韓友發(fā)，張雪嬌，馬野萍，單亞男

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

0 引言

紐結(jié)多項(xiàng)式是紐結(jié)的重要不變量，在紐結(jié)的分類中扮演了重要角色.1928年，美國數(shù)學(xué)家Alexander[1]給出了紐結(jié)的一個(gè)多項(xiàng)式不變量．1969年，英國數(shù)學(xué)家Conway在研究Alexander多項(xiàng)式時(shí)，對其計(jì)算方法稍作改進(jìn)，形成Conway[2]多項(xiàng)式．1984年，新西蘭數(shù)學(xué)家Jones[3]從關(guān)于算子代數(shù)的定理中引申出紐結(jié)與鏈環(huán)的一個(gè)多項(xiàng)式不變量．然而Jones是一位泛函分析學(xué)家，他卻在紐結(jié)理論中取得了重大突破，說明了表面上不同的數(shù)學(xué)分支之間有著深刻的聯(lián)系和內(nèi)在統(tǒng)一性．Kauffman在研究交錯(cuò)紐結(jié)的方括號多項(xiàng)式時(shí)，發(fā)現(xiàn)了方括號多項(xiàng)式與雙色多項(xiàng)式之間存在著某種聯(lián)系，這推動了紐結(jié)理論與圖論之間的探索之路[4-5]．

本文共分為三部分，第一部分簡單介紹了紐結(jié)多項(xiàng)式；第二部分簡單介紹本文所需的預(yù)備知識，包括紐結(jié)投影圖的方括號多項(xiàng)式[K(G)]、平面圖的雙色多項(xiàng)式ZG(q,v)的定義，在交錯(cuò)紐結(jié)投影圖與平面圖之間建立一種聯(lián)系，以及圖論中的相關(guān)定義和性質(zhì)；第三部分具體討論ZG(q,v)與[K(G)]的性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系，同時(shí)研究了平面圖的某些性質(zhì).

1 預(yù)備知識

紐結(jié)投影圖的方括號多項(xiàng)式[K]是在不定向紐結(jié)上K定義的一個(gè)三元多項(xiàng)式，[K]∈Z[A，B，d]，滿足以下四個(gè)等式：

由上述公理，我們注意到方括號多項(xiàng)式[K]的計(jì)算是一種循環(huán)運(yùn)算，因此我們給出[K]的另一種運(yùn)算模式[6-8].

定義1.1當(dāng)我們不考慮紐結(jié)投影圖中上、下穿線時(shí)，將紐結(jié)投影圖中每個(gè)交叉點(diǎn)變成相交點(diǎn)，得到的平面圖形叫做四岔地圖．如圖1.1.

圖1.1

因此,紐結(jié)投影圖的方括號多項(xiàng)式的一般形式為[4]：

[K]=∑SAik(s)Bjk(s)d|s|

其中ik(s)+jk(s)=n為紐結(jié)圖中交叉點(diǎn)的個(gè)數(shù)，S表示紐結(jié)投影圖K的交叉點(diǎn)按照不同方式打開的所有狀態(tài)，共有2n種打開方式．

定義1.2兩個(gè)投影圖稱為等價(jià)的，或稱為同痕的，如果從一個(gè)投影圖出發(fā)，經(jīng)過一連串的R1，R2，R3初等變換以及平面變形，可以得到另一個(gè)投影圖．

定義1.3在紐結(jié)投影圖中，如果沿著該圖中的每條線，交叉點(diǎn)都是一上一下一上一下地相互交錯(cuò)出現(xiàn)的，則稱該紐結(jié)為交錯(cuò)紐結(jié)．

定義1.4將交錯(cuò)紐結(jié)投影圖K轉(zhuǎn)化為四岔地圖，四岔地圖的各個(gè)區(qū)域標(biāo)記為陰影部分或非陰影部分，滿足以下兩點(diǎn)：

(1)無邊區(qū)域標(biāo)記為非陰影部分；

(2)擁有一條公共邊的相臨兩區(qū)域的顏色不同；

平面圖Γ(Κ)中的頂點(diǎn)對應(yīng)四岔地圖中陰影部分，Γ(K)中的邊對應(yīng)四岔地圖中的公共交叉點(diǎn)．

因此每個(gè)交錯(cuò)紐結(jié)投影圖都對應(yīng)一個(gè)平面圖，若給出平面圖G，滿足定義1.1中的要求，可畫出與其對偶的四岔地圖，所以平面圖與四岔地圖是一一對應(yīng)的關(guān)系．但是若給出一個(gè)四岔地圖，我們無法唯一確定其對偶交錯(cuò)紐結(jié)投影圖．因?yàn)槊總€(gè)四岔地圖都對應(yīng)兩個(gè)交錯(cuò)紐結(jié)投影圖，彼此互為鏡面像．

引理1.1[6]互為鏡面像的兩個(gè)交錯(cuò)紐結(jié)投影圖K與K′的方括號多項(xiàng)式[K]和[K′]滿足下面等式：

[K](A，B)=[K′](B,A)

即將[K]中的變量A與B改為B與A，即可得到[K′]．

對于平面圖G，我們定義一個(gè)二元雙色多項(xiàng)式ZG(q,v)∈Z[q,v]，滿足下面三個(gè)公理：

(2)Z·G=qZG

(3)Z·=q

當(dāng)v=-1時(shí)，雙色多項(xiàng)式特殊化為色多項(xiàng)式KG(q)，既ZG(q,-1)=KG(q)．由(3)可知，若平面圖含有n個(gè)頂點(diǎn)，則色多項(xiàng)式KG(q)為關(guān)于q的一元n次多項(xiàng)式．KG(q)表示用q(≥2)種顏色對平面圖G的頂點(diǎn)進(jìn)行著色，使擁有公共邊的相鄰兩頂點(diǎn)顏色不同，共有KG(q)種著色方法[9-10].

定義1.6一個(gè)平面G圖定義為一個(gè)偶對(V,E)，記作G=(V,E)，其中

(1)V是一個(gè)集合，其中的元素稱為頂點(diǎn)；

(2)E是無序積V×V中的一個(gè)子集合，其元素稱為邊；

集合V×V中的元素可在E中出現(xiàn)不止一次．在圖論中，若連接同一對頂點(diǎn)的邊數(shù)大于1，則稱這樣的邊為多重邊，其邊數(shù)稱為重?cái)?shù)．

引理1.2平面圖G含有多重邊，平面圖G′是將G中的多重邊去掉，則兩個(gè)平面圖的色多項(xiàng)式均為KG(q)．即多重邊不影響平面圖的頂點(diǎn)著色數(shù)目．

定義1.7平面圖中不含圈的連通圖稱為樹.

定義1.8如果在圖G中刪去一條邊后，圖G的分支數(shù)增加，則稱此邊為G的割邊．

2 方括號多項(xiàng)式與雙色多項(xiàng)式

引理2.1[4]令K(G)是與平面圖G對偶的交錯(cuò)紐結(jié)投影圖G，滿足平面圖的頂點(diǎn)對應(yīng)K(G)的陰影部分(上穿線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)掃過的區(qū)域)，則由K(G)的方括號多項(xiàng)式可導(dǎo)出G的雙色多項(xiàng)式：

上述引理僅限于部分交錯(cuò)紐結(jié)，具有一定的局限性．但我們知道另外一部分交錯(cuò)紐結(jié)與此部分交錯(cuò)紐結(jié)互為鏡面像．由引理2.1可知兩者的方括號多項(xiàng)式之間存在著必然的轉(zhuǎn)換關(guān)系．因此本文涉及到的交錯(cuò)紐結(jié)均可以與平面圖建立一一對應(yīng)關(guān)系．

q=d2

與方括號多項(xiàng)式[K(G)]比較，每一單項(xiàng)式中缺少變量B．由方括號多項(xiàng)式的計(jì)算公理可知，[K]的一般形式為：

[K]=∑SAik(s)Bjk(s)d|s|

其中ik(s)+jk(s)=n為紐結(jié)投影圖中交叉點(diǎn)的個(gè)數(shù)．如果知道每一單項(xiàng)式中變量A或B的指數(shù)，即可求出另一變量的指數(shù)．

因此，在多項(xiàng)式f(A,d)中，每一項(xiàng)添加變量B,使得A、B的指數(shù)和為紐結(jié)投影圖中交點(diǎn)總數(shù)．

這樣，我們由G的雙色多項(xiàng)式ZG(q,v)導(dǎo)出了K(G)的方括號多項(xiàng)式[K(G)]．證畢．

引理2.2[10]如果圖G是子圖H和K的并，且H∩K當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)頂點(diǎn)，那么

通過方括號多項(xiàng)式的計(jì)算公理仍能得到上述結(jié)果，但是計(jì)算相對繁瑣些．我們注意到，利用平面圖的雙色多項(xiàng)式計(jì)算其對偶交錯(cuò)紐結(jié)投影圖的方括號多項(xiàng)式更便捷一些，這也是研究兩者關(guān)系的重要意義之一．為此我們有必要詳細(xì)研究一下有關(guān)平面圖的雙色多項(xiàng)式計(jì)算的相關(guān)性質(zhì)．

引理2.3[11]樹的雙色多項(xiàng)式的一般形式為：

ZG(q,v)=q(a+v)n

其中n表示樹的樹枝數(shù)，與樹枝的排列方式無關(guān)．

定理2.2(1)簡單n邊形的雙色多項(xiàng)式的一般形式為：

(2)平面圖G是在簡單n邊形的基礎(chǔ)上，僅多添加一條重邊，則其雙色多項(xiàng)式的計(jì)算滿足如下關(guān)系：

ZG(q,v)=ZG′(q,v)+v(v+1)ZG″(q,v)

其中G′表示G去掉重邊后的n邊形，G″表示比G′少一條邊的n-1邊形，當(dāng)n=1時(shí)，G″表示一個(gè)點(diǎn)．

該定理利用歸納法以及引理2.2、引理2.3可以證明．同時(shí)該結(jié)果說明了重邊對于平面圖的頂點(diǎn)著色問題無實(shí)質(zhì)影響．

推論2.1平面圖G是在簡單n邊形的基礎(chǔ)上含有一條重邊，則其雙色多項(xiàng)式的一般形式為：

ZG(q,v)=(v+2)

推論2.2平面圖G是在簡單n邊形的基礎(chǔ)上，在其一邊上具有m重邊，則其雙色多項(xiàng)式的計(jì)算公式滿足：

其中G′表示G去掉m重邊后的n邊形，G″表示比G′少一條邊的n-1邊形．

定理2.3如果平面圖G是子圖H和K的并，

且H∩K只是一條邊，那么

其中G-1表示平面圖G去掉公共邊后的圖形，H-1表示H收縮公共邊后的圖形，K-1表示K收縮該公共邊后的圖形．

因此，

引理2.4[11]如果圖G是子圖H和K的不交并，那么

ZG(q,v)=ZH(q,v)ZK(q,v).

根據(jù)本引理以及雙色多項(xiàng)式的性質(zhì)可以證明下面的結(jié)果.

定理2.5如果平面圖G是子圖H和K當(dāng)且僅當(dāng)通過一條邊連接，該邊為圖G的割邊，那么

以上是有關(guān)平面圖雙色多項(xiàng)式的計(jì)算的相關(guān)性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以給出雙色多項(xiàng)式的簡化計(jì)算，進(jìn)而簡化對偶交錯(cuò)紐結(jié)投影圖的方括號多項(xiàng)式的計(jì)算過程.從而可以研究與平面圖著色的相關(guān)問題[12].

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