任克林

（四川省冶金地質(zhì)勘查局測(cè)繪工程大隊(duì)，成都610212）

0 引言

公路平曲線設(shè)計(jì)中，常用到卵形曲線。其要素（緩和曲線切線角β、切線增量q、圓曲線內(nèi)移值m、切線長(zhǎng)T等）以及卵形線上任意點(diǎn)高斯平面直角坐標(biāo)（以下簡(jiǎn)稱高斯坐標(biāo)）的計(jì)算是公路中線（平曲線）設(shè)計(jì)與測(cè)設(shè)的難點(diǎn)，有關(guān)文獻(xiàn)給出的計(jì)算方法有利用復(fù)化辛普森公式計(jì)算［1］、利用雙交點(diǎn)法計(jì)算［2］等。其中復(fù)化辛普森公式算法為擬合算法，且公式復(fù)雜不利于編程計(jì)算；雙交點(diǎn)法是將卵形線分為長(zhǎng)度相等的兩段分別看作等長(zhǎng)完整緩和曲線來(lái)進(jìn)行解算，也為一種近似算法。故上述方法存在著編程困難、誤差較大或未能求解卵形曲線要素的不足。本文推證出一種補(bǔ)全卵形線后利用幾何性質(zhì)將其平面獨(dú)立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為高斯坐標(biāo)的計(jì)算方法，可有效解決上述兩類方法的不足。

1 推證思路

如圖1所示，已知弧ZH－HY1為IP1處前緩和曲線，弧HY1－YH1為IP1處圓曲線，半徑為R1；弧HY2－YH2為IP2處圓曲線，半徑為 R2，弧YH2－HZ為IP2處后緩和曲線，長(zhǎng)度為L(zhǎng)s2，卵形線（IP2處前緩和曲線）YH1－HY2曲線長(zhǎng)度為L(zhǎng)h，起點(diǎn)（YH1）處曲率半徑為R1，終點(diǎn)（HY2）處曲率半徑為R2。交點(diǎn)IP2處路線轉(zhuǎn)角為α。交點(diǎn)IP1高斯坐標(biāo)為 （XIP1，YIP1），交點(diǎn)IP2高斯坐標(biāo)為 （XIP2，YIP2）。設(shè)IP2處圓曲線HY2－YH2圓心位置為A，過(guò)A點(diǎn)作垂線A－V1垂直線段IP2－HZ于V1，作垂線A－V2垂直線段IP1－IP2于V2；連接A與IP2點(diǎn)，由幾何關(guān)系（線段A－V2垂直線段IP1－IP2，線段A－V1垂直線段IP2－HZ）可知α1＋α2＝α。過(guò)點(diǎn)HY2作輔助線HY2－E平行于線段IP1－IP2；過(guò)點(diǎn)HY2作垂線 HY2－V3垂直于線段IP1－IP2，垂足為V3。

圖1 卵形曲線

圖1中以R1＞R2右轉(zhuǎn)路線為例，設(shè)卵形線YH1－HY2緩和曲線切線角（以下簡(jiǎn)稱切線角）為β1，IP2處后緩和曲線切線角為β2，弦YH1－HY2與線段IP1－IP2夾角為θ，弦YH1－HY2長(zhǎng)度為S。將卵形線YH1－HY2補(bǔ)全為完整緩和曲線，因R1＞R2，卵形線增補(bǔ)部分位于IP1一側(cè)，設(shè)增補(bǔ)長(zhǎng)度為L(zhǎng)q，卵形線補(bǔ)全為完整緩和曲線后總長(zhǎng)為L(zhǎng)all，起點(diǎn)為o，緩和曲線常數(shù)為C1。在o點(diǎn)以補(bǔ)全卵形線起點(diǎn)處的切線與垂線分別作為x軸、y軸建立獨(dú)立坐標(biāo)系，設(shè)YH1在獨(dú)立坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（x1，y1），HY2在獨(dú)立坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（x2，y2）。

設(shè)獨(dú)立坐標(biāo)系中完整緩和曲線o－YH1部分切線角為βYH1，o－HY2部分切線角為βHY2，據(jù)（x1，y1）、（x2，y2）與βYH1、βHY2即可求得卵形線YH1－HY2切線角為β1、 弦YH1－HY2的長(zhǎng)度S以及弦YH1－HY2與線段IP1－IP2（即獨(dú)立坐標(biāo)系中YH1處切線）的夾角θ，再根據(jù)參考文獻(xiàn)［3］所述方法可求得卵形曲線要素（切線角β、切線增量q、圓曲線內(nèi)移值m、切線長(zhǎng)T等）。

1.1 卵形曲線要素推證

完整緩和曲線計(jì)算公式為：

式中：C——完整緩和曲線常數(shù)；

Lp——完整緩和曲線上任意點(diǎn)p與起點(diǎn)間的曲線長(zhǎng)度；

r——完整緩和曲線上任意點(diǎn)p處曲率半徑；

β——完整緩和曲線上任意點(diǎn)p處切線角；

Ls——完整緩和曲線的長(zhǎng)度；

R——完整緩和曲線的終點(diǎn)處曲率半徑；

xp——完整緩和曲線上任意點(diǎn)p獨(dú)立坐標(biāo)x；

yp——完整緩和曲線上任意點(diǎn)p獨(dú)立坐標(biāo)y（x、y在計(jì)算中常取前3項(xiàng)）；

xs——完整緩和曲線終點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)x；

ys——完整緩和曲線終點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)y；

βs——完整緩和曲線終點(diǎn)處切線角；

m——完整緩和曲線整體的圓曲線內(nèi)移值；

q——完整緩和曲線整體的切線增長(zhǎng)值。

圖1中，將卵形線YH1－HY2補(bǔ)全，其增補(bǔ)長(zhǎng)度為L(zhǎng)q，總長(zhǎng)為L(zhǎng)all。則據(jù)式（1）完整緩和曲線常數(shù)C＝Lp·r可建立方程：

將Lq、Lall代入式（1）、（3）可得：

以及在獨(dú)立坐標(biāo)系中YH1、HY2坐標(biāo)x1、y1、x2、y2（公式略）。

將x1、y1、x2、y2代入式（1）、（4）、（5）可得：

設(shè)IP2處前半段曲線中整體圓曲線內(nèi)移值為m1，切線增長(zhǎng)為q1，因線段YH1－E 平行于線段IP1－IP2，線段A－V2垂直于線段IP1－IP2，可據(jù)幾何性質(zhì)得：

設(shè)IP2處后緩和曲線YH－HZ中整體圓曲線內(nèi)移值為m2，切線增長(zhǎng)值為q2，據(jù)式完整緩和曲線計(jì)算公式（1）、（2）易得m2、q2。

設(shè)IP2處前半段曲線切線長(zhǎng)為T1，后半段曲線切線長(zhǎng)為T2，則據(jù)參考文獻(xiàn)［3］所述方法可求得：

至此，卵形曲線 要素β1、β2、m1、m2、q1、q2、T1、T2推證完畢。

1.2 卵形線上任意點(diǎn)P高斯坐標(biāo)計(jì)算

圖1中以R1＞R2右轉(zhuǎn)路線為例，設(shè)直線IP1－IP2高斯坐標(biāo)方位角為ω，P點(diǎn)位于卵形線YH1－HY2上，緩和曲線o－P 段長(zhǎng)度為L(zhǎng)P，YH1點(diǎn)高斯坐標(biāo)為（XYH1，YYH1），P點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（xP，yP），高斯坐標(biāo)為（XP′，XP′），弦YH1－P 長(zhǎng)度為SP，與交點(diǎn)連線IP1－IP2（即獨(dú)立坐標(biāo)系中YH1處切線）的夾角為θP。

據(jù)式（8）中T1與交點(diǎn)IP1、IP2的高斯坐標(biāo)易求得YH1點(diǎn)高斯坐標(biāo)（XYH1，YYH1）與ω，據(jù)式（1）、（3）可得YH1點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（XIP1，YIP1）以及P點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（xP，yP）。

將x1、y1、xP、yP代入式（1）、（4）、（5）可得：

則弦YH1－P的高斯坐標(biāo)方位角為θp＋ω，又據(jù)式（9）SP即可求得卵形線上任意點(diǎn)P高斯坐標(biāo)：

1.3 其他情況

當(dāng)R1＜R2或卵形曲線為其他線型組合及轉(zhuǎn)向時(shí)，計(jì)算原理和方法類同，僅需注意公式中各種參數(shù)的對(duì)應(yīng)使用。

2 算例

筆者按上述原理，以Visua Basic語(yǔ)言編制成計(jì)算程序，當(dāng)給定已知條件后，可以迅速算出曲線要素及任意樁號(hào)的坐標(biāo)，以及在已知控制點(diǎn)處的放樣數(shù)據(jù)。計(jì)算參數(shù)及結(jié)果見表1～3。

IP6處前緩和曲線起點(diǎn)曲率半徑為4 000m，終點(diǎn)曲率半徑為1 600，為卵形線。

表1 國(guó)道集錫公路四平繞越線路線數(shù)據(jù)表（部分）

表2 曲線元素表

表3 逐樁成果表（卵形線部分）

3 結(jié)語(yǔ)

本文探討在卵形曲線中利用補(bǔ)全卵形線并在建立獨(dú)立坐標(biāo)系中通過(guò)幾何關(guān)系求得其曲線要素及卵形線上任意點(diǎn)位高斯平面直角坐標(biāo)的方法，并給出詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，具有線位控制準(zhǔn)確、易操做和編程清晰的特點(diǎn)，適合高等級(jí)公路高精度計(jì)算要求的卵形曲線設(shè)計(jì)與測(cè)設(shè)計(jì)算。

［1］李孟山.利用復(fù)化辛甫生公式計(jì)算特殊曲線點(diǎn)位坐標(biāo)［J］.鐵路航測(cè)，1999（4）：27.

［2］張玥.切基線條件下雙交點(diǎn)曲線參數(shù)的計(jì)算方法［J］.鐵道建筑，2011（10）：81.

［3］焦亨余.不對(duì)稱緩和曲線的坐標(biāo)計(jì)算［J］.中國(guó)科技信息，2006（15）：299.

［4］劉丹.緩和曲線精確計(jì)算的通用公式［J］.廣西交通科技，2001（2）：61.

［5］王慶中.公路平曲線曲率圓內(nèi)移值計(jì)算公式的推導(dǎo)［J］.城市建設(shè)，2010（13）：441.