【摘要】初中二次函數(shù)三角形問題是代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合的一個知識點。在二次函數(shù)這部分教學(xué)過程中，可以滲透數(shù)學(xué)思想和解題思路的多樣性。教師在講解二次函數(shù)部分時，應(yīng)該注意二次函數(shù)難度的循序漸進(jìn)，同時，也需要注意學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的回顧，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維模式和創(chuàng)新思維模式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和探索學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】初中 二次函數(shù) 三角形面積問題

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0120-02

引言

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點，對于二次函數(shù)的三角形面積問題是代數(shù)數(shù)學(xué)與幾何數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合的一個考點，是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個重點內(nèi)容。教師在進(jìn)行這類問題的講解時，應(yīng)該注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和綜合應(yīng)用能力的提升，對于一些題目可以進(jìn)行一題多解，擴(kuò)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式。

一、拋磚引玉

題目：已知直角坐標(biāo)系中有B、C、D三點，其坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2）、（1，3），一次連接這三個點，求其圍城三角形的面積。

問題引導(dǎo)：先在平面指教坐標(biāo)系中一次標(biāo)出B、C、D三點的坐標(biāo)位置，并按題目要求依次連接，形成三角形BCD，在具體求三角形BCD面積中會遇到不能確定其底邊長與底邊上高的問題。教師可以提醒學(xué)生利用直角坐標(biāo)系的優(yōu)勢，用“割補(bǔ)法”進(jìn)行三角形面積的求解。

教學(xué)感悟：教師可以在教學(xué)過程中，對有些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行建模，引導(dǎo)并培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面的能力。對于上面求解三角形面積的問題，教師可以讓學(xué)生將自己的“割補(bǔ)”思想表達(dá)出來，師生一起進(jìn)行探討學(xué)習(xí)，學(xué)生自己想出來的解題方法通常是其思維能力的一種表現(xiàn)，教師應(yīng)該充分的發(fā)現(xiàn)和挖掘?qū)W生的思維模式。

二、構(gòu)建例題

例題：如下圖所示，已知拋物線經(jīng)過B、C兩點，對稱軸為X=3/4，求以下問題：（1）求該拋物線的解析式，該拋物線與X軸的另外一個交點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)；（2）求三角形BCD的面積。

問題引導(dǎo)：求二次函數(shù)的解析式常用的有哪幾種方法？在求二次函數(shù)的解析式時，需要知道哪些條件？哪種方法更加適合本題的求解？關(guān)于三角形BCD面積的求解，需要知道什么條件？三角形BCD的面積應(yīng)該如何進(jìn)行求解？教師在數(shù)學(xué)課堂上可以通過一系列的問題對學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的提點，幫助學(xué)生理清解題思路。

設(shè)計目的：通過對本題解析式的求解，可以讓學(xué)生更加熟悉二次函數(shù)解析式的三種不同的表達(dá)式，可以幫助學(xué)生理解二次函數(shù)解析式不同表達(dá)方式之間的相互轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生對平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于三角形面積求解問題的思考方法。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中可以采用循序漸進(jìn)的方法進(jìn)行教學(xué)，由簡單到復(fù)雜，由單一到多變。

教師可以對例題進(jìn)行相關(guān)的變形，得到變式1：已知拋物線與直角坐標(biāo)系的X軸的B、C兩點相交，與Y軸相交于C點，連接BC兩點，D是拋物線上的點，在拋物線與線段BC相交的上方進(jìn)行移動（不與B、C兩點重合），問：點D在拋物線上移動到什么位置時，三角形BCD的面積最大，并算出此時三角形BCD的面積和點D的坐標(biāo)。

問題引導(dǎo)：例題與變式1之間的相同點和不同點？在求三角形BCD的面積時，哪些條件是已知的，哪些條件是未知的，與三角形BCD面積計算式之間的關(guān)系是怎樣的？拋物線的最值問題與變式1之間有沒有聯(lián)系？如有，應(yīng)該如何構(gòu)建三角形BCD的面積與點D坐標(biāo)之間的關(guān)系？在題目圖形的建模過程中，“分割法”是否能夠運用到變形1的解題中？

在一系列的問題引導(dǎo)后，教師可以為學(xué)生交流自己解題思路提供一個平臺，相互之間的思維模式的學(xué)習(xí)和借鑒，逐漸培養(yǎng)學(xué)生具備一題多解的能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力。

變式2：已知拋物線的解析式為Y=-2X2+3X+2，直線方程為Y=-X+3/4相交于兩點B、C，點D是直線上方拋物線上的一個動點（與B、C兩點均不重合），問：D點在拋物線上什么位置時，三角形BCD的面積最大，并求出此時三角形BCD的面積和D點的坐標(biāo)。

問題引導(dǎo)：變式2與變式1之間相同點與不同點？結(jié)合它們之間的關(guān)系可以聯(lián)想到什么解題思路？在這幾種解題思路中，哪種思路更加簡單？結(jié)合這幾種題型，進(jìn)行相關(guān)的學(xué)習(xí)總結(jié)。

解析思路：過D點作直線DE平行于Y軸，與直線BC相交于E點，根據(jù)直線BC的解析式可以用變量表示E點的坐標(biāo)，D點的坐標(biāo)也可以對應(yīng)的E點的變量進(jìn)行表示：

線段DE=YD-YE，用E點的橫坐標(biāo)可以表示為DE=-2X2+4X+11/4，再將直線方程與拋物線解析式聯(lián)立進(jìn)行求解，可以得出其相交的兩點BC的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC之間的距離，線段DE的長度可以求出，即三角形BCD的面積可以分割為三角形CDE和三角形BEN的面積之和。

變式3：已知拋物線的解析式為Y=-2X2+3X+2與直線方程為Y=-X+3/4相交于B、C兩點，D是平拋物線上的一個動點，在B、C兩點之間運動且不與B、C兩點重合，問當(dāng)D點運動到什么位置時，三角形BCD的面積是最大的？并求出此時D點的坐標(biāo)和三角形BCD的最大面積。

問題引導(dǎo)：變式3與變式2之間的相同點和不同點？不同點有哪些？能夠用相同的解題思路進(jìn)行解題嗎？

解題分析：隨著D點的移動，三角形BCD的圖形也會發(fā)生相應(yīng)的變化，如下圖所示：

過D點做平行于Y軸的平行線DF，與直線方程相交于F點，可以根據(jù)F點是直線方程上的點，用變量表示F點的坐標(biāo)，DF是平行于Y軸的，可以對應(yīng)的用變量表示出D點的坐標(biāo)。

三、教學(xué)反思

教師在對每一章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行課堂教學(xué)后可以適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行一些課堂總結(jié)或者小型測試，了解學(xué)生對所學(xué)章節(jié)內(nèi)容的掌握程度。教師也需要對自己教學(xué)思路進(jìn)行反思，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，進(jìn)行循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，適當(dāng)?shù)膶?shù)學(xué)函數(shù)的應(yīng)用題與實際生活中的應(yīng)用問題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)函數(shù)問題的建模能力。

結(jié)論

初中二次函數(shù)三角形面積求解問題，教師首先應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，通過二維直角坐標(biāo)系中的斜三角形的面積求解問題進(jìn)行二次函數(shù)三角形面積求解問題的引入。在具體的解題中，教師應(yīng)該引入不同的解題思路和解題方法，逐漸培養(yǎng)學(xué)生能夠進(jìn)行一題多解的思維能力。教師可以從二次函數(shù)上定點三角形面積問題的求解開始，逐漸演變?yōu)樵诙魏瘮?shù)上的動點問題所在三角形最大面積問題的求解。這需要教師將直線方程與二次函數(shù)的相交點之間的關(guān)系進(jìn)行充分的應(yīng)用，相關(guān)變量表示D的橫坐標(biāo)進(jìn)而用拋物線解析式表示縱坐標(biāo)，三角形的面積問題最終就換成二次函數(shù)最值的求解問題，即幾何問題最值問題的求解轉(zhuǎn)變成代數(shù)最值問題的求解，對學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊學(xué)文.初中二次函數(shù)三角形面積問題透析[J].時代教育， 2013（12）

[2]唐祥龍.初中二次函數(shù)三角形面積問題透析[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育）， 2012（10）