郭春風(fēng)，范寶春

（南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210094）

1 引 言

運(yùn)動(dòng)物體因阻力作用而消耗了大量的能量，減阻是節(jié)約能源的重要方法之一。為此，人們提出了各種減阻方法和技術(shù)[1-3]。

當(dāng)電極和磁條組成的電磁板被激活時(shí)，在弱電介質(zhì)溶液（如海水）中，可形成電磁力（Lorentz力），它可以改變流動(dòng)速度，控制邊界層流動(dòng)。通過(guò)改變電極和磁條的排布方式，可產(chǎn)生不同方向的電磁力；通過(guò)改變電極上的通電方式，可產(chǎn)生振蕩、行波等多種形式的電磁力；通過(guò)電磁板的組裝可實(shí)現(xiàn)多種控制策略。由于電磁力控制比較容易實(shí)現(xiàn)且方式靈活多樣，故壁湍流的電磁控制的研究受到特別的關(guān)注[4-7]。

通常采用展向電磁力來(lái)控制壁湍流，該電磁力可以隨時(shí)間振蕩，即振蕩電磁力

式中：A是電磁力的強(qiáng)度，T是電磁力的振蕩周期，t為時(shí)間，△是電磁力的穿透厚度。此類Lorentz力，大小在法向呈指數(shù)衰減，并隨時(shí)間呈正弦變化。Pang[8]，Breuer[9]和梅棟杰等[10]的實(shí)驗(yàn)研究表明，此類電磁力具有減阻功能，其減阻效果與電磁力的強(qiáng)度（即振幅）和振蕩頻率有關(guān)。Berger[11]，Du[12]和梅棟杰等[13]對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬，同樣證實(shí)了展向振蕩電磁力的減阻功能。

電磁力也可以行波方式存在，流向行波電磁力

式中：Lx為流向特征長(zhǎng)度，kx為流向波數(shù)。黃樂(lè)萍等[14]對(duì)此類Lorentz力的流動(dòng)控制問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果表明，流向行波電磁力同樣可以減阻，并且存在優(yōu)化參數(shù)，使壁面阻力最小。

以上電磁力皆隨著時(shí)間變化，另一類電磁力為僅空間分布的電磁力，此類電磁力則更為簡(jiǎn)單，也更易在實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)。例如，僅在流向正弦分布的電磁力

Berger[15]通過(guò)數(shù)值模擬，簡(jiǎn)單地?cái)⑹隽舜祟愲姶帕p阻的可能性，但未對(duì)其減阻過(guò)程和機(jī)理等作進(jìn)一步的討論。鑒于空間分布的電磁力在實(shí)施時(shí)的方便性以及相關(guān)研究并未深入開(kāi)展的現(xiàn)狀，本文將壁湍流的控制過(guò)程視作是由電磁力誘導(dǎo)的流場(chǎng)對(duì)壁湍流固有流場(chǎng)的調(diào)制過(guò)程，根據(jù)直接數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果，通過(guò)討論因調(diào)制而導(dǎo)致的誘導(dǎo)流場(chǎng)和固有流場(chǎng)的變化以及雷諾（Reynolds）應(yīng)力分布的變化，探討空間分布電磁力的壁面減阻機(jī)理。計(jì)算結(jié)果還表明，存在最優(yōu)參數(shù)組合，其減阻效果最好。

2 數(shù)值方法

無(wú)量綱形式的不可壓縮流體的N-S方程

體積力

式中：u為速度矢量，p為壓強(qiáng)，ν為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。

利用譜方法求解上述方程，流向和展向用Fourier變換，采用周期性邊界條件，法向則用Chebyshev變換，采用無(wú)滑移壁面條件[16]。方程（5）中的時(shí)間項(xiàng)，采用三階精度的半隱式后差分格式；右邊的線性項(xiàng)和壓力項(xiàng)，通過(guò)影響矩陣法和Chebyshev-tau方法聯(lián)立求解，用以消除殘余散度[17]；還利用3/2規(guī)則，消除非線性項(xiàng)的混淆誤差[18]。計(jì)算區(qū)域?yàn)?π/3×2π/3×2（流向×展向×法向），對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)為64×32×65，Re=4 000。

本文計(jì)算的終了時(shí)間為t=1 000。當(dāng)t=300時(shí)，用于形成湍流的流場(chǎng)初始擾動(dòng)的影響基本消除，此時(shí)開(kāi)始電磁控制，t=500時(shí)，開(kāi)始對(duì)湍流量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

3 結(jié)果和討論

對(duì)于公式（3）描述的流向呈正弦分布的展向電磁力，振幅A和波數(shù)kx是兩個(gè)重要參數(shù)，其大小將影響電磁力對(duì)壁湍流控制的效果，下面將分別進(jìn)行討論。

3.1 A不變時(shí)，kx對(duì)減阻的影響

定義減阻率

其中：＜τw＞表示控制情況下壁面摩擦應(yīng)力的平均值，＜τwn＞表示未控制情況下壁面摩擦應(yīng)力的平均值。

先討論A=1.0不變時(shí)，kx的變化對(duì)減阻效果的影響。圖1是A=1.0時(shí)，減阻率隨kx的變化圖，由該圖可知，當(dāng)A/kx≈0.3時(shí)，壁面的減阻率最大。

圖1 減阻率隨kx的變化Fig.1 Drag reduction ratio vs kx

展向電磁力作用下，流場(chǎng)產(chǎn)生展向運(yùn)動(dòng)，故可用展向速度分布來(lái)描述電磁力誘導(dǎo)的流場(chǎng)。而壁湍流的主要特征則表現(xiàn)為周期出現(xiàn)的用條帶和流向渦描述的擬序結(jié)構(gòu)。圖2為不同波數(shù)的電磁力作用下，壁湍流的流場(chǎng)變化圖。圖中第一列為y+=5.4處，展向速度分布圖，用來(lái)描述誘導(dǎo)流場(chǎng)，其中深色和淺色分別表示正向和負(fù)向速度。第二列為y+=5.4處的流場(chǎng)的條帶分布圖，其中白色表示高速條帶（u′＞0），黑色為低速條帶（u′＜0）。第三列為近壁區(qū)的渦結(jié)構(gòu)，其中圖（a）對(duì)應(yīng)0＜y+＜120，圖（b）-（f）對(duì)應(yīng)0＜y+＜40。第二列和第三列用來(lái)描述固有湍流流場(chǎng)。

圖2 誘導(dǎo)流場(chǎng)和固有流場(chǎng)間的相互調(diào)制Fig.2 Intermodulation of the intrinsic and induced flows

圖2（a）為湍流無(wú)電磁控制情形，此時(shí)不存在誘導(dǎo)流場(chǎng)，展向速度分布是隨機(jī)的、不規(guī)則的，而條帶和流向渦都具有壁湍流的典型特征。電磁控制后的流場(chǎng)變化如圖2（b）-（f）所示。第1列,對(duì)于低頻波，隨著波數(shù)kx的增加，展向速度逐漸呈現(xiàn)有序分布，正、負(fù)展向速度區(qū)域漸成矩形，數(shù)目與波數(shù)kx相同，kx=3時(shí)，矩形形狀最為規(guī)則，參見(jiàn)圖（b）-（d）。隨著波數(shù)的進(jìn)一步增加，正、負(fù)速度區(qū)域之間漸趨模糊，如圖（e）-（f）所示。第2列，對(duì)于低頻波，條帶出現(xiàn)幅度較大的彎曲，且隨著波數(shù)的增加，條帶彎曲程度增大，條帶強(qiáng)度減弱，高速條帶所占比例減小，低速條帶所占比例增大，kx=3時(shí)，條帶彎曲程度最大，條帶強(qiáng)度最弱，高速條帶所占比例最小，低速條帶所占比例最大，如圖（b）-（d）所示。當(dāng)波數(shù)進(jìn)一步增加時(shí)，條帶的大幅彎曲逐漸消失，逐漸變直，其強(qiáng)度又逐漸增加，高速條帶所占比例增大，低速條帶所占比例減小，如圖（e）-（f）所示。第3列，隨著波數(shù)的增加，流向渦彎曲而有序排列，流向渦減少，kx=3時(shí)，流向渦最少，流向渦彎曲排列最有序，如圖（b）-（d）。當(dāng)波數(shù)的進(jìn)一步增加時(shí)，流向渦重新增多且無(wú)序排列，如圖（e）-（f）。

流場(chǎng)中雷諾（Reynolds）應(yīng)力的大小可以反映湍流的強(qiáng)弱。根據(jù)脈動(dòng)速度u和v的符號(hào)，可將其分為四個(gè)象限。第I象限（u＞0，v＞0）表示高速流體向上運(yùn)動(dòng)；第II象限（u＜0，v＞0）稱為上拋運(yùn)動(dòng)（ejection），該過(guò)程將近壁的低流體帶離壁面；第III象限（u＜0，v＜0）表示低速流體的向下運(yùn)動(dòng)；第IV象限（u＞0，v＜0）稱為下掃運(yùn)動(dòng)（sweeping），該過(guò)程將上層高速運(yùn)動(dòng)的流體帶向壁面。流向渦導(dǎo)致的上拋（ejection）和下掃（sweep）貢獻(xiàn)了60%－80%的Reynolds應(yīng)力，成為湍流產(chǎn)生的主要活動(dòng)。尤其是下掃（sweep），將主流體的能量帶至壁面從而使壁面阻力增加。

如圖3所示脈動(dòng)速度（u，v）在壁面y+=5.4（y=0.03）處的分布，其中Reynolds應(yīng)力在四個(gè)象限的分布概率分別為圖（a）13.8%、37.2%、19.1%和29.8%；圖（b）16.9%、34.3%、20.9%和27.8%；圖（c）11.7%、38.9%、27.3%和22.1%；圖（d）0.7%、49.3%、48.0%和2.0%；圖（e）8.2%、39.4%、42.0%和10.4%；圖（f）14.8%、34.5%、30.7%和19.9%。這說(shuō)明，在誘導(dǎo)流場(chǎng)調(diào)制下，固有流場(chǎng)的Reynolds應(yīng)力在四個(gè)象限的分布被重新調(diào)整了，如圖（b）-（d），隨著波數(shù)kx從1增加到3時(shí)，I和III象限活動(dòng)明顯增加，IV象限活動(dòng)明顯減少，II象限概率變化不大，四個(gè)象限活動(dòng)強(qiáng)度明顯減弱。如圖（e）-（f），隨著波數(shù)kx從3進(jìn)一步增加到20時(shí)，IV象限活動(dòng)明顯增多，四個(gè)象限活動(dòng)強(qiáng)度明顯加強(qiáng)。kx=3時(shí)，四個(gè)象限活動(dòng)強(qiáng)度最弱，IV象限活動(dòng)最少。

圖3 雷諾應(yīng)力在四個(gè)象限的分布概率Fig.3 Distribution probability of quadrant-averaged Reynolds stresses

如圖4為在不同波數(shù)的電磁力作用下，雷諾應(yīng)力在四個(gè)象限的分布剖面。當(dāng)波數(shù)kx從1增加到3時(shí)，雷諾應(yīng)力在II象限（流體上拋）和IV象限（下掃運(yùn)動(dòng)）強(qiáng)度減弱。隨后，隨著波數(shù)的增加，II象限和IV象限的強(qiáng)度增強(qiáng)，即在kx=3時(shí)，雷諾應(yīng)力在II象限和IV象限強(qiáng)度最弱。

壁面阻力與雷諾應(yīng)力在四個(gè)象限（特別是IV象限）的分布概率以及分布強(qiáng)度有關(guān)。由于kx=3時(shí)，雷諾應(yīng)力在第IV象限的分布概率最小，雷諾應(yīng)力在II象限和IV象限強(qiáng)度最弱。最終，還是kx=3時(shí)壁面阻力最小。

圖4 雷諾應(yīng)力及其在四個(gè)象限的分布剖面Fig.4 Distribution profile of total and quadrant-averaged Reynolds stresses

3.2 kx不變時(shí)，A對(duì)減阻的影響

圖5是kx=3時(shí)，減阻率隨A的變化圖，由該圖可知，當(dāng)A/kx≈0.3時(shí)，壁面的減阻率最大。

圖5 減阻率隨A的變化Fig.5 Drag reduction ratio vs A

圖6 誘導(dǎo)流場(chǎng)和固有流場(chǎng)間的相互調(diào)制Fig.6 Intermodulation of the intrinsic and induced flows

圖6為kx=3時(shí)在不同強(qiáng)度的電磁力作用下，壁湍流的流場(chǎng)變化圖。圖中第一列為y+=5.4處，展向速度分布圖，第二列為y+=5.4處的流場(chǎng)的條帶分布圖，第三列為近壁區(qū)的渦結(jié)構(gòu)。由圖可見(jiàn)，隨著強(qiáng)度A的增加,展向速度分布逐漸有序，正、負(fù)展向速度區(qū)域漸成矩形，A=1.0時(shí)，矩形最為規(guī)則。然后，隨強(qiáng)度A的進(jìn)一步增加，又由規(guī)則向不規(guī)則演變。條帶的強(qiáng)度由強(qiáng)變?nèi)?，再由弱變?qiáng)，高速條帶所占比例由多變少，再由少變多，低速條帶所占比例由少變多，再由多變少，A=1.0時(shí)，條帶強(qiáng)度最弱，高速條帶所占比例最小，低速條帶所占比例最大。流向渦也在A=1.0時(shí)最少。

如圖7所示脈動(dòng)速度（u，v）在壁面y+=5.4（y=0.03）處的分布，其中Reynolds應(yīng)力在四個(gè)象限的分布概率分別為圖（a）13.8%、37.2%、19.2%和29.8%；圖（b）13.1%、37.6%、19.7%和29.4%；圖（c）4.1%、45.5%、37.7%和12.7%；圖（d）0.7%、49.3%、48.0%和2.0%；圖（e）14.5%、36.2%、26.7%和22.6%；圖（f）20.0%、31.1%、21.8%和27.0%。隨著強(qiáng)度A的增加,變化規(guī)律與圖2類似，A=1.0時(shí)，四個(gè)象限活動(dòng)強(qiáng)度最弱，IV象限活動(dòng)最少。

圖7 雷諾應(yīng)力在四個(gè)象限的分布概率Fig.7 Distribution probability of quadrant-averaged Reynolds stresses

如圖8為kx=3時(shí)在不同強(qiáng)度的電磁力作用下，雷諾應(yīng)力及其在四個(gè)象限的分布剖面。隨著強(qiáng)度A的增加，變化規(guī)律與圖2類似，在A=1.0時(shí)雷諾應(yīng)力在II象限和IV象限強(qiáng)度最弱。

圖8 雷諾應(yīng)力及其在四個(gè)象限的分布剖面Fig.8 Distribution profile of total and quadrant-averaged Reynolds stresses

由于A=1.0時(shí)，雷諾應(yīng)力在第IV象限的分布概率最小，雷諾應(yīng)力在II象限和IV象限強(qiáng)度最弱。最終，還是A=1.0時(shí)壁面阻力最小。

3.3 減阻的最優(yōu)組合參數(shù)值

對(duì)于組合參數(shù)A/kx，表1為對(duì)應(yīng)于不同值的平均壁面減阻率。結(jié)果表明，當(dāng)滿足如下關(guān)系式時(shí)可獲得40%左右的最佳減阻效果：

表1 不同組合參數(shù)值的壁面減阻率Tab.1 Wall drag reduction rate versus A and kx

4 結(jié) 論

本文利用Fourier-Chebyshev譜方法，研究了流向呈正弦分布的展向電磁力作用下槽道湍流的壁面減阻。結(jié)果表明，此類Lorentz力可以有效控制壁湍流，并在控制參數(shù)A/kx≈0.3時(shí)，減阻效果最佳。

展向電磁力對(duì)湍流的控制過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是一種由電磁力誘導(dǎo)的流場(chǎng)對(duì)壁湍流的調(diào)制過(guò)程。當(dāng)電磁力的組合參數(shù)為優(yōu)化值時(shí)，在誘導(dǎo)流場(chǎng)的調(diào)制下，壁湍流的流向渦結(jié)構(gòu)減少和條帶強(qiáng)度變?nèi)?，高速條帶所占比例減小，低速條帶所占比例增大，Reynolds應(yīng)力變小，流場(chǎng)被部分層流化，這導(dǎo)致壁面阻力的下降。

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