摘 要：圍繞中值定理、函數(shù)的連續(xù)性、微分概念、重要極限、夾逼準(zhǔn)則、彈性、拐點(diǎn)、極值等有關(guān)知識(shí)，探討微積分知識(shí)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步揭示微積分與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，為應(yīng)用微積分知識(shí)解決實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型，奠定了一定的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：微積分；生活；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：C93 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2013）30-0235-02

一、中值定理在生活中的應(yīng)用

[問題] 如果你駕車在一條限速為100公里/小時(shí)的公路上行駛，監(jiān)控儀證明你在半個(gè)小時(shí)內(nèi)跑了60公里，那么警察會(huì)給你開一張超速罰單嗎？

[預(yù)備知識(shí)] 拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。 結(jié)論：在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ

[應(yīng)用] 拉格朗日中值公式反映了可導(dǎo)函數(shù)在[a，b]上整體平均變化率與在（a，b）內(nèi)某點(diǎn)ξ處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系。若從力學(xué)角度看，公式表示整體上的平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)速度。 因此，拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶。

因?yàn)槠骄俣葀===120（公里/小時(shí)），而根據(jù)中值定理平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)速度，所以你在半個(gè)小時(shí)內(nèi)的某一時(shí)刻一定是達(dá)到了120公里/小時(shí)> 100公里/小時(shí)，也就是超速了。

二、函數(shù)連續(xù)性在生活中的應(yīng)用

[問題] 人的相貌在一分鐘內(nèi)看不出有什么區(qū)別，但從孩童到老年相貌卻差異很大，怎么解釋這一現(xiàn)象呢？

[預(yù)備知識(shí)] 設(shè)函數(shù)f（x）在Uδ（x0）內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量Δx趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)于函數(shù)的增量Δy也趨向于零，即Δy=0。

[應(yīng)用] 人的生長(zhǎng)是連續(xù)的，在一分鐘內(nèi)也就是自變量的改變很小時(shí)，人的相貌也就是函數(shù)的改變量也會(huì)很小。

客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的，而且其運(yùn)動(dòng)變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長(zhǎng)、物種變化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性。

三、微分概念在生活中的應(yīng)用

[問題] 地球形狀明明是圓的，為什么古時(shí)候的人們以為地球是方的？

[預(yù)備知識(shí)] 如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全增量Δz=

f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中A，B不依賴于Δx，Δy而僅與x，y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微分，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全微分，記為dz，dz=AΔx+BΔy。

[應(yīng)用]根據(jù)全微分定義，有Δz≈dz即Δz≈fx（x，y）Δx+

fy（x，y）Δy，即全微分的幾何意義是：微分是實(shí)現(xiàn)增量線性化的一種數(shù)學(xué)模型，即微分函數(shù)的實(shí)質(zhì)：局部像個(gè)平面。當(dāng)可微函數(shù)的自變量改變很小時(shí)，函數(shù)增量可以近似看作一個(gè)二維線性函數(shù)——平面。所以古時(shí)候在人的肉眼范圍內(nèi)（自變量改變很?。藗冋J(rèn)為函數(shù)的增量——地球表面是平的。

四、重要極限在生活中的應(yīng)用

[問題] 要洗一件衣服，先用水和洗滌劑把衣服洗滌，擰一下，然后再把衣服漂清。由于不能擰得干干凈凈，衣服上仍帶有含污物的的水。設(shè)衣服上殘存的污物量為 m0（包括洗滌劑），殘存水量為w，我們還有一桶清水，水量為A。問怎樣合理地使用這一桶清水，盡可能地把衣服洗干凈？還有衣服能徹底洗干凈嗎？

[預(yù)備知識(shí)] 重要極限：1+x=e

[應(yīng)用] 假設(shè)把一桶水分成n次使用，每次用量分別為a1，a2，…an，用mi（i=0，1，2，…n）表示第i次洗滌后衣服上殘留的污物量。那么=，則n次洗滌后衣服上殘存的污物量為mn=，由于mn≤{[（1+）+（1+）+…+（1+）]}n=（1+）n，因此把水量等分，可以使污物的殘余量最少，而且分的次數(shù)越多，洗的越干凈。但殘留物不會(huì)完全沒有，因?yàn)槔弥匾獦O限（1+）n=e，即n趨于無窮大時(shí)，污物量趨于e。

五、極限夾逼準(zhǔn)則在生活中的應(yīng)用

[問題] 同學(xué)們?cè)谏贤曜詈笠还?jié)課后，肚子餓得直響，迫不及待地沖出教室飛奔食堂，以為可以搶先打到飯，沒想到已排上了長(zhǎng)隊(duì)，自己也就只好排在后面，但后來的同學(xué)越來越多，為什么不用思考還有多遠(yuǎn)輪到自己打飯，就被前后的同學(xué)“挾持”到了師傅跟前。

[預(yù)備知識(shí)]

（夾逼準(zhǔn)則）：如果數(shù)列xn，yn及zn滿足下列條件：（1）yn≤xn≤zn（n=1，2，3…）；（2）yn=a，zn=a那末數(shù)列xn的極限存在， 且xn=a。

[應(yīng)用] 先在黑板上畫兩條與軸線垂直的直線，代表兩個(gè)垂直于黑板平面的平面，從左到右分別記yn，zn，假設(shè)有一點(diǎn)a固定，yn，zn都向a無限接近，那么在yn，zn之間任意位置放入一平面xn，它都會(huì)被迫向a趨近，這就是形象的夾逼定理。其中xn就是某同學(xué)自己，排在其前后的同學(xué)就是yn和zn，打飯的師傅就是確定的a。

六、彈性在生活中的應(yīng)用

[問題] 商場(chǎng)定期推出打折讓利活動(dòng)，那么最終獲利的是誰呢？高檔奢侈品價(jià)格越來越高，商家是怎么想的呢？

[預(yù)備知識(shí)]設(shè)函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量=與自變量的相對(duì)改變量之比，稱為函數(shù)f（x）在x與x+Δx兩點(diǎn)間的彈性（或相對(duì)變化率）。而極限稱為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處的彈性（或相對(duì)變化率），記為f（x）。

[應(yīng)用] 函數(shù)f（x）在點(diǎn)x的彈性反映隨x的變化f（x）變化幅度的大小，即f（x）對(duì)x變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。商場(chǎng)里的大眾商品富于彈性，降價(jià)能極大地促進(jìn)銷售量，進(jìn)而總利潤(rùn)增加；而奢侈品缺乏彈性，提高價(jià)錢對(duì)銷售量影響不大，故商家不肯輕易降價(jià)。

七、拐點(diǎn)在生活中的應(yīng)用

[問題] 人們投資股票市場(chǎng)的目標(biāo)無疑是低買高賣，但是，這種對(duì)股票時(shí)機(jī)的把握是難以捉摸的，因?yàn)槲覀儾豢赡軠?zhǔn)確預(yù)測(cè)股市的趨勢(shì)。當(dāng)投資者剛意識(shí)到股市確實(shí)在上漲（或下跌）時(shí)，局部最低點(diǎn)（或局部最高點(diǎn)）早已過去了。那么怎么把握這種趨勢(shì)呢？

[預(yù)備知識(shí)] 連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。

[應(yīng)用] 拐點(diǎn)為投資者提供了在逆轉(zhuǎn)趨勢(shì)發(fā)生之前預(yù)測(cè)它的方法，因?yàn)楣拯c(diǎn)標(biāo)志著函數(shù)增長(zhǎng)率的根本改變。以拐點(diǎn)或其附近處的價(jià)格購進(jìn)股票能使投資者呆在較長(zhǎng)期的上揚(yáng)趨勢(shì)中，降低了因股市的浮動(dòng)給投資者帶來的風(fēng)險(xiǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.

[2] 王洪英，車軍領(lǐng).微積分學(xué)中極限教學(xué)法探討[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，（3）.