李文良，王黎欽，常 山

（1哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150001；2中船重工第703研究所，哈爾濱150078）

1 引 言

船用齒輪正朝著高速、高效和大功率密度方向發(fā)展。傳動(dòng)系統(tǒng)傳遞的功率不斷增大，齒輪轉(zhuǎn)速不斷加快，不僅使得齒輪箱的振動(dòng)和噪聲問(wèn)題更加尖銳突出，同時(shí)也影響了整套機(jī)組的安全性和穩(wěn)定性。斜齒輪接觸線的時(shí)變性會(huì)引起齒輪嚙合剛度、齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩的變化，是振動(dòng)和噪聲的重要激勵(lì)源之一[1-2]。國(guó)內(nèi)對(duì)時(shí)變嚙合剛度研究較多，對(duì)齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩這一方面研究幾乎未見(jiàn)報(bào)道。齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)需考慮多方面的嚙合特性[3-4]，但更多的沒(méi)有考慮齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩的影響。Velex和Cahouet[5]研究發(fā)現(xiàn)，低速時(shí)軸承的支撐力變化比高速時(shí)明顯，這主要是由于齒輪嚙合時(shí)產(chǎn)生較大的齒面摩擦扭矩所致。Lundvall[6]等利用有限元法研究直齒輪的摩擦影響后得知，由于時(shí)變摩擦扭矩的作用使得系統(tǒng)輸入輸出扭矩不再是常量，并且由于齒面摩擦力的存在產(chǎn)生了切向位移由此引起時(shí)變的動(dòng)態(tài)傳遞誤差。Vaishya和Singh[7]研究表明，相比于齒面摩擦力的幅值，齒面摩擦力的波動(dòng)是齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的主要影響因素。由此可見(jiàn)，摩擦力的波動(dòng)是影響齒輪系統(tǒng)振動(dòng)噪聲的重要原因，齒面摩擦對(duì)齒輪的動(dòng)力學(xué)特性有著很大的影響，其研究有著重要意義。

本文利用數(shù)學(xué)公式結(jié)合軟件編程數(shù)值計(jì)算斜齒輪一個(gè)端面齒距內(nèi)的接觸線長(zhǎng)度，在此基礎(chǔ)上計(jì)算接觸線與節(jié)圓柱的位置變化關(guān)系用以計(jì)算主動(dòng)輪齒面摩擦力和齒面摩擦扭矩。數(shù)學(xué)模型使用方便，能夠快速計(jì)算齒面接觸線的長(zhǎng)度、主動(dòng)輪齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩，為工程應(yīng)用提供幫助。

2 計(jì)算模型建立

本文以數(shù)值方法結(jié)合編程計(jì)算斜齒輪在一個(gè)端面齒距內(nèi)的時(shí)變接觸線長(zhǎng)度、接觸線與節(jié)圓柱的位置關(guān)系以及摩擦力臂的變化。方法簡(jiǎn)單方便，計(jì)算快速具有很大的工程應(yīng)用性。計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 The diagram of algorithm

計(jì)算值以矩陣形式輸出，共四列，第一列是用來(lái)計(jì)算接觸線的長(zhǎng)度；第二列用來(lái)計(jì)算接觸線被節(jié)圓柱所截后兩段線段長(zhǎng)度用以計(jì)算齒面摩擦力；第三列和第四列計(jì)算齒面摩擦扭矩。

2.1 主動(dòng)輪齒面摩擦力計(jì)算

當(dāng)接觸線位于節(jié)圓柱以外定義摩擦力是正值，位于節(jié)圓柱以里摩擦力是負(fù)值，其方向垂直于接觸線。齒面摩擦力是作用在接觸線上的，接觸線的變化必然會(huì)引起摩擦力的變化。本文采用國(guó)標(biāo)GB/T6413-1986[8]計(jì)算齒面摩擦系數(shù)，如公式（1）：

式中：ωt為單位齒寬載荷（N）；Ra為沿齒廓方向的齒面輪廓算數(shù)平均偏差（μm）；ηM為潤(rùn)滑油在本體溫度下的動(dòng)力粘度（mPa·s）；υΣ為兩齒輪在嚙合點(diǎn)處齒廓切線方向速度之和（m/s）；ρred為兩齒廓在端面嚙合點(diǎn)處綜合曲率半徑（mm）。

第i條接觸線上的摩擦力計(jì)算公式[9]：

式中：F為作用在斜齒輪上的法向力（N）；L為該時(shí)刻接觸線總長(zhǎng)（mm）；△Li為第i條接觸線被節(jié)圓柱所截兩段線段長(zhǎng)度之差（mm）。

則某時(shí)刻n條接觸線總的摩擦力為：

2.2 主動(dòng)輪齒面摩擦扭矩計(jì)算

當(dāng)齒面摩擦扭矩有助于齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)定義為正值，反之則是負(fù)值。作用在第i條接觸線上的齒面摩擦扭矩計(jì)算公式為[9]：

式中：Li1、Li2分別為ti時(shí)刻接觸線被節(jié)圓柱所截兩段線段中右側(cè)和左側(cè)線段長(zhǎng)度；li1、li2分別為ti時(shí)刻接觸線被節(jié)圓柱分成兩段中右側(cè)子線中點(diǎn)和左側(cè)子線中點(diǎn)分別到嚙合面右端面距離；

式中：ra為主動(dòng)輪齒頂圓半徑（mm）；r為主動(dòng)輪節(jié)圓半徑（mm）；φt為端面壓力角（°）。則總的齒面摩擦扭矩公式為：

3 主動(dòng)輪齒面接觸線、摩擦力及摩擦扭矩的計(jì)算結(jié)果

以船舶某型號(hào)齒輪箱內(nèi)的一對(duì)外嚙合斜齒輪副為例計(jì)算，其參數(shù)如表1所示。齒輪副工況參數(shù)如表2所示。

表1 斜齒輪副參數(shù)Tab.1 The parameters of gear pair

表2 齒輪副工況參數(shù)Tab.2 The condition parameters

在螺旋角常用范圍10°-30°范圍內(nèi)間隔2.5°選擇螺旋角計(jì)算時(shí)變接觸線、齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩。

3.1 時(shí)變接觸線計(jì)算結(jié)果

圖2是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角時(shí)變接觸線長(zhǎng)度的變化曲線，圖3是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角時(shí)變接觸線長(zhǎng)度的均方根變化曲線，圖4是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角時(shí)變接觸線長(zhǎng)度的波動(dòng)率曲線。

3.2 主動(dòng)輪齒面摩擦力計(jì)算結(jié)果

圖5是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角的齒面摩擦力的變化曲線，圖6是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角齒面摩擦力均方根變化曲線，圖7是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角齒面摩擦力的波動(dòng)曲線。

圖2 螺旋角對(duì)接觸線總長(zhǎng)影響曲線Fig.2 Dependence of contact line length on time with different helix angles

圖3 螺旋角對(duì)接觸線均方根影響曲線Fig.3 The root mean square of contact line length with different helix angles

圖4 螺旋角對(duì)接觸線波動(dòng)率影響曲線Fig.4 Volatility of the length of contact line with different helix angles

圖5 螺旋角對(duì)齒面摩擦力影響曲線Fig.5 Dependence of friction force on time with different helix angles

圖6 螺旋角對(duì)齒面摩擦力均方根影響曲線Fig.6 The root mean square of friction force with different helix angles

3.3 主動(dòng)輪齒面摩擦扭矩計(jì)算結(jié)果

圖8是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角的齒面摩擦扭矩的變化曲線，圖9是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角齒面摩擦扭矩均方根變化曲線，圖10是一個(gè)端面齒距內(nèi)不同螺旋角齒面摩擦扭矩的波動(dòng)曲線。

圖7 螺旋角對(duì)齒面摩擦力波動(dòng)率影響曲線Fig.7 Volatility of friction force with different helix angles

圖8 螺旋角對(duì)齒面摩擦扭矩影響曲線Fig.8 Dependence of friction torque on time with different helix angles

圖9 螺旋角對(duì)齒面摩擦扭矩均方根影響曲線Fig.9 The root mean square of friction torque with different helix angles

圖10 螺旋角對(duì)齒面摩擦扭矩波動(dòng)率影響曲線Fig.10 Volatility of friction torque with different helix angles

4 計(jì)算結(jié)果分析

由圖3中可知，隨著螺旋角的增大接觸線的均方根變小，這是因?yàn)槁菪亲兇?，使得基圓螺旋角變大，嚙合面的寬度變小，端面齒距變大導(dǎo)致接觸線的條數(shù)變少長(zhǎng)度變短以致接觸線的總和變小。時(shí)變接觸線波動(dòng)受到嚙合面內(nèi)齒輪嚙合初始時(shí)刻接觸線位置影響，不同螺旋角時(shí)變接觸線的波動(dòng)值如圖4所示。在變化螺旋角的情況下考察時(shí)變接觸線長(zhǎng)度對(duì)主動(dòng)輪齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩的影響。圖5至圖10是齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩在一個(gè)端面齒距內(nèi)的變化曲線、均方根以及波動(dòng)率。通過(guò)比較均方根值以及波動(dòng)率的變化分析時(shí)變接觸線對(duì)其影響。

從圖2、圖5以及圖8中提取時(shí)變接觸線、齒面摩擦力以及摩擦扭矩的最大值與最小值，具體值如表3所示。

從表3中可知，在本文所選的螺旋角參數(shù)范圍內(nèi)，12.5°和15°的齒面摩擦力幅值變化較大，這是因?yàn)樵趫D4中這兩個(gè)螺旋角的時(shí)變接觸線的波動(dòng)值在所選的參數(shù)范圍內(nèi)是最大的，導(dǎo)致時(shí)變接觸線的變化較大，從而導(dǎo)致公式（2）中△L變化較大，最終導(dǎo)致齒面摩擦力變化較大。表3中螺旋角為20°和30°時(shí)齒面摩擦力的幅值變化較小，這是因?yàn)樵趫D4中時(shí)變接觸線的波動(dòng)率也是最小的。由此可見(jiàn)，時(shí)變接觸線的波動(dòng)直接影響到齒面摩擦力的變化。圖6中齒面摩擦力的均方根在12.5°和15°是最大的，這是因?yàn)闀r(shí)變接觸線的這兩個(gè)值的波動(dòng)率最大導(dǎo)致齒面摩擦力變大，最終導(dǎo)致均方根變大。螺旋角為20°和30°的齒面摩擦力的均方根值是最小的，這是因?yàn)樵谶@兩個(gè)值的時(shí)變接觸線的波動(dòng)最小。齒面摩擦力的均方根在本文選定的參數(shù)范圍內(nèi)最大值最小值之差達(dá)到4.41N，占到摩擦力均方根最大值的44%。圖7是齒面摩擦力在不同螺旋角的波動(dòng)曲線，螺旋角為12.5°的齒面摩擦力的波動(dòng)最大，螺旋角為10°、20°和30°時(shí)齒面摩擦力的波動(dòng)率最小，這與時(shí)變接觸線的波動(dòng)率變化基本一致。

齒面摩擦扭矩受到時(shí)變接觸線總長(zhǎng)度以及每條接觸線與節(jié)圓柱的位置關(guān)系以及力臂等多方面因素的共同影響變化較為復(fù)雜。圖9是不同螺旋角齒面摩擦扭矩均方根的變化曲線，螺旋角為12.5°和15°時(shí)齒面摩擦扭矩均方根是最大的，螺旋角為20°和30°時(shí)齒面摩擦扭矩的均方根是最小的，齒面摩擦扭矩的最大值與最小值之差達(dá)到91.58N·mm，占到均方根最大值的1.0%。齒面摩擦扭矩的均方根變化規(guī)律與時(shí)變接觸線的波動(dòng)變化規(guī)律基本一致，說(shuō)明時(shí)變接觸線的波動(dòng)在眾多影響因素中對(duì)齒面摩擦扭矩均方根的影響是起主導(dǎo)作用的。圖10是齒面摩擦扭矩的波動(dòng)變化規(guī)律曲線，從圖中可知，12.5°、15°的波動(dòng)值是最大的，10°、20°以及30°的齒面摩擦扭矩的波動(dòng)值是最小的，最大值最小值的波動(dòng)之差達(dá)到近30%。且變化規(guī)律與時(shí)變接觸線的波動(dòng)以及齒面摩擦力的波動(dòng)變化規(guī)律是一致的，由此可知時(shí)變接觸線長(zhǎng)度的波動(dòng)直接影響到齒面摩擦扭矩的變化。

表3 接觸線、摩擦力及摩擦扭矩幅值對(duì)比圖Tab.3 Result comparision with contact line friction force and friction torque

5 結(jié) 論

通過(guò)上述分析可以得出如下結(jié)論：

（1）通過(guò)對(duì)齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩的波動(dòng)分析后發(fā)現(xiàn)，時(shí)變接觸線的波動(dòng)是齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩波動(dòng)的重要原因，三者波動(dòng)規(guī)律基本一致。

（2）在本文所選的參數(shù)范圍內(nèi)，時(shí)變接觸線、齒面摩擦力以及齒面摩擦扭矩波動(dòng)呈現(xiàn)出10°-20°以及20°-30°的變化規(guī)律，10°、20°以及30°的齒面摩擦力和齒面摩擦扭矩的波動(dòng)是較小的，上述可為工程優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

[1]Ozguven H N,Houser D R.Mathematical-models used in gear dynamics-a review[J].Journal of Sound and Vibration,1988,121:383-411.

[2]Maatar M,Velex P.An analytical expression of the time-varying contact length in perfect cylindrical gears:Some possible applications in gear dynamics[J].ASME Journal of Machine Design,1996,118:586-589.

[3]James Li C,Lee H,Choi S H.Estimating size of gear tooth root crack using embedded modeling[J].Mechanical System Signal Processing,2002,16(5):841-852.

[4]Vaishya M,Singh R.Sliding friction-induced non-linearity and parametric effects in gear dynamics[J].Journal of Sound and Vibration,2001,248:671-694.

[5]Velex P,Cahouet V.Experimental and numerical investigations on the influence of tooth friction in spur and helical gear dynamics[J].ASME Journal of Mechanical Design,2000,122:515-522.

[6]Lundvall O,Stromberg N,Klarbring A.A flexible multi-body approach for frictional contact in spur gears[J].Journal of Sound and Vibration,2004,278(3):479-499.

[7]Vaishya M,Singh R.Strategies for modeling friction in gear dynamics[J].ASME Journal of Mechanical Design,2003,125:383-393.

[8]中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn).GB/T 6413-1986漸開(kāi)線圓柱齒輪膠合承載能力計(jì)算方法[S].1986.GB/T 6413-1986 Calculation of scuffing load capacity for involute cylindrical gears[S].The People’s Republic of China,1986.(in Chinese)

[9]Kar C,Mohanty A R.An algorithm for determination of time-varying frictional force and torque in a helical gear system[J].Mechanism and Machine Theory,2007,42:482-486.