張恒 段文山

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,蘭州 730070)

(2012年8月27日收到;2012年9月4日收到修改稿)

1 引言

自從1995年玻色-愛因斯坦凝聚在堿金屬原子中實現(xiàn)以來,人們在實驗和理論方面對它做了大量的研究[1?13].這些研究工作又一次燃起了人們對這一物態(tài)的研究興趣[14,15],其中一個令人極其感興趣的問題是玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的動力學(xué)行為[16?18]研究.在零溫極限情況下,所有原子都發(fā)生凝聚,這使得體系很自然地可以用平均場下的Gross-Pitaevskii(GP)[19]方程來描述.并且在該理論下還發(fā)現(xiàn)了BEC系統(tǒng)所滿足的Korteweg-de Vries(KdV)方程和暗孤子[20?24].眾所周知,在很多物理研究領(lǐng)域內(nèi)都發(fā)現(xiàn)了孤子,比如塵埃等離子體[25,26]、激光等離子體[27]、BEC系統(tǒng)[28?31]、二維系統(tǒng)[32]等.

自從在BEC系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)孤子以來,調(diào)制不穩(wěn)定性是孤子研究[33]中的一個有趣的問題.可以確定的是對于單組分BEC系統(tǒng)的穩(wěn)定性可用標(biāo)記原子之間相互作用的方法來惟一確定.由于原子的相互作用[34,35],在原子數(shù)目的最大臨界值以內(nèi)凝聚是穩(wěn)定的.因為有外部原子源的存在,當(dāng)原子數(shù)目超過最大臨界值時,由于BEC內(nèi)的原子相互作用半徑趨于零導(dǎo)致中心凝聚密度區(qū)域無窮大.因此,凝聚開始塌縮發(fā)射出原子,直到原子數(shù)目減少到臨界值以下結(jié)構(gòu)達到穩(wěn)定.然后凝聚物又開始堆積,一系列的塌縮也伴隨發(fā)生.

繼文獻[33]的研究工作之后,我們給出一種處理GP方程以及從二維非線性Schrodinger方程(NLSE)出發(fā)去描述BEC中孤立波的方法,并得出了色散關(guān)系的顯示式,同時,還解析研究了單組分常振幅BEC(TBEC)的調(diào)制不穩(wěn)定性.

2 二維非線性Schrodinger方程的導(dǎo)出

假設(shè)用波函數(shù)來描述粒子數(shù)為N具有相同量子態(tài)的凝聚氣體.在低溫情況下,具有弱相互作用的玻色氣體的動力學(xué)行為可以用含時的Gross-Pitaevskii方程來描述,寫出序參量[36]

這里的U0=4πˉh2as/m是相互作用常數(shù),as是原子間s波散射長度(具有排斥相互作用的系統(tǒng)as＞0),m為原子質(zhì)量.假設(shè)粒子被限制在具有盤狀勢Vext=m[ω(x2+y2)+ωz2]/2的阱中,ω⊥代表x軸或y軸的橫向頻率,ωz為z方向的勢阱頻率.為了方便變量無量綱化,規(guī)定x=[/(mωz)]1/2ξ,y=[/(mωz)]1/2η,z=[/(mωz)]1/2ζ,t=(ωz)?1τ.

將這些變量帶入方程(1)中則有

由于盤狀勢ω⊥/ωz非常小,因此 (ω⊥/ωz)2可以被忽略.然后有:

假設(shè)勢阱的x軸和y軸是相互垂直的,可以把波函數(shù)寫成Ψ=f(ξ,η,τ)g(ζ),g(ζ)滿足

方程(4)就是大家熟知的一維量子諧振子本征方程,它的基態(tài)解的形式為g0=exp(?ζ2/2),對應(yīng)的本征值為ν=1/2.將波函數(shù)的表達式代入方程(3),并乘以g?可以得到

將方程(4)代入方程(5),得到如下形式:

通過如下的變換

可以得到

給方程(8)左右同乘 e?ζ2/2,讓方程(4)中g(shù)=g0并代入方程(8)中,對ζ積分一次以消除方程對ζ的依賴,得到

其中

這里的μ是化學(xué)勢.

3 TBEC的調(diào)制不穩(wěn)定性

這一部分將研究TBEC的調(diào)制不穩(wěn)定性.將方程(9)中的振幅w分成如下的兩部分:

其中w0是孤立波的常實振幅,δw(δw?w0)是小振幅微擾,φ是非線性頻移.把方程(10)代入方程(9)中并保留零階項和一階項(線性化),得到

這里的δw?是δw的復(fù)共軛.把δw=X+i Y代入方程(12)中,并將實部和虛部分開,得到如下耦合方程:

假設(shè)振幅微擾δw=X+i Y,其中

這里的?是調(diào)制波的頻率.Kξ和Kη分別為ξ和η方向的調(diào)制波數(shù).用方程(15)和(16)可以得到非線性色散關(guān)系

由方程(17)可以推斷,如果滿足如下條件:1)B＞0,C＞0且A＜0;2)B＜0,C＜0且A＞0,?2＞0.對于以上條件,?是實數(shù),所以孤立波是穩(wěn)定的.上文中考慮的條件對于as＞0所對應(yīng)的原子間相互作用力為斥力,因此TBEC的孤立波是穩(wěn)定的.相反,如果?2＜0,?是虛數(shù),那么TBEC的孤立波是不穩(wěn)定的.這樣看來是存在調(diào)制不穩(wěn)定的條件.

為簡單起見,令Kη=0,那么微擾振幅只在ξ方向上.鑒于這種情況,方程(17)的色散關(guān)系可以被重新寫作?2=B2KK?2(A/B)|w0|2].因此,滿足條件1)BA＜0,2)BA＞0但K2(A/B)|w0|2時,TBEC中的孤立波是調(diào)制不穩(wěn)定的.這樣看來,孤立波的穩(wěn)定性依賴于A/B的符號.當(dāng)波數(shù)Kξ滿足K＜2(A/B)|w0|2,如果B和A同號,TBEC中的孤立波是調(diào)制不穩(wěn)定的.當(dāng)原子間相互作用了為引力,as＜0,AB＞0時,如果K＜2(A/B)|w0|2,孤立波是不穩(wěn)定的,然而如果K＞2(A/B)|w0|2,孤立波是穩(wěn)定的.因此,對于原子間相互作用力為斥力,as＞0,AB＜0時,對于所有條件孤立波都是調(diào)制穩(wěn)定的.

由條件d?/d Kξ=0,可以找到增長率的最大值.當(dāng)時,與增長率最大值相應(yīng)的頻率可由γmax=|A||w0|2得到.如果Kξ=0,微擾振幅只在η方向存在.那么方程(17)的色散關(guān)系可以重新寫作?2=C2K[K?2(A/C)|w0|2].對于以上條件可以類似地做穩(wěn)定性分析.

4 結(jié)論

本文由GP方程出發(fā),推導(dǎo)出了二維Schr¨odinger方程.研究了TBEC中孤立波的調(diào)制不穩(wěn)定性.研究發(fā)現(xiàn),as＞0對于任何條件孤立波都是調(diào)制穩(wěn)定的.而對于條件as＜0,孤立波在K2＞2(A/B)|w0|2和K2＜2(A/B)|w0|2情況下分別為穩(wěn)定和不穩(wěn)定.同時,如果擾動的波數(shù)足夠大,那么波是穩(wěn)定的,否則是不穩(wěn)定的.

[1]Wen W,Shen S Q,Huang G X 2010 Phys.Rev.B 81 014528

[2]Zang X F,Li JP,Tan L 2007 Acta Phys.Sin.56 4348(in Chinese)[臧小飛,李菊萍,譚磊2007物理學(xué)報56 4348]

[3]Wang G F,Fu L B,Liu J 2006 Phys.Rev.A 73 13619

[4]Li S C,Fu L B,Duan WS,Liu J 2008 Phys.Rev.A 78 063621

[5]Wen W,Huang G X 2009 Phys.Rev.A 79 023605

[6]Ma Y,Fu L B,Yang Z A,Liu J 2006 Acta Phys.Sin.55 5623(in Chinese)[馬云,傅立斌,楊志安,劉杰2006物理學(xué)報55 5623]

[7]Madison K,Chevy F,Bretin V,Dalibard J 2000 Phys.Rev.Lett.84 806

[8]Svidzinsky A A,Fetter A L 2000 Phys.Rev.Lett.84 5919

[9]Jochin S,Bartenstein M,Altmeyer A,Hendl G,Hecker Denschlag J,Grimm R 2004 Phys.Rev.Lett.91 240402

[10]Wang G F,Fu L B,Liu J 2006 Phys.Rev.A 73 13619

[11]Liu J,Wu B,Niu Q 2003 Phys.Rev.Lett.90 170404

[12]Wu Y,Yang X X 2003 Phys.Rev.A 68 013608

[13]Hu B B,Huang G X,Ma Y L 2004 Phys.Rev.A 69 063608

[14]Legget A J 2003 Rev.Mod.Phys.75 1083

[15]Trombettoni A,Smerzi A 2001 Phys.Rev.Lett.86 2353

[16]Gerton J M,Strekalov D,Prodan I,Hulet R G 2001 Nature 408 692

[17]Men F D,Liu H,Fan Z L,Zhu H Y 2009 Chin.Phys.B 18 2649

[18]Liu J,Fu L B,Ou B Y,Chen S G,Chin D,Wu B,Niu Q 2002 Phys.Rev.A 66 023404

[19]Bradley C C,Sackett C A,Hulet R G 1997 Phys.Rev.Lett.78 985

[20]Huang G X 2001 Chin.Phys.Lett.18 628

[21]Yang X X,Shi Y R,Duan WS 2008 Commun.Theor.Phys.49 119

[22]Hang G X,Zhu S H 2002 Chin.Phys.Lett.19 17

[23]Duan WS,Chen JH,Yang H J,Shi Y R,Wang H Y 2006 Chin.Phys.Lett.23 2000

[24]Song S W,Wang D S,Wang H Q,Liu W M 2012 Phys.Rev.A 85 063617

[25]Liang GZ,Han JN,Lin M M,Wei JN,Duan WS 2009 Phys.Plasmas 16 073705

[26]Jiang X,Gao X Y,Li S C,Shi Y R,Duan W S 2009 Appl.Math.Comp.214 60

[27]Tian D X,He G J,Han J N,Duan W S 2009 Commun.Theor.Phys.51 529

[28]Li S C,Han J N,Duan WS 2009 Physica B 404 1235

[29]Li S C,Duan WS 2008 Commun.Theor.Phys.50 655

[30]Li B,Zhang X F,Li Y Q,Chen Y,Liu W M 2008 Phys.Rev.A 78 023608

[31]Hu X H,Zhang X F,Zhao D,Luo H G,Liu W M 2009 Phys.Rev.A 79 023619

[32]Han J N,Du S L,Duan WS 2008 Phys.Plasmas 15 112104

[33]Duan WS,Parkes J,Zhang L 2004 Phys.Plasmas 11 3762

[34]Gammal A,Frederico T,Tomio L,Chomaz P 2000 Phys.Rev.A 61 051602

[35]Kagan Y,Muryshev A E,Shlyapnikov G V 1998 Phys.Rev.Lett.81 933

[36]Dalfovo F,Giorgini S,Pitaevskii L,Stringari S 1999 Rev.Mod.Phys.71 463

[37]Duan WS,Parkes J,Lin M M 2005 Phys.Plasmas 12 022106