全日制義務(wù)教育《新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“重要的數(shù)學(xué)概念與思想方法的學(xué)習(xí)可以遵循逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則?！迸c此相應(yīng)地，人教版第三學(xué)段（七～九年級(jí)）數(shù)學(xué)教材對(duì)一些重要的內(nèi)容都采用了分散編排的方式，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握有一個(gè)逐步發(fā)展、不斷深化的過程。那么在具體的教學(xué)實(shí)踐中，如何充分運(yùn)用教材資源，體現(xiàn)這一原則呢？下面是筆者在教學(xué)七年級(jí)教材中一個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)進(jìn)行了變式訓(xùn)練，通過對(duì)這個(gè)探究問題的兩次再現(xiàn)，既充分地運(yùn)用了教材資源，又成功地體現(xiàn)了逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則。

一、試題原型

七年級(jí)數(shù)學(xué)（上）第二章2.4《再探實(shí)際問題與一元一次方程》共設(shè)計(jì)了三個(gè)探究活動(dòng)，結(jié)合其中的探究問題我作了如下變式：

用哪種燈省錢？

小明想在兩種燈中選購一種。其中一種是11瓦（即0.011千瓦）的節(jié)能燈，售價(jià)60元；另一種是60瓦（即0.06千瓦）的白熾燈，售價(jià)3元。兩種燈的照明效果一樣，使用壽命也相同（3000小時(shí)以上）。節(jié)能燈售價(jià)高，但是較省電；白熾燈售價(jià)低，但是用電多。如果電費(fèi)是0.5元/（千瓦時(shí)），選哪種燈可以節(jié)省費(fèi)用（燈的售價(jià)加電費(fèi)）？

這是一個(gè)方案選擇問題，而此時(shí)學(xué)生的知識(shí)狀況是僅學(xué)習(xí)了一元一次方程及其解法，為了讓學(xué)生在目前的狀況下解決這個(gè)問題，我在此設(shè)計(jì)了一系列填空及兩個(gè)“討論”問題，引導(dǎo)學(xué)生思考。其中選擇方案通過代入特殊值試驗(yàn)得出，探究活動(dòng)后可以歸納這個(gè)問題的解答如下：

設(shè)：照明時(shí)間t小時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相等，則

白熾燈的費(fèi)用為（3+0.5€？.06t）元，節(jié)能燈的費(fèi)用為（60+0.5€？.011t）元。

根據(jù)題意，列出方程：3+0.5€？.06t=60+0.5€？.011t

解這個(gè)方程得：t≈2327

分別在時(shí)間小于2327小時(shí)和大于2327小時(shí)中選取一個(gè)特殊值代入兩種燈的費(fèi)用：

（1）取t=2000

白熾燈的費(fèi)用為：3+0.5€？.06€？000=63（元）

節(jié)能燈的費(fèi)用為：60+0.5€？.011€？000=71（元）

（2）取t=2500

白熾燈的費(fèi)用為：3+0.5€？.06€？500=78（元）

節(jié)能燈的費(fèi)用為：60+0.5€？.011€？500=63.75（元）

所以，當(dāng)照明時(shí)間小于2327小時(shí)，選白熾燈費(fèi)用較低；當(dāng)照明時(shí)間等于2327小時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相同；當(dāng)照明時(shí)間大于2327小時(shí)，選節(jié)能燈費(fèi)用較低。

至此，這個(gè)問題已經(jīng)解決，這里有兩個(gè)關(guān)鍵：一是建立方程模型；二是用特殊值試驗(yàn)。但是，由于問題涉及數(shù)值大小的比較，如此解答是不嚴(yán)密的。嚴(yán)格地說，解決這個(gè)問題要用到不等式。

二、首次再現(xiàn)，走向嚴(yán)密

七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）第九章內(nèi)容是《不等式與不等式組》。在學(xué)生學(xué)習(xí)了不等式的解法后，再現(xiàn)這一問題時(shí)機(jī)恰到好處。這時(shí)學(xué)生已學(xué)習(xí)了不等式的有關(guān)知識(shí)，基于學(xué)生現(xiàn)在的知識(shí)水平，探究過程的設(shè)計(jì)就應(yīng)體現(xiàn)在如何建立不等式模型上。問題再現(xiàn)后，設(shè)計(jì)以下問題：

1.設(shè)照明時(shí)間為t小時(shí)，分別寫出兩種燈的費(fèi)用。

2.當(dāng)白熾燈的費(fèi)用小于節(jié)能燈的費(fèi)用時(shí)，求t的取值范圍（精確到1小時(shí)，下同）；當(dāng)白熾燈的費(fèi)用等于節(jié)能燈的費(fèi)用時(shí)，求t的取值范圍；當(dāng)白熾燈的費(fèi)用大于節(jié)能燈的費(fèi)用時(shí)，求t的取值范圍。

3.由以上問題，你能得出怎樣的結(jié)論？

通過這幾個(gè)問題的引導(dǎo)，學(xué)生很容易歸納出這個(gè)問題的解答：

設(shè)：照明時(shí)間t小時(shí)時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相等，則

白熾燈的費(fèi)用為 元，節(jié)能燈的費(fèi)用為 元。

由3+0.5€？.06t<60+0.5€？.011t得t<2327

由3+0.5€？.06t=60+0.5€？.011t得t=2327

由3+0.5€？.06t>60+0.5€？.011t得t>2327

所以，當(dāng)照明時(shí)間小于2327小時(shí)，選白熾燈費(fèi)用較低；當(dāng)照明時(shí)間等于2327小時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相同；當(dāng)照明時(shí)間大于2327小時(shí)，選節(jié)能燈費(fèi)用較低。

這里，利用兩種燈的費(fèi)用建立不等式模型，從而利用解不等式得出結(jié)論，較之用特殊值試驗(yàn)顯然更具說服力，這種說服力來自于解答的嚴(yán)密性。

三、再次再現(xiàn)，體現(xiàn)函數(shù)的統(tǒng)領(lǐng)作用

這一問題的再次再現(xiàn)——即第三次呈現(xiàn)，是在八年級(jí)上學(xué)期。八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）第十一章的內(nèi)容為《一次函數(shù)》，這一章的第11.3節(jié)“用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式”，是用函數(shù)的觀點(diǎn)對(duì)一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組重新進(jìn)行分析。此時(shí)再現(xiàn)這一問題，有利于加強(qiáng)知識(shí)間橫向與縱向的聯(lián)系，發(fā)揮函數(shù)對(duì)相關(guān)內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)作用。

再現(xiàn)此問題時(shí)，不是原題照搬，而是從函數(shù)觀點(diǎn)出發(fā)、以建立函數(shù)模型和運(yùn)用函數(shù)思想解決問題的角度提出問題。為簡化計(jì)算，對(duì)數(shù)據(jù)作了相應(yīng)處理。題目如下：

小明想在兩種燈具中選購一個(gè)。其中一種是節(jié)能燈，貼有“220v，10w”的標(biāo)牌，零售價(jià)60元/個(gè)；另一種是白熾燈，印有“220v，60w”字樣，零售價(jià)2元/個(gè)。兩種燈照明效果相同，當(dāng)?shù)氐碾妰r(jià)是0.5元/千瓦時(shí)。

（1）若照明x（小時(shí)）時(shí)，節(jié)能燈的總費(fèi)用（含購買費(fèi)用和照明用電費(fèi)用，下同）為y1（元）；白熾燈的總費(fèi)用為y2（元），分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若兩種燈使用壽命相同，請(qǐng)你幫助小明選擇比較合理的購買方案。

此時(shí)，這個(gè)問題的解答首先要建立一次函數(shù)，然后運(yùn)用一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得出答案。解答過程如下：

（1）y1=60+0.5€？.01x=60+0.005x

y2=2+0.5€？.06x=2+0.03x

（2）由y12320

由y1=y2即：60+0.005x=2+0.03x得：x=2320

由y1>y2即：60+0.005x>2+0.03x得：x<2320

所以：當(dāng)照明時(shí)間大于2320小時(shí)，選節(jié)能燈費(fèi)用較低，應(yīng)選擇購買節(jié)能燈；當(dāng)照明時(shí)間等于2320小時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相同，選擇哪種燈均可；當(dāng)照明時(shí)間小于2320小時(shí)，選白熾燈費(fèi)用較低，應(yīng)選擇購買白熾燈。

教學(xué)中，通過對(duì)同一個(gè)素材的三次變式使用，學(xué)生經(jīng)歷了利用方程思想、不等式思想和函數(shù)思想解決同一問題的過程。一方面，使學(xué)生體驗(yàn)了用一次函數(shù)可以把前面學(xué)習(xí)的方程和不等式等數(shù)學(xué)對(duì)象統(tǒng)一起來，體會(huì)到函數(shù)的重要性，顯示了函數(shù)思想的統(tǒng)領(lǐng)作用；另一方面，從方程到不等式，學(xué)生體會(huì)了從相等關(guān)系（問題的特殊性）到不等關(guān)系（問題的普遍性）的辯證方法；再由方程和不等式到函數(shù)，學(xué)生又從常量思維提升為變量思維，在數(shù)學(xué)思想上產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍；同時(shí)也充分地體現(xiàn)了逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的新課程理念。

（責(zé)任編輯 劉 馨）