【摘 要】2011新版課標(biāo)對學(xué)生要求從“雙基”變“四基”，除了關(guān)注學(xué)生的雙基落實，更提出在積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的同時，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想。縱觀課堂，教師往往重視知識的落實和基本技能的訓(xùn)練，卻忽視了化歸數(shù)學(xué)思想的滲透，對思想方法缺乏必要引導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生思維能力得不到真正的提高。本文試圖用例談的形式來揭示引導(dǎo)領(lǐng)悟的實踐過程及基本策略，以期讓學(xué)生習(xí)得“革故鼎新，化繁為簡”、“數(shù)形結(jié)合，化難為易”、“類比轉(zhuǎn)換，化生為熟”、“分層擊破，化整為零”等基本操作路徑，更新觀念，重視新版課標(biāo)的導(dǎo)向，挖掘教材，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等過程，領(lǐng)悟基本的化歸數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；化繁為簡；化難為易；化生為熟；化整為零

2011年國家出臺的新版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，相比2001年版，明顯的變化是對學(xué)生要求從“雙基”變“四基”，在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能這“兩基”的基礎(chǔ)上，增加了積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓，是分析、解決數(shù)學(xué)問題的基本原則，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的的重要內(nèi)涵，它是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的催化劑。其中化歸的思想是重要的數(shù)學(xué)基本思想之一，它就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。

縱觀我們小學(xué)教材，已萌芽著化歸思想，成為教材的靈魂，在課堂中，教師們往往重視數(shù)學(xué)知識的落實和基本技能的訓(xùn)練，卻忽視了化歸數(shù)學(xué)思想的滲透，對數(shù)學(xué)的思想方法缺乏必要的引導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力得不到真正的提高。尷尬的現(xiàn)狀迫使我們教師要更新觀念，重視新版課標(biāo)的導(dǎo)向，應(yīng)該努力挖掘教材中可以進(jìn)行化歸數(shù)學(xué)思想滲透的各種因素，恰當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等過程，領(lǐng)悟基本的化歸數(shù)學(xué)思想。

一、革故鼎新，化繁為簡——得來全不費工夫

匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得所說：“數(shù)學(xué)家們也往往不是對問題進(jìn)行正面的攻擊，而是將它不斷變形，直到把它轉(zhuǎn)化成能夠解決的問題?！?/p>

革故鼎新就是改變方式，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡單的形式，把高階的降為低階，把高維的降到低維，使其中蘊涵的數(shù)量關(guān)系和空間形式更加具體，從而找到問題的解決辦法。復(fù)雜問題簡單化是數(shù)學(xué)問題中運用最普遍的思想方法。一個難以直接解決的問題通過對問題深入觀察和研究，轉(zhuǎn)化成簡單的問題迅速求解。

【聚焦鏡頭1】

教學(xué)內(nèi)容：97+98+99+100+101+102+103=？

師：同學(xué)們，這算式得數(shù)是多少？你是怎么算出的？

生：得數(shù)是700，按順序一個一個加起來。

生：得數(shù)也是700，我是將97的103加，98和102加，99和101加，這樣就有6個100，再加上中間的100，就是7個100。

師：比較一下這兩種方法，你喜歡哪種方法？

生：第二種，因為第二種簡單。

師：簡單在哪里？

生：第二種方法，把加法轉(zhuǎn)換為乘法，只要數(shù)準(zhǔn)個數(shù)就能算出得數(shù)，簡單又準(zhǔn)確。

師：如果將上面的算式再接著連續(xù)加上5個數(shù)，還能用乘法算嗎？

生：也能，將97和108相加得205，這樣的得數(shù)有6個，205×6=1230。

師：做了兩道題，有什么收獲想與大家說說嗎？

生：有規(guī)律的加法算式可以用乘法來計算。

生：這樣算起來容易又不出錯。

【分析】這位老師讓學(xué)生親歷算法實踐中發(fā)現(xiàn)解題捷徑，以學(xué)生原有的知識經(jīng)驗為基點，并在引導(dǎo)比較中讓學(xué)生明白變換形式能化繁為簡，從而提高學(xué)生的知識水平，提升數(shù)學(xué)舉一反三的能力。通過這樣對內(nèi)在算式意義的理解，特別是在以后加法進(jìn)行簡便計算時，學(xué)生就會善于從整體上把握結(jié)合律的特點，只要將局部的個別數(shù)加以變化就能簡便計算。改變形式，化繁為簡的化歸思想在樸素的實踐中領(lǐng)悟。

【聚焦鏡頭2】

求這個圖形的周長是多少？

解：長方形周長=（長+寬）×2

（20+16）×2=62（厘米）

【分析】大多數(shù)學(xué)生看到這類題目，會先去計算出每一條邊長，再把6條邊相加求出周長。顯而易見，這種解法算出的結(jié)果是正確的，但是過程相當(dāng)繁瑣。反之，我們可以引導(dǎo)學(xué)生把圖形進(jìn)行變形：把長6厘米的邊長往上移，5厘米的邊長往右移，轉(zhuǎn)變成一個長方形，這樣，就變成了計算長方形的周長，非常簡單。

由此可見，解答一些圖形的題目，運用變換思想，將原圖形通過旋轉(zhuǎn)、平移、翻折、割補(bǔ)等途徑加以“變形”，可使題目變難為易，求解也水到渠成。教學(xué)中，我們應(yīng)不失時機(jī)地利用這些圖形變換，進(jìn)行思想滲透。主要通過現(xiàn)實問題具體化到抽象問題，然后在抽象與具體間建立聯(lián)系，從而實現(xiàn)抽象向具體的化歸，同時利用割補(bǔ)、平移等化歸途徑，自主將復(fù)雜問題簡單化。繁瑣的算式，復(fù)雜的圖形，這樣簡單的轉(zhuǎn)換就容易操作，真有“得來全不費工夫”之感，這種愉悅的樸素實踐，讓孩子們領(lǐng)悟了解決數(shù)學(xué)問題可以化繁為簡。

二、數(shù)形結(jié)合，化難為易——柳暗花明又一村

美國數(shù)學(xué)家羅斯蒂思說的：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么就整體把握了問題的實質(zhì)。”

“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬是非。”數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可以分為兩種情況：以數(shù)解形和以形助數(shù)。新課程教材在各冊都安排了相應(yīng)的“數(shù)學(xué)廣角”，既豐富了數(shù)學(xué)思想方法，又拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，但這類習(xí)題靈活多變，如何讓學(xué)生把握其內(nèi)在的關(guān)聯(lián)？只需運用化歸的方法指導(dǎo)學(xué)生理解其共同之處，歸結(jié)為熟悉的數(shù)學(xué)問題，從而破解。我們可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體題目的意思動手畫圖，通過數(shù)形結(jié)合，大大開拓解題思路，使問題的解決達(dá)到化繁為簡的目的。

【聚焦鏡頭3】小明家、小紅家和學(xué)校在同一條直線上，小明從家到學(xué)校要走500米，小紅從家到學(xué)校要走400米，請問小紅家和小明家可能相距多少米？教師拋出題目后沒有急著講解，先讓學(xué)生嘗試探究，再組織交流，在探究過程中，教師提醒不會的學(xué)生可以通過線段圖來解決。

答案一：小明家和小紅家相距100米。

思考過程和線段圖如下：小明家和小紅家在學(xué)校的同一方向

答案二：小明家和小紅家相距900米。

思考過程和線段圖如下：小明家和小紅家在學(xué)校的不同方向

通過畫圖，明顯地展示出了題目三者的關(guān)系，并得到了2種不同的可能情況。

解： 1.小明家-小紅家=相距的距離

500-400 =100（米）

2.小明家+小紅家=相距的距離

500+400 =900（米）

【分析】線段圖明了的呈現(xiàn)了可能存在的兩種不同情況，揭示了解決問題的思路，又避免了遺漏。學(xué)生親歷嘗試探究的過程領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合能夠化難為易。如果沒有圖形的幫助，低段學(xué)生很難明白為什么會有兩種不同的答案。

為了突破解題策略，就需要仔細(xì)閱讀習(xí)題，并通過作圖加以聯(lián)想，突出數(shù)與形的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)實踐中，打破思維定勢，架起數(shù)形結(jié)合的橋梁，由此及彼，通過作畫對比與聯(lián)想，從全新的角度分析數(shù)量關(guān)系，就會找到正確的解題思路?！傲祷饔忠淮濉钡母杏X油然而生，化難為易的數(shù)學(xué)思想在樸素的教學(xué)實踐中滲透。

三、類比轉(zhuǎn)換，化生為熟——似曾相識燕歸來

任何一個生疏的問題，都是由一個個熟悉的基本問題經(jīng)過變化發(fā)展而來的。生問題的解決可以借助熟問題的類比遷移。因此，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生透過表象看本質(zhì)，有序地思考，找出問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，將一個難題化解為熟悉的基本問題，在這個探索的過程中，學(xué)生的解題思路會逐漸清晰，解題方法會更加靈動和豐富。

【聚焦鏡頭4】在一年級上冊的教材中，學(xué)生就依次開始學(xué)習(xí)“1—5的認(rèn)識和加減法”，“6—10的認(rèn)識和加減法”，“11—20的認(rèn)識和加減法”，“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”。對于一年級的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)了1—10的組成之后，學(xué)生對于“拆小數(shù)，湊大數(shù)”和“拆大數(shù)，湊小數(shù)”已經(jīng)掌握地非常嫻熟，同時也為“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。在《9加幾》的教學(xué)中，老師首先提出9+4=？，在學(xué)生積極地動手操作后，創(chuàng)造性地得出多種方法：數(shù)數(shù)法、接著數(shù)、湊十法等，其中“湊十法”就是最重要的方法，老師繼續(xù)追問其思考過程：看到9想到1，把4分成1和3，9+1=10，再算10+3=13?！皽愂ā蓖ㄟ^將大數(shù)拆成小數(shù)（或者小數(shù)拆成大數(shù)）和另一個數(shù)（大數(shù)）湊成十，把20以內(nèi)的進(jìn)位加法轉(zhuǎn)化成簡單的“幾加幾等于十”，“十加幾等于十幾”的計算題。

【分析】在這一過程中，9+4=？這道進(jìn)位加法題本是新問題，運用爛熟于心的運算經(jīng)驗，老師將生問題轉(zhuǎn)換成若干個熟問題，新問題就迎刃而解了。這一引導(dǎo)過程蘊涵了生熟轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)基本思想，學(xué)生親歷此過程，不但解決了問題，而且掌握了運用化歸思想解決問題的基本策略，降低難度，提高解題的效率。

類比轉(zhuǎn)換思想在解決數(shù)學(xué)問題中的運用相當(dāng)普遍，轉(zhuǎn)化的途徑和方法不一定相同，但有一個共同的規(guī)律，就是在待解決的問題和已解問題之間架起一個聯(lián)系的橋梁。這就要求在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生要不斷地構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，形成知識網(wǎng)絡(luò)，要領(lǐng)悟蘊含在數(shù)學(xué)內(nèi)容之中的數(shù)學(xué)思想方法，這些都是提高數(shù)學(xué)解題能力的條件和基礎(chǔ)。

【聚焦鏡頭5】如應(yīng)用題：小明家有蘋果5個，蘋果比桔子少21個，問桔子有多少個？

老師出示題目后，嘗試讓學(xué)生列式計算，答案各不相同，有的說16個，有的說26個，兩種結(jié)論爭執(zhí)不休。老師說，我們先不要爭論結(jié)果是多少，要以理服人就得拿出理由。堅持16的說，題目告訴我們桔子少，應(yīng)該用減法算。堅持26的學(xué)生舉實例說，你今年8歲，比媽媽少24歲，你說媽媽比你還小嗎？全班同學(xué)哈哈大笑。老師讓原先主張16的同學(xué)說說現(xiàn)在的想法，讀題目不能只看幾個字，應(yīng)該搞清誰比誰大，千萬不能看字面意思，認(rèn)為誰離“少”字近誰就“少”，一時讀不懂題目還可以想想生活中熟悉的說法，題意便能準(zhǔn)確理解。

【分析】孩子若有所悟的表述，蘊涵的是類比遷移的基本思想，老師不局限于得出結(jié)論是什么，引導(dǎo)談?wù)剬W(xué)習(xí)體驗是點睛之筆，它談出了解決問題的過程，談出了解決問題的方法與策略，也談出了類比轉(zhuǎn)換，化生為熟的化歸思想。

類似這種樸素的教學(xué)實踐是落實“四基”的積極體現(xiàn)，它讓學(xué)生初步懂得解決數(shù)學(xué)的新問題，可以借助熟悉的老方法來解決，還可以借助熟悉的生活經(jīng)驗。這種“似曾相識燕歸來”的親近感增進(jìn)孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗，進(jìn)而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，把握化歸的基本思想。

四、分層擊破，化整為零——為有源頭活水來

化整為零，就是把復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，然后“各個擊破”，從而來使這個復(fù)雜的問題簡單化，從而得到解決。特別是在有限的課堂時間內(nèi)，綜合性強(qiáng)、難度大的題目不能一下子推給學(xué)生，學(xué)生費時還找不到問題的突破口，但要是設(shè)計一系列有層遞性的問題，降低難度，指出思維方向，引導(dǎo)學(xué)生思考，這樣對學(xué)生來說問題就簡單多了。

【聚焦鏡頭6】編織社編織草帽，原來20人10天生產(chǎn)1000頂草帽?，F(xiàn)在增加80人，要生產(chǎn)7500頂草帽，需要多少天才能完成？

這道題中的數(shù)據(jù)比較多，數(shù)量關(guān)系也比較復(fù)雜，我們可以通過化整為零，把問題分成以下幾個小問題展示給學(xué)生，分層擊破。

1.由“原來20人10天生產(chǎn)1000頂草帽”，可以求出：每人每天生產(chǎn)多少頂草帽？1000÷20÷10=5（頂）

2.由“現(xiàn)在增加80人”可以求出：現(xiàn)在有多少人編織草帽？20+80=100（人）

3.現(xiàn)在每天編織多少頂草帽？ 5×l00=500（頂）

4.要編織7500頂草帽需要多少天？ 7500÷500=15（天）

綜合算式為：7500÷[（1000÷20÷10）×（20+80）]=15（天）

【分析】從以上案例看出，“分層擊破，化整為零”的思想方法在數(shù)學(xué)解題中的運用，不僅可以體現(xiàn)解決問題的整個思維過程，給人以層次分明的感覺，本來看上去是一個比較復(fù)雜的問題，通過分解后，教師引導(dǎo)學(xué)生把內(nèi)含的一個個小知識點從中抽取出來，逐個突破，變成了幾個簡單的問題，把這些小問題“分而治之”，從而使整個問題簡單化。其實，形式復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，其本質(zhì)總是存在簡單的一面，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的源頭，抽絲剝繭，問題就迎刃而解?！皢柷牡们迦缭S，為有源頭活水來?！被麨榱愕幕瘹w思想在同類型題目的歷練中形成。

化繁為簡，化難為易，化生為熟，化整為零是數(shù)學(xué)化歸思想的基本呈現(xiàn)形式，“化歸”在小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中具有重要作用，它不僅傳遞一種數(shù)學(xué)思想，還可以啟迪心靈、激發(fā)靈感、充滿著人類的智慧。教師在樸素的教學(xué)實踐中善于滲透化歸思想，有針對性地依托教材，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟化歸的方法，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有利于挖掘?qū)W生的潛能，有利于培養(yǎng)學(xué)生獨立探究、正確解題的能力。新版課標(biāo)從“兩基”到“四基”改變的現(xiàn)實意義在此得以彰顯。