秦泗吉 梁韶偉 張樹(shù)棟

燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

0 引言

拉深成形工藝廣泛用于沖壓生產(chǎn)，起皺和破裂是成形制件的兩種主要失效形式。前者屬于壓縮失穩(wěn)，后者屬于拉伸失穩(wěn)。一般來(lái)說(shuō)，起皺失穩(wěn)問(wèn)題較破裂問(wèn)題復(fù)雜得多。

目前有限元分析技術(shù)已被廣泛用于板料成形過(guò)程的模擬，可以預(yù)測(cè)各種成形缺陷。而建立失穩(wěn)判定條件以及判定失穩(wěn)預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，則需要進(jìn)行理論分析，并用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

塑性加工問(wèn)題很復(fù)雜，一般很難采用純理論的方法進(jìn)行解析求解。以軸對(duì)稱拉深成形為例，在法蘭區(qū)建立起皺失穩(wěn)條件，必須先給出應(yīng)力、應(yīng)變以及變形能的解析表達(dá)式，其中對(duì)法蘭區(qū)應(yīng)力的解析分析更是解決起皺失穩(wěn)問(wèn)題的關(guān)鍵，即便是在平面應(yīng)力假設(shè)條件下，也很難直接給出應(yīng)力的解析表達(dá)式，且無(wú)法得到應(yīng)變的表達(dá)式。因此，目前常用的處理方法是:根據(jù)法蘭變形區(qū)等效應(yīng)變從法蘭外緣到內(nèi)緣是逐漸增大的這一規(guī)律，假設(shè)等效應(yīng)變與瞬時(shí)徑向坐標(biāo)成簡(jiǎn)單的反比例關(guān)系［1-3］，求出應(yīng)力的解析式，然后再計(jì)算變形能，進(jìn)而求出起皺失穩(wěn)臨界壓邊力。

顯然，在法蘭區(qū)等效應(yīng)變與位置關(guān)系成反比的假設(shè)條件與體積不變條件不一致，計(jì)算結(jié)果可能與實(shí)際相差較大。

本文以軸對(duì)稱拉深成形為例，采用能量守恒原理，對(duì)法蘭區(qū)起皺問(wèn)題進(jìn)行了分析。首先采用平面應(yīng)變假設(shè)條件，對(duì)法蘭區(qū)的應(yīng)力分布進(jìn)行了分析，根據(jù)應(yīng)力分布特點(diǎn)，以數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了簡(jiǎn)化。然后根據(jù)徑向應(yīng)力的簡(jiǎn)化公式以及變形能隨拉深位置的變化規(guī)律，采用分部積分法，得到了起皺失穩(wěn)變形能的表達(dá)式，并給出了臨界壓邊力的計(jì)算式。

1 能量法求解起皺失穩(wěn)問(wèn)題基本方程

板坯起皺失穩(wěn)分析通常采用分叉理論［4-5］和能量守恒原理［6-7］。由于能量守恒原理更簡(jiǎn)明且更具普遍性，故得到了廣泛應(yīng)用。根據(jù)能量守恒原理，在起皺失穩(wěn)瞬間，設(shè)由板坯周向伸長(zhǎng)導(dǎo)致的周向應(yīng)力釋放的變形能為Uθ，板坯失穩(wěn)起皺時(shí)彎曲所需的變形能為Uw，由于皺紋隆起壓邊力做功為 UQ，則有如下關(guān)系［6］:

在起皺失穩(wěn)瞬間，周向應(yīng)力σθ釋放出的能量為［1］

式中，S'為失穩(wěn)起皺后單波的周長(zhǎng)變化量;σθ為在任意半徑ρ處的周向應(yīng)力;t為板厚;dρ為徑向坐標(biāo)位置增量;r0為凹模入口處的半徑;Rw為法蘭外緣半徑;l為單個(gè)皺紋的波長(zhǎng);ds、dx分別為單波微弧段的弧長(zhǎng)及其在x軸上的投影長(zhǎng)度;y=y(x)為撓度方程。

一般情況下，將法蘭變形區(qū)皺紋模型假設(shè)為

其中，ym為皺紋幅值;fρ(ρ)是與 ρ相關(guān)的函數(shù);fφ(φ)是與φ相關(guān)的函數(shù)(φ為單波中任意弧段所對(duì)的圓心角);fρ(ρ)和 fφ(φ)是相互獨(dú)立的量綱一函數(shù)。

由 x= ρφ，dx= ρdφ，得

通常?。?-3］

因而有

式中，φ0為單波所對(duì)的圓心角;r0為法蘭內(nèi)半徑，即不考慮凹模圓角時(shí)的凹模口半徑。

將式(4)代入式(2)，得

另一方面，法蘭起皺后，波紋隆起為塑性彎曲。在起皺瞬間，假設(shè)波紋撓度不大，可認(rèn)為是在加載條件下發(fā)生的，并仍然滿足彈性彎曲時(shí)的小變形假設(shè)，分析計(jì)算中用塑性切線模量D替代彈性模量，波紋撓度與坐標(biāo)ρ有關(guān)，因此有

而

因而

上式代入式(6)，且 dI=t3dρ/12，則有

設(shè)等效應(yīng)力σ與等效應(yīng)變?chǔ)欧蟽缰笖?shù)的材料模型假設(shè)，則有

式中，B為板材的強(qiáng)度系數(shù);n為硬化指數(shù)。

將式(8)、式(3)代入式(7)，得

式中，R0為板坯初始半徑。

式(5)、式(9)表明，起皺失穩(wěn)變形能的計(jì)算需要首先已知應(yīng)力應(yīng)變分布規(guī)律。對(duì)軸對(duì)稱拉深成形問(wèn)題，在一定的假設(shè)條件下，可以求出應(yīng)力、應(yīng)變分布規(guī)律。但應(yīng)力應(yīng)變難以直接給出解析表達(dá)式，這使得后續(xù)工作無(wú)法進(jìn)行。通常的處理方法是假設(shè)等效應(yīng)變與位置關(guān)系成反比［1-3］，但這種假設(shè)顯然與體積不變條件相悖。考慮在壓邊條件下，法蘭區(qū)的板厚變化不大，在求解應(yīng)力分布時(shí)，許多文獻(xiàn)仍采用平面應(yīng)變假設(shè)。以下在對(duì)法蘭區(qū)應(yīng)力進(jìn)行求解分析的基礎(chǔ)上，采用平面應(yīng)變假設(shè)條件，進(jìn)一步給出起皺失穩(wěn)變形能、臨界壓邊力等的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

2 平面應(yīng)變假設(shè)條件下的應(yīng)力分布

2.1 應(yīng)力分析

對(duì)軸對(duì)稱拉深成形問(wèn)題，法蘭區(qū)滿足的平衡方程為

式中，σρ為法蘭區(qū)徑向應(yīng)力。

在平面應(yīng)變假設(shè)條件下且不考慮摩擦等，根據(jù)式(11)及其他條件可求出法蘭區(qū)的應(yīng)力［8］。

若設(shè)半徑為ρ處的變形質(zhì)點(diǎn)的初始位置為ρ0，r為板厚方向性系數(shù)，則由等效應(yīng)變的定義有

根據(jù)平面應(yīng)變假設(shè)及等效應(yīng)力的定義，有

根據(jù)平面應(yīng)變假設(shè)條件、Mises屈服準(zhǔn)則及冪指數(shù)的材料模型假設(shè)，得

因法蘭外緣徑向應(yīng)力已知，則在法蘭區(qū)任意位置ρ(ρ∈［r0，Rw］)處變形質(zhì)點(diǎn)的徑向應(yīng)力為

式(16)中的x表示變形質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置。

將式(16)代入式(13)，并考慮等效應(yīng)力等效應(yīng)變關(guān)系、冪指數(shù)的材料模型假設(shè)，可求出周向應(yīng)力。顯然，周向應(yīng)力也是包含積分項(xiàng)的函數(shù)式，它是質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)位置的函數(shù)，再將其代入式(5)，才能計(jì)算變形能Uθ，即便采用數(shù)值方法，計(jì)算過(guò)程也非常復(fù)雜。因此，將式(16)進(jìn)行簡(jiǎn)化還是非常必要的。

2.2 應(yīng)力表達(dá)式的簡(jiǎn)化

取 r0/R0=0.5，n=0.21，當(dāng) Rw/R0取不同值時(shí)，將函數(shù)f(expu)隨u的變化規(guī)律表示在圖1上。對(duì)于給定的 Rw/R0，在 u∈［ln(r0/R0)，ln(Rw/R0)］內(nèi)f(expu)接近線性分布。表1給出了在Rw/R0和 r0/R0取一系列不同值時(shí)，函數(shù)f(expu)線性相關(guān)系數(shù)的平方值R2。結(jié)果顯示R2均接近1。因而f(expu)在u的取值區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)密切，基本符合線性分布規(guī)律。容易驗(yàn)證，當(dāng)n在0.2附近變化時(shí)，上述規(guī)律不變。

圖1 函數(shù)f(expu)隨u的變化規(guī)律

表1 函數(shù)f(expu)線性相關(guān)系數(shù)的平方值R2(n=0.21)

進(jìn)行變量代換后，因積分函數(shù)近似為自變量u的線性函數(shù)，因而徑向應(yīng)力可以簡(jiǎn)化為自變量u的二次函數(shù)。參照文獻(xiàn)［8］，以積分形式表示的應(yīng)力表達(dá)式(16)，采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法，可按下式進(jìn)行簡(jiǎn)化:

簡(jiǎn)化后的求解結(jié)果與原積分式求解結(jié)果非常接近。文獻(xiàn)［8］給出的算例中，在n=0.19時(shí)，最大相對(duì)誤差小于0.6%。

只有已知應(yīng)力分布規(guī)律，才能計(jì)算起皺失穩(wěn)變形能，而簡(jiǎn)明的應(yīng)力表達(dá)式也為變形能的計(jì)算及進(jìn)一步給出起皺失穩(wěn)判據(jù)提供了便利。

3 起皺失穩(wěn)變形能的計(jì)算

3.1 周向應(yīng)力釋放的能

分析式(5)，因σθ是ρ的函數(shù)，因而需要首先求出周向應(yīng)力，才能確定周向應(yīng)力釋放的變形能。

根據(jù)平衡方程式(10)，式(2)可寫為

由分部積分法，得

而S'可看為ρ的函數(shù)，因S'(r0)=0(法蘭凹模入口處無(wú)皺紋高度為0，因而周向伸長(zhǎng)也為0)，故可根據(jù)邊界條件，得

將ρ=Rw代入式(4)，得

且

因此

考察式(19)中的第一項(xiàng)，令ρ/R0=expu，由

式(17)可知，徑向應(yīng)力可近似表示為u的線性函數(shù)，因此有

當(dāng)μ=0時(shí)，若設(shè)σρ=ka+kbu+kcu2，則式(20)是可積函數(shù)，即

取μ =0，Rw/R0=0.85，r0/R0=0.5，n=0.21，采用式(19)(用數(shù)值方法)計(jì)算得到的結(jié)果和采用簡(jiǎn)化式計(jì)算得到的結(jié)果非常接近，其相對(duì)誤差小于0.8%。可以驗(yàn)證，當(dāng)計(jì)算參數(shù)在可行范圍內(nèi)變化時(shí)，誤差也很小。

若進(jìn)一步設(shè)

則有

3.2 彎曲變形能

根據(jù)面積不變假設(shè)，將等效應(yīng)變的表達(dá)式式(12)代入式(9)，得

4 臨界壓邊力及理想壓邊力行程曲線

4.1 起皺失穩(wěn)臨界壓邊力

在不考慮成形速度、溫度等成形條件對(duì)起皺影響的前提下，式(25)給出了壓邊力與材料性能參數(shù)、板坯幾何參數(shù)、拉深位置參數(shù)以及皺紋模型參數(shù)之間的關(guān)系。當(dāng)成形條件、材料性能參數(shù)、板坯幾何參數(shù)以及拉深位置參數(shù)一定時(shí)，壓邊力僅與皺紋模型幾何參數(shù)有關(guān)。

當(dāng)其他參數(shù)一定時(shí)，壓邊力是皺紋模型參數(shù)的函數(shù)，在臨界起皺條件下，一般允許的皺紋幅值有一定的設(shè)定值，此時(shí)，壓邊力僅是皺紋數(shù)量N或單個(gè)皺紋的圓心角φ0的函數(shù)。由式(25)，令壓邊力對(duì)φ0的一階偏導(dǎo)數(shù)為0，可得到臨界壓邊力下的φ0，將φ0再代入式(25)，可以求出臨界壓邊力?？梢则?yàn)證式(25)給出的Q是φ0的單凸函數(shù)，即臨界壓邊力是所有可能的壓邊力取值中的最大值。

圖2所示是當(dāng)量壓邊力Q/ym(壓邊力與皺紋幅值之比)隨皺紋數(shù)量的變化曲線?？梢钥闯?，當(dāng)皺紋數(shù)量為某一數(shù)值時(shí)，壓邊力達(dá)到最大值，這就是臨界壓邊力。在實(shí)際拉深過(guò)程中，當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，臨界壓邊力是拉深位置的函數(shù)，即壓邊力隨行程是變化的，這就是理想壓邊力行程曲線。顯然，在拉深開(kāi)始和拉深結(jié)束時(shí)，臨界壓邊力都為0，而在中間的某個(gè)拉深位置，臨界壓邊力達(dá)到最大值。在拉深過(guò)程中，若保證施加的工藝壓邊力都不小于臨界壓邊力，則能確保拉深過(guò)程不產(chǎn)生起皺失穩(wěn)。

圖2 Q/ym與皺紋數(shù)量的關(guān)系曲線(μ =0.08，n=0.18)

4.2 理想壓邊力行程曲線

圖3所示是臨界當(dāng)量壓邊力Q/ym與拉深位置Rw/R0(法蘭外緣的相對(duì)位置)的關(guān)系曲線，由于拉深位置與拉深行程有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此該曲線是理想壓邊力行程曲線的另一種表達(dá)形式。

5 結(jié)論

(1)在平面應(yīng)變假設(shè)條件下，分析了軸對(duì)稱拉深成形起皺失穩(wěn)條件下的變形能，導(dǎo)出了計(jì)算式。

圖3 Q/ym與拉深位置的關(guān)系曲線(μ=0，n=0.18)

(2)用分部積分法、泰勒級(jí)數(shù)等數(shù)學(xué)方法簡(jiǎn)化了變形能的計(jì)算式。新的計(jì)算式更簡(jiǎn)明實(shí)用，與原積分形式表示的計(jì)算式非常接近。給出的算例表明，相對(duì)誤差小于0.8%。

(3)分析了起皺失穩(wěn)臨界壓邊力和理想壓邊力行程曲線的含義，并給出了算例。

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