邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科，基本的邏輯知識(shí)是認(rèn)識(shí)問題、研究問題不可缺少的工具。數(shù)學(xué)內(nèi)容表達(dá)，命題之間關(guān)系，命題成立條件，都離不開邏輯用語。因此，其教育價(jià)值不言而喻。筆者這里交流的主要是學(xué)生課外進(jìn)行自主合作研究后提出的一些問題和疑問?，F(xiàn)把與學(xué)生交流的其中幾個(gè)問題展示如下，與同仁共討。

問題1.高中數(shù)學(xué)選修2-1第10頁練習(xí)第3題：

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的必要條件？

（1）若a+5是無理數(shù)，則a是無理數(shù)；

（2）若（x-a）（x-b），則x=a。

學(xué)生存在的疑惑是：這兩個(gè)命題中的p均是q的必要條件。而教參提供的答案是（1）中的p是q的必要條件。

老師肯定學(xué)生的看法，因此為了證明答案有問題，他們查閱了文科的選修1-1課本。恰好該題在選修1-1的第10頁練習(xí)處。教參提供的答案也是（1）中的p是q的必要條件。可選修1-1提問的是：哪些命題中的q是p的必要條件？所以可以證實(shí)這個(gè)答案有問題。

第（2）題的正確理解：若x=a，則（x-a）（x-b），顯然該命題是真命題。所以p是q的必要條件。

問題2.高中數(shù)學(xué)選修2-1第10頁練習(xí)第4題第4小題：判斷下列命題的真假：

（4）ab≠0是a≠0的充分條件。

學(xué)生一直感到疑惑的是：ab≠0不能等同于a≠0且b≠0嗎？所以ab≠0不是a≠0的充分條件。

老師采用的方式是：利用原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷。

該命題的逆否命題：若ab=0，則a=0（真命題），所以ab≠0是a≠0的充分條件。

問題3.全品選修2-1練習(xí)冊1.3簡單的邏輯連結(jié)詞中第6題：

已知P Φ？奐{0}，q∶{2}∈{1，2，3}由他們構(gòu)成的新命題“？劭 p”“？劭 q”“p∧q”“p∨q”中，真命題有（ ）

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

學(xué)生疑問的地方：q∶{2}∈{1，2，3}這是不是一個(gè)命題？若是，顯然它是個(gè)假命題。它的否定：q∶{2}？埸{1，2，3}這個(gè)命題是真命題還是假命題？回答是真命題會(huì)有點(diǎn)牽強(qiáng)嗎？

在這里兩個(gè)集合之間的關(guān)系本不該用“∈或？埸”進(jìn)行表達(dá)。老師認(rèn)為這里應(yīng)該采用三段論的思想來進(jìn)行解析，也就是該命題的大前提錯(cuò)了，后面就沒有討論的意義。這個(gè)命題若改為：q∶{2}？奐{1，2，3}，老師學(xué)生應(yīng)該就不會(huì)有什么意見了吧。當(dāng)然不考慮符號用法問題的話，也只能承認(rèn)q∶{2}？埸{1，2，3}是真命題。

問題4.“是”與“都是”的理解一樣嗎？

例：全稱命題“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”與“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是同一個(gè)命題嗎？

學(xué)生存在的疑問是：若這兩個(gè)命題一樣，則它們的否定命題的真假也應(yīng)該一樣。我們且看看他們寫出的否定命題是怎樣的。學(xué)生認(rèn)為：

“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”的否定：“存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”（真命題）；

“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”的否定：“所有的素?cái)?shù)不都是奇數(shù)”（真命題）。

首先學(xué)生這樣的理解是沒有錯(cuò)的。老師再進(jìn)一步給學(xué)生的解析是：“所有的素?cái)?shù)不都是奇數(shù)”的等價(jià)命題就是“存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”，還可以表達(dá)為“并非所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)。

但學(xué)生還有點(diǎn)疑惑的是，為什么“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”的否定可表達(dá)為“所有的素?cái)?shù)不都是奇數(shù)”，而“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”的否定不能表達(dá)為“所有的素?cái)?shù)不是奇數(shù)”？

事實(shí)上這里是局部否定還是全盤否定的問題，老師利用這種觀點(diǎn)進(jìn)行解析。

問題5.高中數(shù)學(xué)選修2-1第27頁B組習(xí)題：

判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：

（1）每條直線在y軸上都有截距；

（2）每個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸相交；

（3）存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和小于180°；

（4）存在一個(gè)四邊形沒有外接圓。

學(xué)生對第（3）小題教參提供的答案有疑問。其中第（3）小題教參提供的答案：每個(gè)三角形的內(nèi)角和不小于180°。那么也就是說內(nèi)角和大于等于180°。他們認(rèn)為答案應(yīng)該是：每個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°。

初看學(xué)生的想法是正確的，細(xì)想下去，我們可以發(fā)現(xiàn)，教參的答案是沒錯(cuò)的。因?yàn)槊}“三角形的內(nèi)角和大于等于180°”和“三角形的內(nèi)角和等于180°”都是真命題。事實(shí)上這里關(guān)鍵問題是對數(shù)學(xué)中“或”的理解，正確理解了就沒疑問了。

學(xué)生之所以對邏輯用語的理解和應(yīng)用很混亂，原因之一：邏輯用語本身思維性很強(qiáng)不好掌握。原因之二：沒有認(rèn)真解讀相關(guān)概念；所以同學(xué)們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，一定要認(rèn)真解讀課本知識(shí)和相關(guān)例題。

在與學(xué)生的交流過程中，邏輯用語本身在交流中的應(yīng)用不慎會(huì)給自己的生活帶來一定的影響。筆者深感：命題，讓人痛并快樂著。因?yàn)閷γ}這塊知識(shí)，自己也不是很深入去研究，對一些復(fù)雜命題的理解也經(jīng)常誤入歧途。因此，除了自己努力再提高對邏輯用語的理解和應(yīng)用外，還要多引導(dǎo)學(xué)生課外主動(dòng)去合作探究，共同提高。

（作者單位 福建泉州外國語中學(xué)）

編輯 王振德