孫 蕾 左洪福

南京航空航天大學，南京，210016

0 引言

一般而言，航空公司的維修部門分為基地和航站兩級?；卦O(shè)有中心倉庫，用于內(nèi)廠維修及支援航站備件。而航站也會適量存儲備件，當飛機發(fā)生故障時，可以通過快速更換備件，進行離機(off－line)修理，以縮短飛機的停場時間，提高飛機的簽派可靠性，避免飛行延誤造成巨大損失。

在采購初始備件時，飛機制造商計算推薦數(shù)量的模型，僅從基地單一航材的保障水平出發(fā)，而航空公司的實際應用表明這種做法的效果非常不理想，備件大量剩余的同時又不能避免停飛待件的情況。其原因是，這種做法割裂了備件故障與飛機可用度的聯(lián)系，也沒有考慮多級庫存，缺乏整體的協(xié)調(diào)與優(yōu)化。備件庫存的目的是維護飛機的正常運行，衡量備件庫存水平優(yōu)劣最好的度量方式是其所保障飛機的可用度，如何以最少的投入獲得最大的飛機可用度，才是航空公司在進行采購時最關(guān)注的問題。

從20世紀60年代起，國外對多級庫存問題進行了大量研究。Sherbrooke［1］在1968年提出的METRIC理論成為后來學者們研究的基礎(chǔ)，該理論在建模過程中考慮了維修保障組織的多級結(jié)構(gòu)，但是低估了基地備件短缺量。1985年，Graves［2］提出了 VARI－METRIC 模型的近似算法，同時考慮供應渠道備件數(shù)和方差，提高了METRIC模型近似法的精確度，同時還保留了后者適用于復雜系統(tǒng)的優(yōu)越性。Hillestad［3］提出了Dyna－METRIC模型，考慮了使用需求隨時間變化的動態(tài)模型。文獻［4-5］研究了多級庫存中同級庫存間的橫向供應問題。Kennedy等［6］總結(jié)了備件庫存問題的研究現(xiàn)狀?？傊?，多級庫存理論已經(jīng)成為提高庫存費效比的有效方法，在歐美海軍及空軍中得到廣泛應用。隨著我國大飛機項目的啟動，國內(nèi)學者對民機多級庫存的研究也越來越多。文獻［7-8］通過改變保障指標或優(yōu)化方法，對多級庫存問題進行了積極的探討。文獻［9-10］研究了聯(lián)合庫存情況下的多級庫存問題。文獻［11-12］對初始備件問題進行了研究，但僅從單級庫存角度進行對比，沒有考慮多級庫存。

本文主要以需求率較低、費用較高，并對飛行安全起關(guān)鍵作用的航線可更換件(line replaceable units，LRU)為研究對象，基于 Vari－METRIC 理論，在(s－1，s)庫存策略下，運用邊際分析法對波音公司提供的初始備件的數(shù)量進行優(yōu)化，并對兩種方案的結(jié)果進行了對比分析。

1 問題描述

航空公司的兩級維修供應系統(tǒng)由飛機、維修機構(gòu)、備件庫等要素組成，備件在系統(tǒng)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移流程如圖1所示。

圖1 兩級維修供應流程

當飛機在某航站發(fā)現(xiàn)LRU故障時，如果該件是NO GO件，影響飛行安全，則由機務進行定位拆卸。如果航站有備件，則對LRU進行更換，否則發(fā)生一次短缺，同時向基地申請LRU備件，此處不考慮航站間的橫向備件供應。拆下的故障件在航站進行修理，修好后送回航站對應的備件庫;航站無法修的故障件送基地修理，修完后送基地備件庫。LRU在上述過程中的狀態(tài)滿足經(jīng)典庫存平衡公式:

其中，s為初始庫存量，當庫存對策為(s－1，s)時，是一常量;se為現(xiàn)有庫存量;nDI為供應渠道件數(shù)，是在修理或運輸中的備件數(shù);nBO為備件短缺數(shù)。式(1)等號右邊三個變量都是非負的。所有的s件備件始終處于上述三種狀態(tài)之一，當nDI＜s時，se大于零，仍有庫存。當nDI=s+x時，將會產(chǎn)生數(shù)量為x的缺貨量，此時考慮nDI＞s時的備件需求分布函數(shù)的結(jié)果，可得到期望短缺量。

為提高模型工程易用性，作如下假設(shè):①飛機的機型架次均相同;②假設(shè)所有LRU的重要程度相同，不考慮設(shè)計的冗余性，一旦短缺便導致飛機停飛;③多重故障不同時發(fā)生;④航站不維修備件，基地修理能力無限;⑤不考慮串件修理，橫向供應。

2 庫存建模

客戶化的RSPL制定，首先需要客戶提供飛機運行的基本規(guī)則，如年飛行時間、機隊規(guī)模、修理周轉(zhuǎn)時間、保障率等。波音公司根據(jù)預測模型，分3步求解:①計算年平均需求量;②維修需求量;③計算推薦數(shù)量。

2.1 年平均需求量

波音公司的推薦模型中，年平均需求量的計算公式如下:

在METRIC模型中，假設(shè)各航站的年平均需求量相同，則有

式中，j為航站標識，j=0，1，…，J，其中0 代表基地，J代表航站數(shù)量。

2.2 維修需求量

維修需求量即供應渠道件數(shù)μ是修理周轉(zhuǎn)時間(repair turnaround time，RTAT)內(nèi)發(fā)生的備件平均需求量。在波音的推薦模型中，客戶通過選擇基本規(guī)則確定備件的RTAT，客戶可以為所有的零件、每個修理碼或每個供應商代碼分別提供RTAT，對于不同的修理碼還需進一步提供主維修時間、輔助維修時間、航站到主基地的返回時間。

為簡單起見，本文假設(shè)所有備件的RTAT是相同的，由客戶規(guī)則給出。平均的修理周轉(zhuǎn)時間公式如下:

式中，TRT為航站到基地的往返時間;T為航材在基地的修理時間。

波音維修需求量采用均值等于mTRTAT的泊松分布模擬基地需求，不考慮航站。而METRIC模型將基地和航材需求分開計算，其中基地的期望值為

航站j的供應渠道備件期望值由兩部分組成:①運輸中的備件;②基地備件短缺而延遲供應航站j的備件?；貙秸镜膫浼暾埌聪葋硐鹊皆瓌t服務。所以航站的短缺量等于航站需求占總需求的比例與基地短缺量的乘積，即

式中，EBO(s0)為基地庫存量等于s0時，基地的備件短缺量;poisson(x，μ0)為泊松分布。

由于沒有具體的需求數(shù)據(jù)，所以無法求得方差，此處仍用泊松分布進行模擬。

基地供應渠道備件數(shù)的方差為

式中，BO為短缺量，等式右邊第1項是短缺函數(shù)的二階矩，等式右邊第2項是期望短缺函數(shù)的平方。

2.3 推薦量計算

波音公司計算推薦量時，假設(shè)備件需求滿足泊松分布，則當備件為x件時，保障率為

波音公司的公式是針對單一備件分別進行計算的，通過每次加1計算所能得到的保障率，與客戶的要求相比，直到滿足為止。如，客戶要求92% 的保障率，2件備件可達到90%，3件可達到96%，那么將推薦客戶購買3件備件。

要應用METRIC模型，首先需要推導機隊可用度與總的備件期望短缺量的關(guān)系。假設(shè)飛機所有備件發(fā)生故障的次數(shù)相互獨立，并且不存在串件維修，則機隊中未因任何備件短缺而停飛的飛機架數(shù)所占百分比的期望值為

式中，I為備件的品種數(shù);Qi為第i種備件的品種數(shù)。

對式(10)兩邊求對數(shù):

由此可見，最小化機隊可用度等同于最大化EBO，綜合所有航站所有備件，最優(yōu)化問題可以歸結(jié)為以下整數(shù)規(guī)劃:

式中，i代表不同的備件。

式中，p(x)為需求的概率分布。

航站供應渠道備件數(shù)的方差為

根據(jù)差均比的不同，參考表1分別選用二項分布、泊松分布和負二項分布中的一種來模擬需求的概率分布。

表1 差均比與概率分布的對應表

3 優(yōu)化求解流程

目前用于多級庫存優(yōu)化的算法主要有遺傳算法和邊際分析，前者缺點是多維復雜，仿真速度慢，實際應用困難;后者利用數(shù)學模型通過解析法求解，結(jié)果可得到可用度與庫存投資的轉(zhuǎn)換曲線，而不僅僅是提供一個單獨的優(yōu)化值。雖然其精確性不如前者，但對于飛機這類復雜系統(tǒng)的高效性，使其成功地被商業(yè)軟件OPUS等采用，并在歐美的海軍及空軍中得到廣泛應用，因此本文也選用邊際分析法進行優(yōu)化求解。邊際分析法是一種漸進的優(yōu)化技術(shù)，用于分配短缺資源來獲得最大效益。它可以被認為是通過對邊際單元的效益和費用的權(quán)衡分析，以達到對有效資源的合理利用。邊際分析法的思想就是在算法中每次只增加1個航材，看增加哪個航材所帶來的費效比(即航材期望短缺量的減少與航材費用的比值［EBO(s－1)－EBO(s)］/c)最大，就將這個航材的數(shù)量增加1個。為證明邊際分析法得出的解是最優(yōu)解，需要證明 EBO(s)函數(shù)是凸函數(shù)。證明過程如下:

由于EBO(s)的一階導數(shù)小于等于零，二階導數(shù)大于等于零，根據(jù)凸函數(shù)定義可得EBO(s)是凸函數(shù)。

利用邊際分析法求解分為兩步:①針對單項的備件，在幾個航站和基地之間優(yōu)化配置庫存量;②將所有種類的備件綜合考慮，運用邊際分析法優(yōu)化配置庫存量。具體的求解流程如圖2所示。

圖2 多級庫存模型求解優(yōu)化流程

4 實例分析

以某航空公司購買的4架波音737－800推薦清單中的19項備件為例，航空公司的運營數(shù)據(jù)如下:N=4，TFH=3248.5h，T=40d，TRT=5d，假設(shè)兩級維修保障組織的結(jié)構(gòu)為一個基地，四個航站;備件對應參數(shù)如表2所示。

通過運用METRIC多級模型計算，可得19項備件的最優(yōu)分配如表3所示(為節(jié)省篇幅，表3中未列出全部內(nèi)容)。其中，N代表當前總的備件數(shù)量，Pi代表最新選擇的備件，第3～7列代表當前選擇的備件在各保障組織中的最優(yōu)分配，第8～26列便是各備件對應的推薦數(shù)量。C代表當前總的成本，EBO是當前的總的短缺量。以第10行為例，當總的備件數(shù)由9增加到10時，此時應選擇第19項備件，系統(tǒng)短缺量由3.68減少到3.53，總投入為43 259.82。備件19在基地與四個航站的分配量為2，0，0，0，0。其他18 項備件此時的數(shù)量為 (1，0，0，0，1，1，0，0，0，0，0，0，1，1，1，0，0，2)。

表2 備件參數(shù)表

根據(jù)最優(yōu)分配表可以得到系統(tǒng)總的短缺量與成本間的最優(yōu)曲線，如圖3所示。

波音公司的19項備件對應的推薦數(shù)量為(1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，2，2，2，3，3)，總資金是$1 328 080.18，而短缺量為0.611，如圖2中的波音策略。將其與最優(yōu)策略對比如下:

(1)相同短缺量對比。最優(yōu)策略短缺量為0.533 時，所 需 資 金 為$917 462.32，節(jié) 約了 30.84%。

(2)相同資金對比。多級庫存最優(yōu)分配得出$1 269 647時，對應的19項備件推薦量為(6，2，1，2，6，6，2，1，1，2，2，6，6，6，7，1，1，8，7)，短缺量為 0.312，如圖 2中的策略 1;剩余資金$58 433.26，不夠支付最優(yōu)曲線上的下一項備件16，但可以繼續(xù)追加購買多項其他價低的備件，最終結(jié)果為(6，2，1，2，6，7，2，1，1，6，2，6，6，6，7，1，1，10，8)，此 時 的 短 缺 量 為 0.299，剩余$1424.3，如圖2中的策略2。

表3 備件的最優(yōu)分配表

圖3 短缺量與成本優(yōu)化曲線圖

5 結(jié)語

由結(jié)果可知，多級模型在節(jié)約資金30.84%的前提下，仍能得到更優(yōu)的短缺量;在資金相同時，通過多級模型優(yōu)化后可得81項備件，遠超過波音僅依據(jù)各種備件保障率計算得出的26項備件，充分體現(xiàn)了費效比最大的原則。價格低的備件多儲備，如第5、6、18、19項備件;對于價格高、故障率相對低的備件盡量少儲備，如16、17項備件。另外，通過最優(yōu)分配表，可以直接得出各項備件在基地與航站的分配數(shù)量，既能指導航空公司在有限的采購資金的約束下進行新購機型的初始航材采購，達到最大的資金利用率，又可指導備件在各級保障站點的最優(yōu)分配，體現(xiàn)了備件多級庫存策略的有效性。此方案的有效性還有賴于進一步實踐驗證，或可采用仿真的方法對初始保障方案進行驗證并優(yōu)化。

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