賈培強

（唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山063000）

一、引言

“結(jié)構(gòu)力學(xué)”是土木、水利、交通及橋梁工程等專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，它為工程結(jié)構(gòu)設(shè)計提供必要的理論依據(jù)和數(shù)據(jù)計算方法，同時它又是研究生、一級注冊建筑師、一級注冊結(jié)構(gòu)師的考試課程之一。該課程以其獨有的特性和靈活的解題技巧而為眾多相關(guān)專業(yè)的師生所高度重視，尤以桿件體系組成的多變及內(nèi)力計算方法的多樣性、靈活性最為引人關(guān)注。

通過本課程的教學(xué)，可以揭示各類不同結(jié)構(gòu)的幾何組成和合理形式，提供各類結(jié)構(gòu)在不同荷載作用下的強度、剛度、穩(wěn)定性的計算原理和計算方法，從而培養(yǎng)學(xué)生靈活的結(jié)構(gòu)分析方法和熟練的結(jié)構(gòu)計算能力，為混凝土、鋼結(jié)構(gòu)、水工鋼結(jié)構(gòu)等課程的學(xué)習(xí)提供必要的基礎(chǔ)理論知識，發(fā)揮其不可替代的重要作用。但“結(jié)構(gòu)力學(xué)”課程內(nèi)容具有較強的系統(tǒng)性和邏輯性，學(xué)生學(xué)習(xí)起來確有一定的難度，故而在此探討其主要知識點的學(xué)習(xí)方法及相關(guān)的解題技巧。

二、平面桿系結(jié)構(gòu)的幾何組成分析在結(jié)構(gòu)計算中的重要性

平面桿系結(jié)構(gòu)幾何組成分析在“結(jié)構(gòu)力學(xué)”中占有相當(dāng)重要的地位，比如：靜定結(jié)構(gòu)合理計算順序的選擇、超靜定結(jié)構(gòu)中基本未知量的判斷、力法計算超靜定時靜定基本結(jié)構(gòu)的合理選取、動力計算中自由度的確定都與之密切相關(guān)。而分析一個體系的幾何組成與體系的組成規(guī)則是分不開的，只有靈活地使用規(guī)則，才能快而準地分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)的組成。

幾何不變體系的基本組成規(guī)則概括起來可簡單歸結(jié)為以下4條：①兩片三鏈桿法，②兩片一鉸一鏈桿法，③三片三鉸法，④增減二元體法［1］。這4條規(guī)則形式上用于不同剛片組成的體系，實質(zhì)上將剛片和鏈桿靈活看待時，它們則是完全等效的［2］，完全可以做到同一體系用不同規(guī)則進行分析，達到靈活分析體系幾何組成的目的。同時，只有靈活地分析體系的幾何組成，才能清楚哪些體系可以作為結(jié)構(gòu)，哪些結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)，哪些是超靜定結(jié)構(gòu)，以便選擇相應(yīng)的計算方法，同時，掌握結(jié)構(gòu)的組成順序，還可以從中尋求簡單合理的解題途徑。否則，一但結(jié)構(gòu)形式有變，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算將無頭緒。由此可見，體系的幾何組成分析在“結(jié)構(gòu)力學(xué)”課程中是非常重要的。

例1 計算圖1中桁架結(jié)構(gòu)中1桿的軸力［3］。

解 分析：運用逆幾何組成順序求解。由于最上面兩桿件最后搭接，故可由結(jié)點法先求出頂部兩桿件軸力，再利用截面法切斷頂部兩桿件搭接之前搭接的1，2，3桿件，取出分離體，然后計算1桿的軸力。

（1）計算反力，見圖1。

圖1 桁架結(jié)構(gòu)

（2）用截面法取出分離體，見圖2，然后計算1桿的軸力。

圖2 分離體

此題計算過程非常簡單，問題的關(guān)鍵就在于要真正理解并掌握結(jié)構(gòu)的幾何組成分析方法，以及逆幾何組成求解內(nèi)力的真正含義。

三、靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算是超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算的根基

平面靜定桿件結(jié)構(gòu)的類型有：靜定梁、剛架、桁架、組合結(jié)構(gòu)、三鉸拱。這些結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力的計算過程無一不以其幾何組成為依據(jù)，然后按著幾何組成的逆順序進行求解。桁架和組合結(jié)構(gòu)反力及內(nèi)力的求解，計算順序尤為重要，必須先分析結(jié)構(gòu)的幾何組成，按逆幾何組成順序采用結(jié)點法、截面法、結(jié)點法與截面法的聯(lián)合應(yīng)用、通路法、代替桿法等計算桿件的內(nèi)力，此即為最簡單合理的解題途徑。而靜定梁、剛架的內(nèi)力計算除遵從上述順序外，更為重要的是靈活應(yīng)用截面法繪制結(jié)構(gòu)的彎矩圖、剪力圖和軸力圖。其中彎矩為主要內(nèi)力，彎矩圖的繪制要求非常熟練，通常采用區(qū)段疊加法繪制。

快速繪制梁和剛架的彎矩圖進而作剪力圖和軸力圖的具體步驟如下：

（1）快速求解支座反力或只求垂直桿件軸線的支反力，力求一個方程求解一個未知反力，不解聯(lián)立方程。

（2）根據(jù)集中力作用點、集中力偶作用點、分布荷載的起點和終點及剛結(jié)點將桿件劃分區(qū)段，并判斷各段彎矩圖形狀。

（3）用截面法求各分段點或桿端彎矩，畫在受拉側(cè)，連接各分段點彎矩，再疊加橫向力在簡支梁的彎矩圖。

（4）由彎矩圖的斜率或桿段平衡法繪剪力圖，或由區(qū)段法繪剪力圖。

（5）由剪力圖通過結(jié)點平衡法計算桿端軸力并繪軸力圖或由區(qū)段法繪剪力圖。

按此法一步步作圖到快速完成內(nèi)力圖的勾畫，逐步達到熟練繪制靜定梁及剛架的內(nèi)力圖的要求。并據(jù)M，F(xiàn)Q圖特點能定性判斷所作圖形的正誤。具體判斷原則：①無荷載區(qū)段，F(xiàn)Q圖與桿軸基線平行即水平直線，M圖一般為與基線斜交的直線即斜直線。②均布荷載作用區(qū)段，F(xiàn)Q圖為斜直線，M圖為二次拋物線。③集中力作用處，F(xiàn)Q圖將發(fā)生突變，突變值等于集中力的值；M圖出現(xiàn)與集中力方向相同的尖角并發(fā)生折變。④集中力偶作用處，F(xiàn)Q圖在該處無變化仍為連續(xù)直線，M圖在該處將發(fā)生突變，突變值等于該集中力偶矩的值。⑤在鉸結(jié)點兩側(cè)或鉸支座旁的截面上，如無外力偶作用，這些截面的彎矩必等于零；若有外力偶作用，該截面的彎矩值即等于外力偶矩的值。⑥均布荷載區(qū)段的端截面處，如無集中荷載作用，則截面兩側(cè)的彎矩圖必定有公共的切線，且為光滑連接的圖線。⑦對于兩桿匯交的剛結(jié)點，若無外力偶作用，其上的兩桿端彎矩必定相等且同在外側(cè)或同在內(nèi)側(cè)受拉。

綜上可知，只有熟練地計算靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，才能熟練地求解靜定結(jié)構(gòu)的位移，為圖乘法計算靜定梁和剛架結(jié)構(gòu)的位移奠定基礎(chǔ)。

四、圖乘法計算梁和剛架位移時的圖形分解技巧

對于梁和剛架結(jié)構(gòu)采用圖乘法來計算其位移，無疑是最好的求解線彈性體系位移的簡捷方法，為此首先要掌握各種圖形的面積和形心位置，并按照圖乘法的圖乘條件，縱距取自直線圖形，面積取自另一圖形。應(yīng)用圖乘公式計算梁和剛架的位移時，對于復(fù)雜圖形一定要注意圖形的分解方法。一般來說，圖形是怎樣疊加作出來的就怎樣分解，總之應(yīng)力求使圖乘過程越簡單越容易為最佳。此外，對稱結(jié)構(gòu)上的正對稱與反對稱圖形的圖乘結(jié)果為零，應(yīng)將此結(jié)論應(yīng)用于其它梁和剛架結(jié)構(gòu)的位移計算。

例2 用圖乘法求圖3所示靜定剛架結(jié)點C的豎向線位移。已知：各桿EI＝常數(shù)，各段桿長均為l。

圖3 鋼架結(jié)構(gòu)

解 （1）作剛架彎矩圖MP圖，見圖4。

圖4 荷載彎矩圖（MP圖）

圖5 單位力彎矩圖圖）

（3）計算C點豎向線位移ΔCV。

圖乘時可將MP圖分解為一個反對稱彎矩圖和一個豎桿的二次拋物線圖形的疊加，反對稱與正對稱珨M 圖圖乘結(jié)果為零，最后只剩下豎桿的二次拋物線圖形與該桿的三角形圖形相乘了，從而使計算得到簡化。

我們也可以將原剛架的荷載分解為正對稱與反對稱荷載的疊加，反對稱荷載引起的位移等于零，只考慮正對稱荷載引起的位移，應(yīng)用兩個正對稱圖形的半部結(jié)構(gòu)圖乘，再乘2倍即可。

五、力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵是選擇合理的基本結(jié)構(gòu)

力法計算超靜定結(jié)構(gòu)需要選取原超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)，而每一個超靜定結(jié)構(gòu)都有多種不同形式的基本結(jié)構(gòu)，并且按照每個基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)變形及位移相同的條件建立力法方程都能夠計算出正確且相同的內(nèi)力，但是計算過程的難易程度差異非常大，所以選擇合理的基本結(jié)構(gòu)則成為力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。合理的基本結(jié)構(gòu)可以選擇靜定結(jié)構(gòu)，也可以選擇任意一種低次超靜定結(jié)構(gòu)?？傊?，計算過程越簡單越好。下面談一下如何選擇理想的基本結(jié)構(gòu)，才能使解題更簡單。

（1）一般情況下，選擇基本結(jié)構(gòu)時應(yīng)考慮以桿件的桿端彎矩作為基本未知量，由此使得內(nèi)力計算簡單化。

（2）若超靜定結(jié)構(gòu)是對稱結(jié)構(gòu)，則應(yīng)首先考慮選擇對稱的靜定結(jié)構(gòu)或?qū)ΨQ的低次超靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)。

（3）若超靜定結(jié)構(gòu)是對稱結(jié)構(gòu)且承受對稱或反對稱荷載，則應(yīng)首先考慮選擇半部結(jié)構(gòu)以簡化結(jié)構(gòu)，再針對半部結(jié)構(gòu)選擇理想基本結(jié)構(gòu)進行計算，或應(yīng)用成對未知力法簡化基本未知量，再進行計算。

總之，力法計算超靜定結(jié)構(gòu)應(yīng)首先考慮化簡結(jié)構(gòu)以簡化計算；其次在選擇基本結(jié)構(gòu)時，應(yīng)力求使力法方程的副系數(shù)和自由項盡可能多的為零，或者簡單易求。要做到這一點必須對靜定結(jié)構(gòu)乃至簡單低次超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算非常熟練。

例3 力法分析圖6所示的超靜定結(jié)構(gòu)。已知：桿件抗彎剛度EI＝常量，彈簧剛度系數(shù)為k。

圖6 超靜定結(jié)構(gòu)

分析：此題為4次超靜定結(jié)構(gòu)，若按通常方法需要求解四元一次代數(shù)方程組，計算過程繁瑣，若采用下面的方法求解其內(nèi)力可使問題簡單。

解法1 選擇3次超靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，如圖7所示。

圖7 基本結(jié)構(gòu)

以彈簧支座反力作為基本未知量，建立力法方程：

圖8 基本結(jié)構(gòu)在單位力下的彎矩圖（圖）

圖9 基本結(jié)構(gòu)在原荷載下的彎矩圖（MP圖）

最后解力法方程，疊加彎矩圖即可。

解法2 應(yīng)用成組未知力法，選擇圖10所示簡支梁靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，以彈簧支座反力和桿兩端的桿端彎矩作為基本未知量（軸向約束力為零），建立力法方程：

按此基本結(jié)構(gòu)計算也比較簡單。

圖10 基本結(jié)構(gòu)

解法3 可以選擇半部結(jié)構(gòu)后再行計算。

力法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法之一，同時它又能為位移法、力矩分配法及多種計算超靜定結(jié)構(gòu)的方法的學(xué)習(xí)和掌握奠定良好的基礎(chǔ)，所以力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的解題技巧尤為重要。

六、結(jié)語

綜上所述，學(xué)生掌握“結(jié)構(gòu)力學(xué)”主要知識點的學(xué)習(xí)方法，將為后面的知識內(nèi)容的理解掌握以及尋求簡捷合理的解題途徑奠定良好的基礎(chǔ)，并由此獲得靈活的解題技巧，做到學(xué)習(xí)方法與解題技巧相互融合，使整門課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)融會貫通。

［1］ 龍馭球，包世華，袁駟.結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅰ：基本教程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2012.

［2］ 賈培強，陳貴清.“虛鏈桿”在組成分析中的應(yīng)用［J］.力學(xué)與實踐，2002（4）：66 -67.

［3］ 楊茀康，李家寶.結(jié)構(gòu)力學(xué)［M］.4版.北京：高等教育出版社，1998.