德國哲學家黑格爾認為：“數學是科學的大門和鑰匙。”信息時代的來臨，極大地推動了數學知識的廣泛使用，它已成為人們拓展科學領域不可或缺的工具?！按鷶捣?、幾何難、三角公式多”已成為不爭的事實，也折射出學生對高中數學學習的無耐。如何提高數學學習效果？是我們數學教育工作者共同面臨的問題。

一、數學難點的成因探析

教學難點指學生不易理解、難以掌握的知識和技能，導致練習時出錯率較高。難點產生的原因主要有：

1.來自教材方面的原因。模塊內容劃分的不合理，導致知識的連續(xù)性受到破壞，如將“平面向量”置于“三角函數”與“三角恒等變換”內容之間，導致學生恒等變換困難。立體幾何、函數、極限等內容具有高度的抽象性，教材因受篇幅的限制，以結論來展開闡述，忽視了知識的發(fā)展變化過程，學生學起來感到突兀，以致理解困難。

2.來自教師方面的原因。部分教師教學思想陳舊、教學方法單一，忽視了自身的專業(yè)化成長，缺乏過硬的專業(yè)知識和扎實的基本技能，不去分析學情，不能精準地把握、巧妙地轉換教學難點。教師教學方法不當，機械地灌輸教學內容，忽視分層教學和小組合作，對學生要求過高，影響了學生對知識的理解。

3.來自學生本身的原因。由于學生的學習基礎差、認知結構不夠完善、達不到教學內容所需的思維能力，導致其沒有辦法正確地理解新知識；或缺乏信心，缺少毅力，稍有點困難就退縮不前，久而久之，導致自身學習困難。

二、認知偏差產生的原因

認知偏差是人對客觀事件的屬性及其具有的規(guī)律或虛假現象產生的一些不切實際、不全面的主觀反應，從而出現判斷失誤。教師在教學活動中，往往會對學生產生諸如首輪效應、光環(huán)效應、近因效應等認知偏差；學生在學習活動中也會因主觀上的個人傾向、情境產生一些非理性的認識，導致學生在教學活動中對某個數學難點的理解不夠全面，或者不正確。

三、認知偏差產生解題錯誤分析

1.概念理解不透徹。數學概念是人們對現實世界的數量關系和空間形式的本質反應，它是學生掌握運算技能、提高邏輯推理能力和培養(yǎng)空間想象能力的前提和基礎。由于部分高中生對數學概念理解不清，導致判斷失誤，產生顧此失彼的現象；或沒有掌握性質，做題找不到準確的方法與技巧。

分析：偶函數的定義為：對定義域內任意一個x，都有f（x）=f（-x），那么函數f（x）就叫做偶函數，它是關于y軸對稱的，同樣奇偶數是關于原點對稱的。而在本題中，函數f（x）有意義，必須滿足■？叟0，函數的定義域為{x|-1？燮x<1}。由于定義域不關于原點和y軸對稱，因而此函數既不是奇函數也不是偶函數。教師要引導學生從錯題入手，進一步研究基本概念，理解概念的內涵，厘清概念間的關系。

2.忽略了題目的隱含條件?！懊鳂屢锥?，暗箭難防。”所謂“暗箭”就是解題中的隱含條件，它是指數學問題中若明若暗、隱而不露的已知條件，由于其極其隱蔽，或藏于函數的定義域與值域中，或隱于圖形的特殊位置，往往為學生所忽視，導致學生紛紛“中箭”，產生認知偏差。

分析：學生在解題時往往根據條件推導結論y≠1，而忽視了指數函數的值域y>0這個隱含條件，導致答案的不完整。教師在教學中要引導學生全面考慮定義與性質，從概念中挖掘隱含條件；或嚴謹分析求證的結論，從推理中充分挖掘隱含條件。

3.忽視了結論的唯一性。有些數學問題的結論不是能唯一確定的，我們如果把它歸為統一的形式加以研究，就忽視了數學學科的嚴密性，導致結論的不完整。我們要根據題目的特點，采用分類討論的方法，將問題分成若干個小問題加以解決，逐一突破，尋求問題的結論。

如：已知直線l經過直線l1：2x+y-9=0與直線l2：x-4y=0的交點，若點A（2，0）到直線l的距離為2，求直線的方程。

錯解：由方程組2x+y-9=0x-4y=0

得直線l1與l2的交點P（4，1），設直線l的斜率為k，則直線方程為y-1=k（x-4）

分析：過平面上的一點的直線常用點斜式來求解，但其使用條件是此直線必須存在斜率，因此除此解法外，還要分類討論不存在斜率的情況下是否滿足條件。當直線的斜率不存在時，由已知直線l過點P（4，1）且垂直于x軸，故直線方程為x=4，此時也滿足點A（2，0）到直線的距離為2。因此直線x=4符合題意。因此直線的方程為x=4或3x+4y-16=0。教師要進行針對性的訓練，培養(yǎng)學生的思維的慎密性和深刻性，解決由考慮不周而導致的認知偏差產生的錯誤。

4.三角函數公式產生混淆。三角函數的誘導公式繁多且符號易于變化，如果教師在授課過程中對誘導公式的來龍去脈講述不清，不采取有效的策略幫助學生記憶，只要求學生死記硬背、機械記憶，往往會導致學生產生認知偏差，應用混淆不清。

分析：學生對三角函數的誘導公式記憶錯誤，cos（π-α）=-cosα，正確的結果應該是-■。著名數學家華羅庚認為：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”客觀世界的圖形和數量之間存在著千絲萬縷的聯系，數形結合能達到以形助數、以數解形的目的。教師在講解三角函數誘導公式時，一方面要結合三角函數的背景，借助于平面直角坐標系與圓來理解記憶；另一方面也可借助于口訣“奇變偶不變，符號看象限”來理解，所謂“象限”就是要記住不同象限角的函數值符號為正的情況，即“一全正，二正弦，三正余切，是余弦”。

由于學生對概念和性質的理解、對公式和定理的應用產生偏差，導致解題出錯。我們數學教師要針對學生的錯題分析學生的認知偏差的成因，采取有效的記憶方法和針對性的訓練，提高學生的解題能力。

（作者單位：江蘇省南通市海安縣實驗中學）