紀(jì)永強

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

關(guān)于線性變換的特征向量的定義及有關(guān)性質(zhì)，在文獻［1］、［2］、［3］中都有討論，但對于平面上線性變換的特征向量的幾何意義還沒有人具體地研究過.本文給出平面上線性變換的特征向量的幾何意義，提高對特征向量的直觀認(rèn)識.

1 平面R2 上由非對稱矩陣對應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義

設(shè)R2＝｛x＝（x1，x2）｜x1，x2∈R｝，則R2是二維向量空間，向量x與向量的和及向量x與數(shù)a的乘法是：

其 中：x＝（x1，x2）∈R2.R2中的元素（x1，x2）也是平面上某點的坐標(biāo)，因此我們稱R2是平面.設(shè)F∶R2→R2是平面R2上的線性變換，即

其中：x∈R2；a，b∈R.由參考文獻［1］中的定理1.2.3，我們得如下定理成立：

定理1［1］設(shè)變換F∶R2→R2為F（（x1，x2））＝（y1，y2），則F是平面R2上的線性變換的充要條件是：

即

由此可知，平面R2上的線性變換F與二階實矩陣A＝（aij）2×2是相互確定的，即給出了線性變換，就可得出矩陣A，反之，給出了矩陣A，就可寫出線性變換.

線性變換的幾何意義是：設(shè)A的行列式｜A｜≠0，則線性變換（3）式是平面R2上的非退化的線性變換，它將平面R2上的點（x1，x2）變?yōu)槲ㄒ坏囊稽c（a11x1＋a12x2，a21x1＋a22x2），當(dāng)｜A｜＝0時，F(xiàn)是退化的線性變換.設(shè)F∶R2→R2是向量空間R2上的線性變換，e1＝（1，0）和e2＝（0，1）是R2的一組基，設(shè)

其中：（a11，a21）和（a12，a22）分別是向量F（e1）和F（e2）關(guān)于基e1，e2的坐標(biāo).（5）式寫成矩陣形式是：

設(shè)α＝（x1，x2）∈R2，則α可寫成矩陣形式如下：

從而有：

因為F是R2上的線性變換，由（7）式、（2）式及（6）式得：

［2］、［3］，我們有特征向量的定義如下：

定義［2］設(shè)F∶R2→R2是向量空間R2上的線性變換，λ∈R，α是R2上的非零向量，若

則稱λ是線性變換F的一個特征根，α屬于特征根λ的特征向量.

顯然，對任a∈R，a≠0，有F（aα）＝λ（aα），所以aα是屬于特征根λ的所有特征向量.因為α＝（x1，x2）∈R2，所以（10）式可以寫為：

由此我們得到，平面R2上線性變換F的特征向量α的幾何意義是：特征向量α是平面R2上點M的徑矢量，即α＝，而點M的坐標(biāo)是（x1，x2），屬于特征根λ的所有特征向量aα都在由點（0，0）和點（x1，x2）確定的直線OM上.因為F（α）與α的坐標(biāo)成比例，所以矢量F（α）與矢量α線性相關(guān)，幾何上，F(xiàn)（α）與α在過原點的直線OM上.

由（8）式、（9）式和（10）式，我們得特征向量的充要條件如下：

設(shè)α＝（x1，x2）是線性變換F∶R2→R2的屬于特征根λ的一個特征向量，即

其中：ξ＝αT是α的轉(zhuǎn)置，它是二行一列矩陣，也是一個列向量，α＝ξT.A＝（aij）2×2是線性變換F的矩陣，E2是二階單位方陣.因為特征向量ξ≠0，所以關(guān)于x1，x2的二元一次齊次方程組（14）式有非零解x1與x2的充要條件是：它的系數(shù)行列式為零，即

其中：（15）式稱為線性變換F或二階方陣A的特征方程.F的特征多項式是：

其中：I1＝a11＋a22＝trA是矩陣A＝（aij）2×2的跡，I2＝a11a22－a12a21＝是矩陣A的行列式.由此可知，線性變換的特征方程（15）式為：

這是關(guān)于λ的一元二次方程，現(xiàn)在討論方程（17）式的根.

（1）當(dāng)方程（17）式的判別式△＝－4I2＜0時，方程（17）式無實根，從而線性變換F無實的特征向量ξ或α.

（2）當(dāng)方程（17）式的判別式△＝－4I2＞0時，由（17）式得到兩個不同的特征根：

再將λ1和λ2分別代入（14）式，可求得對應(yīng)的特征向量分別是：

因為α1與α2的坐標(biāo)不成比例，所以α1與α2線性無關(guān).由此得，線性變換F的不同特征根（λ1≠λ2）對應(yīng)的特征向量α1與α2線性無關(guān).幾何意義是：α1與α2是平面R2上經(jīng)過原點的兩個不在一條直線上的非零矢量.又F（α1）＝λ1α1，F(xiàn)（α2）＝λ2α2，所以F（α1）與α1在一條直線上，F(xiàn)（α2）與α2在一條直線上，并且F（α1）與F（α2）不在同一條直線上.

（3）當(dāng)方程（17）式的判別式△＝－4I2＝0時，即

由（17）式得兩個相同的特征根：

或

由（19）式可知，（21）式與（21）′式的坐標(biāo)成比例，即（21）式與（21）′式表示同一個特征向量.設(shè)a12≠a21，此時，矩陣A是非對稱的二階矩陣.由此得到：對于非對稱矩陣對應(yīng)的線性變換，當(dāng)特征根是二重根時，它的特征向量（21）式是平面上經(jīng)過原點的一個非零矢量，即α＝（2a12，a22－a11）.這就是重根對應(yīng)的特征向量的幾何意義.

由上面的討論，我們得到如下平面上特征向量的幾何意義的定理成立：

定理1 設(shè)F∶R2→R2是平面R2上由二階非對稱實矩陣A＝（aij）2×2對應(yīng)的線性變換，即

設(shè)λ1＝和是線性變換F的特征根，其中I1＝（a11＋a22），I2＝a11a22－a12a21，△＝－4I2，則

（1）當(dāng)λ1與λ2是共軛復(fù)數(shù)根時，即－4I2＜0時，則線性變換F是無實的特征向量.

（2）當(dāng)λ1與λ2是不同的實根時，即－4I2＞0時，α1＝（2a12，a22－a11＋）和α2＝（2a12，a22－a11－）分別是λ1與λ2對應(yīng)的特征向量，即F（α1）＝λ1α1，F(xiàn)（α2）＝λ2α2，則線性變換F對應(yīng)的特征向量α1與α2是平面R2上自原點出發(fā)的兩個不共線的矢量，并且直線（a22－a11＋）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1對應(yīng)的特征向量，直線（a22－a11－）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是特征根λ2對應(yīng)的特征向量.

（3）當(dāng)λ1與λ2是相同的實根時，即λ1＝λ2＝（a11＋a22）時，即－4I2＝0時，則線性變換F對應(yīng)的特征向量只有一個，即α＝（2a12，a22－a11），α是平面R2上自原點出發(fā)的非零矢量，直線（a22－a11）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是重根對應(yīng)的特征向量.

具體例子如下：

由（19）式，我們可得下面的例題：

2 平面R2 上由對稱矩陣對應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義

矩陣A的特征方程是：

因為特征方程的判別式：

所以特征方程（23）式的根都是實數(shù).

（1）當(dāng)判別式△＞0時，由（23）式得兩個不同的特征根：

其中：△＝（a11－a12）2＋，易得λ1與λ2對應(yīng)的特征向量分別是：

因為α1與α2的內(nèi)積（點積）是：

所以α1與α2正交（垂直），或由參考文獻［4］知，α1與α2正交，并且F（α1）＝λ1α1，F(xiàn)（α2）＝λ2α2.由此可得，二階實對稱矩陣A對應(yīng)的線性變換的不同特征根λ1與λ2對應(yīng)的特征向量α1與α2垂直，這就是特征向量的幾何意義.

（2）當(dāng)判別式△＝0時，即△＝（a11－a12）2＋＝0，得a11＝a22≠0，a12＝0.此時對稱矩陣A為，對應(yīng)的線性變換是：

這是伸縮變換，矩陣A的特征方程是：

得到λ1＝λ2＝a11≠0，易得對應(yīng)的特征向量是：

其中：X，Y是不全為零的任意實數(shù).幾何意義是：經(jīng)過原點的任一非零矢量α＝（X，Y）都是重根λ1＝λ2＝a11≠0對應(yīng)的特征向量，并且F（α）＝a11α.由此可得下面的定理成立：

定理2 設(shè)F∶R2→R2是平面R2上由二階實對稱矩陣A＝（aij）2×2對應(yīng)的線性變換，即

（1）當(dāng)λ1與λ2是不同是實根時，即－4I1＞0時，則線性變換F對應(yīng)的特征向量α1＝（2a12，a22－a11＋）與α2＝（2a12，a22－a11－）是平面R2上自原點出發(fā)的兩個互相垂直的矢量，并且直線（a22－a11＋）x－2a12y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1對應(yīng)的特征向量，直線（a22－a11－）x－2a12y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ2對應(yīng)的特征向量.F（α1）＝λ1α1，F(xiàn)（α2）＝λ2α2.

（2）當(dāng)λ1與λ2是相同的實根λ1＝λ2＝a11時，即－4I1＝0時，則線性變換F對應(yīng)的特征向量有無窮多個，即α＝（X，Y），其中X，Y是不全為零的任意實數(shù)，α是平面R2上自原點出發(fā)的任意非零矢量.

具體例子如下：

易得矩陣A的特征根λ1＝3，λ2＝－2，對應(yīng)的特征向量分別是α1＝（2，－1）和α2＝（1，2）.幾何意義是：α1＝（2，－1）和α2＝（1，2）是平面上自原點出發(fā)的兩個互相垂直的矢量.直線x＋2y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1＝3對應(yīng)的特征向量，直線y＝2x上的一切非零矢量都是特征根λ2＝－2對應(yīng)的特征向量，并且F（α1）＝3α1，F(xiàn)（α2）＝－2α2.F（α1）與F（α2）垂直，F(xiàn)（α1）與α1＝（2，－1）在直線x＋2y＝0上，F(xiàn)（α2）與α2＝（1，2）在直線y＝2x上.

參考文獻：

［1］紀(jì)永強.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2012：5－18.

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1988：296－304.

［3］張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)［M］.北京：人民教育出版社，1980：248－254.

［4］紀(jì)永強.空間解析幾何［M］.北京：高等教育出版社，2013：238－240.