祝智浩

（紹興市第一中學(xué)，浙江 紹興 312000）

1 問(wèn)題提出

2014年“北約”自主招生物理試題解答題第1題：在真空中，質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)小球，只受萬(wàn)有引力作用，某個(gè)時(shí)刻，兩球相距L0，m1的速度為v0，方向指向m2，m2的速度為v0，速度垂直于兩球球心連線，問(wèn)當(dāng)速度v0滿足什么關(guān)系時(shí)，兩個(gè)小球的間距可以為無(wú)窮遠(yuǎn).

2 問(wèn)題求解

要確定物體的運(yùn)動(dòng)情況，需明確該物體各個(gè)時(shí)刻（位置）的受力情況以及初始條件.若單獨(dú)以m1為研究對(duì)象，則m1受力的大小和方向均受到m2位置的約束，而m2位置的確定又與m1的運(yùn)動(dòng)情況有關(guān)，因此兩物體所受的變力難以描述.

為了解決這個(gè)困難，可以有兩種辦法：

（1）轉(zhuǎn)變研究對(duì)象，取系統(tǒng)為研究對(duì)象，將變力化為內(nèi)力，避開(kāi)變力的描述；

（2）轉(zhuǎn)化參考系，在m1的參考系中研究m2的運(yùn)動(dòng)，方便變力的描述.

方法1.在地面參考系中取系統(tǒng)為研究對(duì)象.

在地面參考系中取m1和m2組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于系統(tǒng)不受外力，所以系統(tǒng)的動(dòng)量和機(jī)械能均守恒；且當(dāng)兩球間距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，勢(shì)能為0.

如圖1所示建立坐標(biāo)系，設(shè)m1的末速度在x、y方向上的分量為v1x、v1y，m2的末速度在x、y方向上的分量為v2x、v2y.

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒有

圖1

系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有

（3）式等號(hào)右邊整理為

對(duì)于第一項(xiàng)，利用（1）式消去v2x，得

同理，

所以

化簡(jiǎn)有

方法2.在質(zhì)心參考系中取系統(tǒng)為研究對(duì)象.

在質(zhì)心系中取系統(tǒng)為研究對(duì)象，該質(zhì)心系中，仍只有保守內(nèi)力做功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

如圖1所示，由質(zhì)心速度的定義可知

同理

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律，有

又Ek末≥0，將v1x′、v1y′、v2x′、v2y′代入，有

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律，有

方法3.在m1的參考系中以m2為研究對(duì)象.

方法1與方法2在慣性系中取系統(tǒng)為研究對(duì)象，避開(kāi)了兩球間復(fù)雜的變力；而變力描述的復(fù)雜性源于兩球均在運(yùn)動(dòng)，為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以m1為參考系，研究m2的運(yùn)動(dòng).

圖2

雖多加了一個(gè)慣性力，但不管是慣性力還是萬(wàn)有引力，均是時(shí)刻指向m1的有心力，在有心力場(chǎng)中描述m2的運(yùn)動(dòng)就方便多了.

m2相對(duì)于m1的初速度為v21＝，即以m1為參考系，m1的初動(dòng)能Ek＝.設(shè)相對(duì)于m1的末動(dòng)能為Ek′（Ek′≥0），對(duì)m2運(yùn)用動(dòng)能定理，有

由于F與F′的方向時(shí)刻指向m1，即在m1的參考系中為有心力，因此上式等號(hào)左邊積分

又Ek＝m2v02，Ek′≥0，所以

1 陳鋼，阮中中.柯尼希定理運(yùn)用于兩體問(wèn)題的討論［J］.物理與工程，2010，（1）：21.

2 張新華.引入約化質(zhì)量 破解物理競(jìng)賽中的二體問(wèn)題［J］.物理通報(bào)，2012，（7）：99.