張 健，萬正權(quán)，張充霖，尹 群

（1江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212003；2中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫214082）

1 引 言

據(jù)美國地質(zhì)調(diào)查局的2008年的評(píng)估顯示[1]，北極圈地區(qū)蘊(yùn)藏著尚未開發(fā)的30%天然氣資源和13%的石油資源，被譽(yù)為是下一個(gè)波斯灣?？梢灶A(yù)言，極地海域的開發(fā)將成為未來世界追逐的焦點(diǎn)。近一個(gè)世紀(jì)以來，由于溫室效應(yīng)導(dǎo)致全球氣候變暖，南北兩極的冰川大量融化，一方面使得開辟具有更短航程的航線成為可能，但一方面又使散落于海上的冰山及浮冰碎片大量增加，給航行于其間的船舶帶來極大的困難和潛在的威脅，船只與包括冰山在內(nèi)的浮冰碰撞事故屢有發(fā)生，往往造成船體損壞，并引起貨物泄露和環(huán)境污染，乃至釀成重大人員傷亡。而對于不同海域，受風(fēng)、浪、流等各種因素的影響，船舶與浮冰的分布密度往往差別較大，因此有必要對具體航道下的船-冰碰撞概率問題進(jìn)行研究。這對于預(yù)報(bào)高緯度海域船舶與浮冰的碰撞風(fēng)險(xiǎn)，保障船舶在冰區(qū)中的航行安全具有重要的實(shí)際意義。

2 船—冰碰撞問題場景描述

對于某海域來說，設(shè)其面積為S1。一定時(shí)期內(nèi)，若海況穩(wěn)定，則浮冰的數(shù)目可看作是不變量，設(shè)為n。對于往來于各個(gè)港口之間的遠(yuǎn)洋船隊(duì)來說，其航跡并不是雜亂無章的，即航線往往是遵循一定路線，航行其中的船舶沿一定航線形成的航跡范圍稱為航道，設(shè)航道在該海域的面積為S2。海域與航道的示意圖如圖1所示，假設(shè)在某種情形下，n個(gè)浮冰中有m個(gè)進(jìn)入該航道，則此情形出現(xiàn)的概率為：

式中：a=S2/S1，為單塊浮冰由海域的其他地區(qū)進(jìn)入設(shè)定航道的概率，由于浮冰是自由漂浮在海面上的，因此等于航道面積與海域面積之比。

圖1 航道側(cè)視圖Fig.1 Long shot of the channel

圖2 航道坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate of the channel

在某一時(shí)刻點(diǎn)，由于浮冰運(yùn)動(dòng)的速度很小，可看作是相對靜止的，因此將航道“封閉”起來作為進(jìn)一步的研究對象，而海域內(nèi)其余部分的浮冰則不會(huì)對航道內(nèi)部的船—冰碰撞概率產(chǎn)生任何影響。對于n個(gè)浮冰本文采用上述二項(xiàng)分布進(jìn)行研究，即（1）式只是眾多情況當(dāng)中的一種，對于浮冰進(jìn)入選定航道的概率，顯然有n種情況，即m值的變化范圍為0到n。因此，得到的概率是基于以上n種情況的總和?？杀硎緸椋?/p>

由此，將目標(biāo)海域的船舶與浮冰碰撞概率問題轉(zhuǎn)化成設(shè)定航道上船舶與m個(gè)浮冰（m∈［0,n］）的碰撞概率問題。

3 船—冰碰撞概率計(jì)算模型

3.1 航道坐標(biāo)系的定義

正確的定義航道坐標(biāo)系是建立概率計(jì)算模型的基礎(chǔ)，不僅能夠減少計(jì)算量，而且可以提高計(jì)算精度和效率。本文將航道所處的坐標(biāo)系定義如下：原點(diǎn)位于海域中某航道的左側(cè)下方端點(diǎn)處，X軸水平指向正東方向，Y軸垂直指向正北方向，如圖2所示。

3.2 二維隨機(jī)變量的概率密度

為了能更直觀、清晰地闡述推導(dǎo)思路，下面的推導(dǎo)先僅對一艘船舶和一塊浮冰的碰撞問題進(jìn)行分析，而后再考慮船舶與多塊浮冰碰撞的情況。在不考慮船、冰尺度的前提下，先將二者質(zhì)點(diǎn)化，并設(shè)定船舶與浮冰的航道坐標(biāo)，船舶（質(zhì)點(diǎn)A）的坐標(biāo)為（x1，y1），浮冰（質(zhì)點(diǎn)B）的坐標(biāo)為（x2，y2），同時(shí)規(guī)定這四個(gè)變量是相互獨(dú)立的。設(shè)質(zhì)點(diǎn)A在x方向的概率密度函數(shù)為f（x1），y方向的概率密度函數(shù)為F（y1），質(zhì)點(diǎn)B在x方向的概率密度函數(shù)為g（x2），方向的概率密度函數(shù)為G（y2）。

對于二維連續(xù)性隨機(jī)變量Z=X+Y的分布，若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)X、Y關(guān)于x和y的邊緣密度分別為fX（x），fY（y），根據(jù)二維隨機(jī)變量的卷積公式，有[2]：

同理，對于隨機(jī)變量X=x1-x2，設(shè)X的概率密度為φX（x），可以表示為：

設(shè)航道的平均長度為L，約束范圍如下：

因此，對于隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，根據(jù)上述條件可以表示為：

同理，對于Y=y1-y2，設(shè)Y的概率密度為φY（y），航道的平均寬度為B，約束范圍為：

因此，對于隨機(jī)變量Y的概率密度函數(shù)，根據(jù)上述條件可以表示為：

由于x1，y1，x2，y2為四個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，因此根據(jù)概率論的原理，X和Y也是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為φX（x）和φY（y）。對于平面內(nèi)的二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）來說，設(shè)其聯(lián)合概率密度為h（x,y），則可以表示為：

3.3 基于復(fù)合體的幾何概率積分

對于碰撞過程中船舶與浮冰的尺寸問題，本文采用復(fù)合體概念以確定船—冰碰撞的尺度范圍。設(shè)航道內(nèi)某艘船舶的總長為l，型寬為b，一塊浮冰（考慮呈圓形）的直徑為d，即半徑RC為d/2。為了處理方便同時(shí)考慮到船舶的安全性，將船舶的形狀等效成長為l、寬為b的矩形的外接圓，則其半徑RB為：

同時(shí)建立一個(gè)以船舶質(zhì)心A為圓心，船舶與浮冰的半徑之和為半徑R的圓，即R=RB+RC。而浮冰此時(shí)則看作為質(zhì)點(diǎn)B，當(dāng)該質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入此圓域，則認(rèn)為浮冰與船舶發(fā)生了碰撞。該等效圓域稱作船-冰復(fù)合體，其半徑R稱作船舶的安全半徑[3]，如圖3所示。

數(shù)學(xué)上，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)A和B的距離在安全半徑范圍以內(nèi)時(shí)，可以表示為：

圖3 復(fù)合體示意圖Fig.3 Complex schematic drawing

圖4 船舶與冰山碰撞的地理位置Fig.4 Map showing geographical locations

由于X=x1-x2，Y=y1-y2，所以（11）式又可以寫作從該表達(dá)式可以看出，確定航道上船冰碰撞概率p2可以表示為二維隨機(jī)變量（X，Y）分布的概率密度函數(shù)h（x,y）在圓域內(nèi)的積分，即：

以上所有推導(dǎo)是基于一艘船舶和一塊浮冰—兩個(gè)實(shí)體進(jìn)行分析的，在實(shí)際中，由于設(shè)定航道內(nèi)的m塊浮冰與船舶在同一時(shí)刻的相對位置即距離小于或等于安全半徑R的概率均為p2。則理論上船-冰發(fā)生碰撞事件的概率可以表示為：

結(jié)合上述數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)海域內(nèi)的船-冰碰撞概率問題可分為兩部分來進(jìn)行，即浮冰進(jìn)入航道的概率和基于復(fù)合體概念的航道內(nèi)船-冰碰撞的幾何概率。（13）式中，由于m∈［0,n］，因此可得到目標(biāo)海域船—冰碰撞幾何概率P的表達(dá)式：

4 船—冰碰撞幾何概率數(shù)值算例

根據(jù)加拿大的Hill[4]對19世紀(jì)末到20世紀(jì)末一百年間發(fā)生在北大西洋上的船舶與冰山的碰撞事故進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)，如圖4所示，圖中紅色十字叉表示船舶與冰山發(fā)生碰撞的地理位置。在圖4海域3中，往來歐美之間的多條航道匯集于此[5]，同時(shí)，考慮海域3相對開闊，故選擇海域3作為研究對象。

根據(jù)文獻(xiàn)[4]的記載，海域3的地理位置介于北緯35°到52°，西經(jīng)35°到55°之間。由于1°約等于111 km，因此其面積為：

在海域3中，選取一條從A港到B港的航線如圖1所示，該航線貫穿海域形成航道的面積為S2。設(shè)航道平均長度L為2 000 km，平均寬度B為6 km，則S2為12 000 km2。

由于船、冰分布的隨機(jī)性和復(fù)雜性，加之國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)資料的極度匱乏，因此很難獲取該海域內(nèi)較為精確的船舶與浮冰的分布函數(shù)。本文經(jīng)過合理的假設(shè)和一定的簡化，對船舶與浮冰的分布函數(shù)進(jìn)行了如下設(shè)定。

對于船舶的分布函數(shù)來說，沿航道長度方向，假設(shè)所研究的船舶為同一類船型，航速相近，設(shè)定船舶在航道截面各個(gè)位置處的分布密度是相等的，并呈線性均勻分布，即f（x）=1/L；沿航道寬度方向，由Pedersen船舶碰撞概率計(jì)算模型中關(guān)于船舶在航道內(nèi)航行趨勢分布公式[6]，其概率密度服從高斯分布，有：

式中：μ為期望值，是表征船舶集中位置的重要參數(shù)；σ為標(biāo)準(zhǔn)偏差，是表征船舶在航道內(nèi)沿寬度方向的各個(gè)位置上分布均勻度的重要參數(shù)。

因此，根據(jù)公式（9）得到船舶在航道上的分布函數(shù)為：

對于浮冰的分布函數(shù)，沿航道的長度方向，參考圖1中冰山在海域3中的分布，可以發(fā)現(xiàn)碰撞事故越靠近海域中心越密集，反之越靠近兩邊越稀疏。這種情形一方面說明浮冰或冰山受風(fēng)浪、洋流的作用，多數(shù)向海域中心集中，另一方面受大陸及島嶼對其漂流的限制，海域邊緣的浮冰數(shù)量較少。為了簡化計(jì)算，假設(shè)浮冰沿航道長度方向的概率密度分布為拋物線形式，即：

而沿航道的寬度方向，為簡便計(jì)算，設(shè)定沿航道寬度方向各位置處分布密度相等，呈線性均勻分布，即。因此，根據(jù)公式（9）得到浮冰在航道上的二維概率密度函數(shù)為：

根據(jù)以上理論，基于MATLAB軟件編制船-冰碰撞概率計(jì)算程序。在該程序中，輸入?yún)?shù)項(xiàng)為海域面積、浮冰數(shù)量、航道的長度和寬度、船長和船寬、浮冰的直徑以及浮冰在航道上的分布函數(shù)（概率密度函數(shù)），船舶在航道上的分布函數(shù)及平均值μ和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，程序的輸出項(xiàng)為船舶和浮冰在航道上的分布函數(shù)的云圖以及目標(biāo)海域的船—冰碰撞幾何概率，如圖5所示。

圖5 船—冰碰撞概率計(jì)算程序界面Fig.5 Interface of collision probability calculation program between ship and ice

5 各參數(shù)對船—冰碰撞幾何概率的影響

根據(jù)數(shù)值程序計(jì)算出的碰撞幾何概率的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析與碰撞幾何概率關(guān)系密切的四個(gè)相關(guān)參數(shù)的影響，即船舶尺寸、浮冰尺寸以及船舶集中位置μ和分布均勻度σ，在揭示碰撞幾何概率與各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系的同時(shí)，能夠?yàn)楹胶Ｕ咭?guī)避碰撞風(fēng)險(xiǎn)、提高船舶的安全性提供參考。

5.1 碰撞幾何概率與船舶尺寸的關(guān)系

本文中所研究的船型均為同一船型的成品油船，當(dāng)浮冰尺寸（d=30 m）與平均值μ（取3 000 m）、標(biāo)準(zhǔn)偏差σ（取1 000）都不變的時(shí)候，只改變船舶的等效半徑，得到的結(jié)果如圖6所示。結(jié)果表明，碰撞概率P對于船舶尺寸的變化是比較敏感，并隨著等效半徑的增大而呈線性增長。當(dāng)船舶等效半徑為49.06 m時(shí)，碰撞概率P為4.49×10-7；而當(dāng)?shù)刃О霃皆黾咏埔槐稙?5.10 m時(shí)，碰撞幾何概率P增長了一個(gè)數(shù)量級(jí)，變成了1.326×10-6。這表明，隨著主尺度的不斷增加，其等效半徑亦不斷增大，在其他條件均不變的前提下，船舶與浮冰接近繼而碰撞的幾何概率也在不斷增大。因此，對于大型船舶來說，在高緯度冰區(qū)海域航行一方面應(yīng)加強(qiáng)包括冰山在內(nèi)的浮冰的監(jiān)測水平，如使用探測雷達(dá)和導(dǎo)航衛(wèi)星，在接近浮冰前能夠及時(shí)改變航向，躲避碰撞危險(xiǎn)。

5.2 碰撞幾何概率與浮冰尺寸的關(guān)系

當(dāng)船舶尺寸（l=142.6 m，b=20.8 m）、平均值μ（取3 000 m）、標(biāo)準(zhǔn)偏差σ（取1 000）都不變的時(shí)候，只改變浮冰的尺寸，得到的結(jié)果如圖7所示。結(jié)果表明，當(dāng)其他條件不變時(shí)，相對于船舶的等效半徑這一參數(shù)而言，碰撞幾何概率P對于浮冰尺寸的變化更為敏感，隨著浮冰直徑的不斷增大，船舶與浮冰接近繼而碰撞的可能性也越來越大。當(dāng)浮冰直徑為30 m時(shí)，碰撞幾何概率P為4.49×10-7；而當(dāng)浮冰的直徑增加到原來的25倍即750 m時(shí)，碰撞幾何概率P增長了兩個(gè)數(shù)量級(jí)為2.186×10-5。從圖7中可看出船—冰碰撞幾何概率P與浮冰直徑的平方近似成正比。針對這一特性，對于冰區(qū)海洋航行的船舶來說，必須重視加強(qiáng)對大型冰山的監(jiān)測，如配備先進(jìn)的探測雷達(dá)與導(dǎo)航裝置，以求最大程度上規(guī)避碰撞風(fēng)險(xiǎn)，提高船舶安全的航行性能。

圖6 碰撞概率幾何與船舶尺寸的關(guān)系圖Fig.6 Collision probabilities varied with ship dimensions

圖7 碰撞幾何概率與浮冰尺寸的關(guān)系圖Fig.7 Collision probabilities varied with ice floes dimensions

5.3 碰撞幾何概率與船舶分布函數(shù)的關(guān)系

（1）碰撞幾何概率P與參數(shù)μ的關(guān)系

根據(jù)（16）式可知，μ為表征船舶集中位置的重要參數(shù)，數(shù)值上體現(xiàn)為船舶偏離航道坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平均值。受風(fēng)浪、礁石、冰山等各種客觀條件的制約，船舶在航道內(nèi)集中趨勢的位置往往不一定在航道中心線處，而是偏離中心線一定的距離。這便是研究參數(shù)μ與碰撞概率二者關(guān)系的重要依據(jù)。

當(dāng)其他條件不改變，只改變?chǔ)痰闹?，得到的結(jié)果如圖8所示。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)1 000 m≤μ≤3 000 m時(shí)，船—冰碰撞幾何概率P隨著μ值的增大而迅速增大，在μ=3 000 m即船舶分布函數(shù)的對稱軸與航道中心線重合時(shí)，碰撞幾何概率P達(dá)到最大值。當(dāng)μ＞3 000 m時(shí)，碰撞幾何概率P隨著μ值的增大而迅速減小。因此，船舶集中趨勢的位置在適當(dāng)避開航道中心線的情況下可以有效降低碰撞幾何概率，有利于船舶航行安全。

（2）碰撞概率與σ的關(guān)系

根據(jù)（16）式可知，σ為表征船舶在航道內(nèi)沿寬度方向的各個(gè)位置上分布均勻度的重要參數(shù)。σ越小，說明船舶越集中分布于航道某一區(qū)間上；反之則說明船舶沿航道寬度上分布得越均勻。

當(dāng)其他條件不改變，只改變?chǔ)业闹?，得到的結(jié)果如圖9所示。結(jié)果表明，碰撞幾何概率隨著σ值的增大而減小。當(dāng)σ較小時(shí)（從100到1 000），碰撞幾何概率變化很小；當(dāng)σ較大時(shí)（從1 000到3 200），碰撞幾何概率迅速減小至5.417×10-7，僅為圖中最大值的68.2%。因此，船舶沿航道寬度方向的分布均勻度越大，越避開浮冰的最大分布區(qū)，碰撞幾何概率越能有效地減少。這對冰區(qū)船舶的安全航行具有重要意義。

圖8 碰撞幾何概率與μ的關(guān)系圖Fig.8 Collision probabilities varied withμ

圖9 碰撞幾何概率與σ的關(guān)系圖Fig.9 Collision probabilities varied with σ

6 結(jié) 語

本文基于二維隨機(jī)變量概率理論，結(jié)合復(fù)合體的概念對目標(biāo)海域內(nèi)典型航道的船-冰碰撞幾何概率的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了研究。主要研究結(jié)論如下：

（1）本文旨在探索出一種適用于某海域內(nèi)的船—冰碰撞幾何概率計(jì)算模型，今后在經(jīng)過大量海洋觀測工作獲得更科學(xué)的船、冰分布數(shù)據(jù)的情況下，該數(shù)學(xué)模型可以適用于一般的船-冰碰撞幾何概率計(jì)算問題。

（2）船舶尺寸、浮冰尺寸以及船舶分布函數(shù)對于碰撞幾何概率具有重要影響。碰撞幾何概率隨船舶尺寸的增大而增大，近似呈線性關(guān)系；碰撞幾何概率隨著浮冰尺寸的增大而增大，與其直徑的平方成正比；碰撞幾何概率隨著參數(shù)μ的增大先不斷增大后急劇減??；碰撞幾何概率隨著參數(shù)σ的增大而減小。

[1]Liu Zhenhui.Analytical and numerical analysis of iceberg collisions with ship structures[D].Norwegian University of Science and Technology,2011.

[2]馮敬海,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2006.

[3]馮 昊.空間碎片碰撞概率及其閾值分析和研究[D].北京:中國科學(xué)院研究生院,2008.

[4]Hill B T.Ship Collisions with Iceberg Database.Report to PERD:Trends and analysis[R].Institute for Ocean Technology,National Research Council,2005.

[5]http://baike.baidu.com/view/1456842.html[M/OL].

[6]Pedersen Temdrup P,Friis Hansen P,Nielsen L P.Collision risk and damage after collision[C].RINA International Conference on the Safety of Passenger RoRo Vessels,1996.