cè)量方差分析。由于球形檢驗(yàn)不成立,

df

= 0, 需校正單變量檢驗(yàn)的自由度, 取Greenhouse-Geisser Epsilon (G-G)校正系數(shù)。重復(fù)測(cè)量變量干擾條件的主效應(yīng)顯著,

F

(1, 48) = 9.37,

p

＜0.01, η= 0.16; 干擾條件與干預(yù)條件的交互作用不顯著,

F

(1, 48) = 0.09,

p

＞ 0.05; 被試間變量干預(yù)條件的主效應(yīng)顯著,

F

(1, 48) = 5.02,

p

＜ 0.05, η= 0.10。

表15 干預(yù)組和對(duì)照組得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

干預(yù)組和對(duì)照組使用正確策略的情況如表16。對(duì)兩組被試使用正確策略的總體頻次進(jìn)行卡方檢驗(yàn), χ= 22.89,

p

＜ 0.01, 表明存在顯著差異。兩組被試使用的正確策略類(lèi)型存在差異。他們均使用了部分-部分比較、部分-整體比較、同增同減三種策略,三者的使用頻次百分比均達(dá)到60%以上。此外, 對(duì)照組還使用了知覺(jué)相似性策略, 干預(yù)組則使用了部分-部分比例策略和同增同減比例策略。

干預(yù)組和對(duì)照組使用錯(cuò)誤策略的情況如表17。兩組被試均使用了部分絕對(duì)量、整體絕對(duì)量、加減運(yùn)算這3種錯(cuò)誤策略, 在這3種策略上, 干預(yù)組比對(duì)照組的使用頻次百分比分別下降了3.25%、2.5%、8.75%, 其中加減運(yùn)算策略的使用明顯減少。此外,對(duì)照組有不理解題意的錯(cuò)誤, 而干預(yù)組沒(méi)有, 但干預(yù)組出現(xiàn)了部分未對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤。

4.3 討論

實(shí)驗(yàn)3通過(guò)桌椅組合問(wèn)題的練習(xí)來(lái)促進(jìn)二年級(jí)兒童的乘法思維的發(fā)展。在這里, 乘法思維不是指單純的乘法運(yùn)算技巧, 更重要的是理解等值分?jǐn)?shù)任務(wù)情境中各維度之間的倍數(shù)關(guān)系。一些研究發(fā)現(xiàn),學(xué)前期甚至更小的兒童已經(jīng)具有了直覺(jué)性的乘法思維(Barth, Baron, Spelke, & Carey, 2009; McCrink& Wynn, 2007; Xu & Spelke, 2000)。但小學(xué)低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)多訓(xùn)練和使用了加法思維, 這在一定程度上阻礙了兒童的乘法思維的發(fā)展。很多兒童在初學(xué)等值分?jǐn)?shù)時(shí), 依然習(xí)慣性地運(yùn)用加法思維來(lái)解題(Clarke & Roche, 2009)。McCrink和Spelke (2010)提出, 后天的教學(xué)不僅要教給兒童乘法運(yùn)算法則,更重要的是讓兒童理解乘法問(wèn)題情境的實(shí)際意義。在本實(shí)驗(yàn)中, 桌椅組合是乘法思維的典型情境, 對(duì)兒童而言也是熟悉的問(wèn)題情境, 因而兒童容易理解。本研究的干預(yù)原理是通過(guò)讓兒童對(duì)兩種事物按一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行組合, 促進(jìn)其對(duì)一種情境中兩個(gè)維度之間對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系的理解, 從而遷移到后面的混合量任務(wù)情境中。

結(jié)果表明, 干預(yù)組的得分和使用正確策略的頻次均顯著高于對(duì)照組, 且干預(yù)組的一些被試能使用比例計(jì)算策略。這是實(shí)驗(yàn)1的三年級(jí)兒童才能達(dá)到的水平, 表明實(shí)驗(yàn)3的干預(yù)確實(shí)對(duì)提高二年級(jí)兒童的乘法思維發(fā)揮了作用。在錯(cuò)誤策略的使用上, 干預(yù)組比對(duì)照組在每種策略的使用頻次上都有所減少, 其中加減運(yùn)算的減少最明顯, 使用頻次百分比下降了8.75%, 表明干預(yù)組中只有很少的兒童采用加法思維來(lái)解決問(wèn)題, 這說(shuō)明干預(yù)條件能比較有效地改變兒童錯(cuò)誤的運(yùn)算思維。此外, 對(duì)照組中有不理解題意的錯(cuò)誤, 而干預(yù)組則沒(méi)有, 說(shuō)明干預(yù)任務(wù)能幫助兒童理解混合量等值分?jǐn)?shù)任務(wù)。需要注意的是干預(yù)組出現(xiàn)了部分未對(duì)應(yīng)的新錯(cuò)誤, 這可能是由于干預(yù)組過(guò)度關(guān)注題目中的數(shù)量關(guān)系, 而忽視了各部分之間的對(duì)應(yīng)。例如, 已知原始項(xiàng)是4份橙汁對(duì)應(yīng)2份水, 兩者之比是2：1, 兒童看到選項(xiàng)中有4份橙汁和8份水時(shí), 認(rèn)為兩者之比也是2：1, 所以味道一樣, 而忽視了原始項(xiàng)的2：1是橙汁和水的關(guān)系,選項(xiàng)的2：1是水和橙汁的關(guān)系。這提示我們, 乘法教學(xué)不僅要教給學(xué)生運(yùn)算技巧, 還要讓學(xué)生真正理解乘法關(guān)系的意義。

表16 干預(yù)組和對(duì)照組使用正確策略的頻次及百分比

表17 干預(yù)組和對(duì)照組使用錯(cuò)誤策略的頻次及百分比

5 總討論

5.1 兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展特點(diǎn)及干預(yù)對(duì)策

本研究首先考察了一至三年級(jí)兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展特點(diǎn), 通過(guò)分析各年級(jí)兒童的運(yùn)算思維水平, 概括出等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的3個(gè)階段, 接著基于“最近發(fā)展區(qū)”原理設(shè)計(jì)了兩個(gè)干預(yù)實(shí)驗(yàn), 分別來(lái)提高一年級(jí)兒童的相對(duì)量概念和二年級(jí)兒童的乘法思維。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明干預(yù)有效, 這也驗(yàn)證了等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展三階段理論的合理性。本研究揭示了小學(xué)低年級(jí)兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展過(guò)程, 并對(duì)等值分?jǐn)?shù)的早期教學(xué)進(jìn)行了富有成效的探索, 這是對(duì)以往研究的推進(jìn)。

目前很多研究者都認(rèn)識(shí)到兒童的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程是連續(xù)性和階段性的統(tǒng)一(Thatcher, 1991; van Dijk & van Geert, 2007)。兒童的認(rèn)知發(fā)展具有質(zhì)、量互變的形式。皮亞杰通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果區(qū)分出不同年齡兒童表現(xiàn)出來(lái)的不同質(zhì)的特點(diǎn), 并據(jù)此劃分出認(rèn)知發(fā)展的階段。后繼研究者通過(guò)改變?nèi)蝿?wù)條件, 在較低發(fā)展階段上揭示了兒童的認(rèn)知發(fā)展?jié)摿?為認(rèn)知發(fā)展的連續(xù)性提供了證據(jù)(方富熹, 方格,劉范, 1988)。

本研究將這兩種研究視角結(jié)合起來(lái), 根據(jù)對(duì)3個(gè)年級(jí)兒童的概念水平的分析, 區(qū)分出不同質(zhì)的特點(diǎn), 從而將等值分?jǐn)?shù)的概念發(fā)展過(guò)程劃分為3個(gè)階段, 但這3個(gè)階段并不是彼此割裂的, 而是一個(gè)連續(xù)體的不同節(jié)點(diǎn)。第一個(gè)階段是整體量概念, 在該階段兒童借助直覺(jué)性的整體量圖式來(lái)解決非符號(hào)化的等值分?jǐn)?shù)問(wèn)題。第二個(gè)階段是數(shù)量化的相對(duì)量概念, 在這一階段, 兒童對(duì)相對(duì)量的認(rèn)識(shí)從知覺(jué)性任務(wù)上擴(kuò)展到數(shù)量化任務(wù)上, 能夠克服整數(shù)等值思維的干擾, 同時(shí)考慮兩個(gè)維度的數(shù)量變化來(lái)進(jìn)行等值判斷。但由于受加法思維的限制, 多采用相對(duì)多少比較或是加減運(yùn)算, 不能進(jìn)行比例運(yùn)算。第三個(gè)階段是正式的等值分?jǐn)?shù)概念, 在該階段, 兒童發(fā)展起成熟的乘法思維, 能夠進(jìn)行精確的比例運(yùn)算。

這3個(gè)階段與以往研究發(fā)現(xiàn)的兒童在解決等值分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)的錯(cuò)誤類(lèi)型是對(duì)應(yīng)的。學(xué)者們發(fā)現(xiàn), 兒童的錯(cuò)誤主要集中在幾個(gè)方面：(1)整數(shù)偏向, 指通過(guò)單獨(dú)比較分子、分母或是其他的整數(shù)策略來(lái)比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)(Ni & Zhou, 2005)。(2)差值比較, 指比較每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母之差, 或是將每個(gè)分?jǐn)?shù)與整體1相比, 來(lái)確定兩個(gè)分?jǐn)?shù)的比較結(jié)果。例如,Clarke和Roche (2009)發(fā)現(xiàn), 當(dāng)比較 5/6和7/8的大小時(shí), 29%的六年級(jí)兒童認(rèn)為兩個(gè)分?jǐn)?shù)是等值的,因?yàn)樗鼈兌歼€差一份就湊成一個(gè)整體1。(3)加法策略, 指兒童受加法思維的影響, 對(duì)等值分?jǐn)?shù)所采用的加法性解釋, 例如認(rèn)為分子和分母加上同一個(gè)數(shù),分?jǐn)?shù)的大小不變(Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983)。不難看出, 前兩類(lèi)錯(cuò)誤是由于兒童未發(fā)展起成熟的相對(duì)量概念, 而第三類(lèi)錯(cuò)誤則是由于兒童不具有成熟的乘法思維。

實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3是對(duì)實(shí)驗(yàn)1所概括的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展階段的延伸應(yīng)用, 也是這一發(fā)展階段的效標(biāo)。實(shí)驗(yàn)2的干預(yù)原理是在原有的、低層次的整體量概念基礎(chǔ)上促進(jìn)較高層次的數(shù)量化的相對(duì)量概念的發(fā)展, 具體在該實(shí)驗(yàn)中, 是通過(guò)連續(xù)量任務(wù)給兒童搭腳手架, 從而促進(jìn)其在離散量任務(wù)上的表現(xiàn)。為了排除任務(wù)熟悉性對(duì)干預(yù)結(jié)果的可能影響,設(shè)計(jì)了另外的檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn), 結(jié)果表明只有連續(xù)量任務(wù)對(duì)離散量任務(wù)具有遷移作用, 而離散量任務(wù)對(duì)連續(xù)量任務(wù)沒(méi)有遷移作用, 說(shuō)明被試成績(jī)的提高并非由于練習(xí)效應(yīng)造成的, 也表明個(gè)體的相對(duì)量概念確實(shí)是從低層次的整體量概念向更高層次的數(shù)量化的概念水平發(fā)展, 從而驗(yàn)證了等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的第一到第二個(gè)階段。

實(shí)驗(yàn)3的干預(yù)原理是通過(guò)熟悉的任務(wù)情境來(lái)促進(jìn)兒童對(duì)乘法關(guān)系的實(shí)際意義的理解, 從而促進(jìn)其乘法思維的發(fā)展。本實(shí)驗(yàn)中, “桌椅組合”是乘法思維的典型情境, 兒童較為熟悉, 也容易理解。通過(guò)讓兒童對(duì)桌子和椅子按一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行組合,促進(jìn)其對(duì)一種情境中兩個(gè)維度之間對(duì)應(yīng)倍數(shù)關(guān)系的理解, 進(jìn)而遷移到后面的混合量任務(wù)情境中。結(jié)果發(fā)現(xiàn)干預(yù)組的一些二年級(jí)兒童能使用比例計(jì)算策略, 這是實(shí)驗(yàn)1的三年級(jí)兒童才能達(dá)到的水平,表明實(shí)驗(yàn)3的干預(yù)確實(shí)對(duì)提高二年級(jí)兒童的乘法思維發(fā)揮了作用, 也驗(yàn)證了等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的第二到第三個(gè)階段。

盡管本研究取得了一些有價(jià)值的結(jié)果, 但也存在有待改進(jìn)之處。本研究通過(guò)考察一至三年級(jí)兒童的概念發(fā)展特點(diǎn), 概括出兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展路徑圖, 這是橫向比較的方法, 今后有必要采用縱向追蹤或是微觀發(fā)生法對(duì)這一概念發(fā)展過(guò)程進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。另外, 兩個(gè)干預(yù)實(shí)驗(yàn)雖然均證明有效, 但時(shí)間均比較短, 因而還有待進(jìn)一步考察這一效果的持久性。

5.2 本研究的教學(xué)實(shí)踐價(jià)值及啟示

本研究發(fā)現(xiàn), 等值分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展是一個(gè)連續(xù)的過(guò)程, 未接受正式分?jǐn)?shù)教學(xué)的低年級(jí)兒童就具有了等值分?jǐn)?shù)的非正式知識(shí), 根據(jù)各年級(jí)兒童的概念特點(diǎn), 進(jìn)行有針對(duì)性的干預(yù), 能夠促進(jìn)兒童的等值分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展。這對(duì)于正式的分?jǐn)?shù)教學(xué)具有啟示意義。

第一, 嘗試開(kāi)展等值分?jǐn)?shù)的早期教學(xué)。從小學(xué)低年級(jí)入手, 在個(gè)體的非正式的整體量基礎(chǔ)上逐步推進(jìn)對(duì)正式概念的學(xué)習(xí), 對(duì)促進(jìn)概念的掌握將是非常有意義的。例如, 對(duì)于一年級(jí)兒童, 可以在“認(rèn)識(shí)物體和圖形”一章中, 進(jìn)行空間化等值分?jǐn)?shù)任務(wù)和數(shù)量化等值分?jǐn)?shù)任務(wù)的組合練習(xí)。需要注意的是,開(kāi)展早期教學(xué)的任務(wù)不僅是為了促進(jìn)當(dāng)時(shí)的學(xué)習(xí),而且要幫助兒童獲得能支持將來(lái)學(xué)習(xí)的基本知識(shí)。因此, 不僅要考慮如何最好地達(dá)到短期教學(xué)目標(biāo),還要關(guān)注如何使兒童長(zhǎng)遠(yuǎn)受益(Sophian, 2013)。

第二, 在教學(xué)中, 我們應(yīng)更加注重概念的理解,促進(jìn)實(shí)際應(yīng)用。比如, 在初步學(xué)習(xí)乘除法時(shí), 不僅讓兒童學(xué)會(huì)運(yùn)算法則, 也應(yīng)該讓兒童認(rèn)識(shí)到事物之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 明確乘法關(guān)系所代表的意義。比如在將水果分盤(pán)時(shí), 讓兒童認(rèn)識(shí)到一個(gè)果盤(pán)對(duì)應(yīng)著3個(gè)水果; 在分筷子時(shí), 讓兒童明確根據(jù)一個(gè)人對(duì)應(yīng)著兩支筷子來(lái)分配。這是各國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍提出的要求。我國(guó)的《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》明確提出數(shù)學(xué)不是空洞的抽象運(yùn)算, 而應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的(教育部, 2001)。全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)在制定課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí), 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)不只是發(fā)展概念和解題技能, 也應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用知識(shí), 理解知識(shí)在不同情境下的意義(NCTM, 2000)。

6 結(jié)論

兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展是連續(xù)的過(guò)程, 可分為3個(gè)階段, 第一階段是整體量概念, 第二階段是數(shù)量化的相對(duì)量概念, 第三階段是正式的等值分?jǐn)?shù)概念。一年級(jí)兒童處于第一階段到第二階段的過(guò)渡期, 尚未獲得成熟的相對(duì)量概念; 二年級(jí)兒童處于第二階段到第三階段的過(guò)渡期, 尚未獲得成熟的乘法思維。通過(guò)整體量圖式任務(wù)對(duì)離散量任務(wù)的啟發(fā),能有效促進(jìn)一年級(jí)兒童獲得數(shù)量化的相對(duì)量概念。通過(guò)讓兒童關(guān)注等值分?jǐn)?shù)任務(wù)情境中各對(duì)應(yīng)維度之間的乘法關(guān)系, 能有效促兒童的乘法思維發(fā)展。

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