馬學(xué)玲，詹建明

（湖北民族學(xué)院 科技學(xué)院；湖北民族學(xué)理學(xué)院，湖北 恩施 445000）

矩陣是工科數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的概念,它是代數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具.“矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的,他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語(yǔ).

矩陣的應(yīng)用相當(dāng)廣泛.它不僅被應(yīng)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,而且在力學(xué)、物理、科技、現(xiàn)代自然科學(xué)、工程技術(shù)乃至社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域都是一個(gè)不可缺少的工具.逆矩陣作為矩陣論的一個(gè)重要分支,它的存在不可或缺，同時(shí)逆矩陣的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛,為了更便捷地求矩陣的逆,本文根據(jù)逆矩陣的定義和性質(zhì)總結(jié)了一些求逆矩陣的方法,這些方法能幫助我們更快更準(zhǔn)地解決繁瑣的求逆矩陣問(wèn)題.同時(shí)，它還是理工科學(xué)生更好地學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ)知識(shí),可為他們以后繼續(xù)深造打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1 逆矩陣

我們知道,對(duì)于任意n階方陣A都有AE=EA=A這里E是n階單位矩陣.

1.1 逆矩陣定義

定義 令A(yù)是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣,若是存在F上n階矩陣B,使得

那么A叫作一個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣）,而B(niǎo)叫作A的逆矩陣.

1.2 逆矩陣的性質(zhì)

（1）逆矩陣唯一；

（2）若A可逆,則A-1也可逆且(A-1)-1=A；

（3）(AT)-1=(A-1)T；

（4）若A、B均可逆且A、B同階，則AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1；

1.3 可逆的等價(jià)條件

若 A∈Fn×n，以下條件等價(jià)：

（1）A可逆；（2）堝B∈Fn×n,st AB=E；

（3）r(A)=n； （4）|A|≠0；

（5）A的行向量組線性無(wú)關(guān)；

（6）A的列向量組線性無(wú)關(guān)；

（7）A可表示成一系列初等矩陣的乘積；

（8）A可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化成E；

（9）A可經(jīng)過(guò)一系列初等列變換化成E；

（10）齊次線性方程組Ax=0只有零解.

2 逆矩陣的求法

在判斷一個(gè)n階矩陣A可逆后,就可以求其逆矩陣.主要求逆矩陣的方法有：

2.1 利用定義求逆矩陣

由AB=E解出A-1，即求出B.

2.2 利用伴隨矩陣求逆矩陣

定理1 矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A的行列式detA≠0，且

這種求逆矩陣的方法，因?yàn)橐驛的行列式|A|及A的伴隨矩陣A*，計(jì)算量很大,但是在理論上是很重要的.

2.3 利用初等行（列）變換求逆矩陣

如果n階矩陣A可逆,要求A-1,先由A作出一個(gè)n×2n矩陣（或者2n×n）,即(A|E)（或者），然后對(duì)這個(gè)矩陣施以行初等變換（或者列初等變換）,將它的左（上）半部的矩陣A化為單位矩陣,那么右（下）半部的單位矩陣就同時(shí)化為A-1：

2.4 利用混合初等行列變換求逆陣矩

在一般的高等代數(shù)課本里面,只介紹了有限次使用行變換或有限次使用列變換來(lái)求可逆矩陣的逆矩陣,但是在實(shí)際解題過(guò)程中只用初等行變換或只用初等列變換對(duì)于有些矩陣化為單位矩陣是有難度的,會(huì)給我們的計(jì)算帶來(lái)不便.在求解逆矩陣的時(shí)候是否可以既進(jìn)行行變換，又進(jìn)行列變換？如果可以怎樣變換？下面介紹這一方法，若同時(shí)采用行和列初等變換,把一個(gè)矩陣置于含單位矩陣的分塊矩陣中,這樣可以較快求出矩陣的逆.

定理2 若用一系列初等行列變換將可逆矩陣A化成單位矩陣E，則必存在矩陣B,C使得A-1=BC,且B由E初等列變換得到,C由E初等行變換得到（矩陣B,C均為非奇異矩陣）.例3 矩陣

解

2.5 利用分塊矩陣求逆矩陣

設(shè)A、B分別為P、Q階可逆矩陣,則：

2.6 利用哈密頓－凱萊（Hamilton-Caylay）定理求逆矩陣

利用矩陣的特征多項(xiàng)式求可逆矩陣的逆，首先求出可逆矩陣的特征多項(xiàng)式,然后根據(jù)Hamilton-Caylay可得到可逆矩陣的逆矩陣.

定理3 設(shè)A=(aij)是數(shù)域F上的一個(gè)n階矩陣，A的特征多項(xiàng)式 fλ(λ)=λn+kλn-1+…+k1λ+k0，若 A可逆,則 A的逆矩陣

解 A的特征多項(xiàng)式為

由|A|=9，所以A是可逆的.

2.7 利用Gauss-Jordan定理求逆矩陣

解

由矩陣的乘法寫(xiě)成方程的形式:

即X=BY,其中

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