秦泗吉 梁韶偉 張樹棟

燕山大學先進鍛壓技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

0 引言

拉深成形工藝廣泛用于沖壓生產，起皺和破裂是成形制件的兩種主要失效形式。前者屬于壓縮失穩(wěn)，后者屬于拉伸失穩(wěn)。一般來說，起皺失穩(wěn)問題較破裂問題復雜得多。

目前有限元分析技術已被廣泛用于板料成形過程的模擬，可以預測各種成形缺陷。而建立失穩(wěn)判定條件以及判定失穩(wěn)預測結果的準確性，則需要進行理論分析，并用實驗進行驗證。

塑性加工問題很復雜，一般很難采用純理論的方法進行解析求解。以軸對稱拉深成形為例，在法蘭區(qū)建立起皺失穩(wěn)條件，必須先給出應力、應變以及變形能的解析表達式，其中對法蘭區(qū)應力的解析分析更是解決起皺失穩(wěn)問題的關鍵，即便是在平面應力假設條件下，也很難直接給出應力的解析表達式，且無法得到應變的表達式。因此，目前常用的處理方法是:根據法蘭變形區(qū)等效應變從法蘭外緣到內緣是逐漸增大的這一規(guī)律，假設等效應變與瞬時徑向坐標成簡單的反比例關系［1-3］，求出應力的解析式，然后再計算變形能，進而求出起皺失穩(wěn)臨界壓邊力。

顯然，在法蘭區(qū)等效應變與位置關系成反比的假設條件與體積不變條件不一致，計算結果可能與實際相差較大。

本文以軸對稱拉深成形為例，采用能量守恒原理，對法蘭區(qū)起皺問題進行了分析。首先采用平面應變假設條件，對法蘭區(qū)的應力分布進行了分析，根據應力分布特點，以數學方法進行了簡化。然后根據徑向應力的簡化公式以及變形能隨拉深位置的變化規(guī)律，采用分部積分法，得到了起皺失穩(wěn)變形能的表達式，并給出了臨界壓邊力的計算式。

1 能量法求解起皺失穩(wěn)問題基本方程

板坯起皺失穩(wěn)分析通常采用分叉理論［4-5］和能量守恒原理［6-7］。由于能量守恒原理更簡明且更具普遍性，故得到了廣泛應用。根據能量守恒原理，在起皺失穩(wěn)瞬間，設由板坯周向伸長導致的周向應力釋放的變形能為Uθ，板坯失穩(wěn)起皺時彎曲所需的變形能為Uw，由于皺紋隆起壓邊力做功為 UQ，則有如下關系［6］:

在起皺失穩(wěn)瞬間，周向應力σθ釋放出的能量為［1］

式中，S'為失穩(wěn)起皺后單波的周長變化量;σθ為在任意半徑ρ處的周向應力;t為板厚;dρ為徑向坐標位置增量;r0為凹模入口處的半徑;Rw為法蘭外緣半徑;l為單個皺紋的波長;ds、dx分別為單波微弧段的弧長及其在x軸上的投影長度;y=y(x)為撓度方程。

一般情況下，將法蘭變形區(qū)皺紋模型假設為

其中，ym為皺紋幅值;fρ(ρ)是與 ρ相關的函數;fφ(φ)是與φ相關的函數(φ為單波中任意弧段所對的圓心角);fρ(ρ)和 fφ(φ)是相互獨立的量綱一函數。

由 x= ρφ，dx= ρdφ，得

通常?。?-3］

因而有

式中，φ0為單波所對的圓心角;r0為法蘭內半徑，即不考慮凹模圓角時的凹?？诎霃?。

將式(4)代入式(2)，得

另一方面，法蘭起皺后，波紋隆起為塑性彎曲。在起皺瞬間，假設波紋撓度不大，可認為是在加載條件下發(fā)生的，并仍然滿足彈性彎曲時的小變形假設，分析計算中用塑性切線模量D替代彈性模量，波紋撓度與坐標ρ有關，因此有

而

因而

上式代入式(6)，且 dI=t3dρ/12，則有

設等效應力σ與等效應變ε符合冪指數的材料模型假設，則有

式中，B為板材的強度系數;n為硬化指數。

將式(8)、式(3)代入式(7)，得

式中，R0為板坯初始半徑。

式(5)、式(9)表明，起皺失穩(wěn)變形能的計算需要首先已知應力應變分布規(guī)律。對軸對稱拉深成形問題，在一定的假設條件下，可以求出應力、應變分布規(guī)律。但應力應變難以直接給出解析表達式，這使得后續(xù)工作無法進行。通常的處理方法是假設等效應變與位置關系成反比［1-3］，但這種假設顯然與體積不變條件相悖?？紤]在壓邊條件下，法蘭區(qū)的板厚變化不大，在求解應力分布時，許多文獻仍采用平面應變假設。以下在對法蘭區(qū)應力進行求解分析的基礎上，采用平面應變假設條件，進一步給出起皺失穩(wěn)變形能、臨界壓邊力等的簡化計算方法。

2 平面應變假設條件下的應力分布

2.1 應力分析

對軸對稱拉深成形問題，法蘭區(qū)滿足的平衡方程為

式中，σρ為法蘭區(qū)徑向應力。

在平面應變假設條件下且不考慮摩擦等，根據式(11)及其他條件可求出法蘭區(qū)的應力［8］。

若設半徑為ρ處的變形質點的初始位置為ρ0，r為板厚方向性系數，則由等效應變的定義有

根據平面應變假設及等效應力的定義，有

根據平面應變假設條件、Mises屈服準則及冪指數的材料模型假設，得

因法蘭外緣徑向應力已知，則在法蘭區(qū)任意位置ρ(ρ∈［r0，Rw］)處變形質點的徑向應力為

式(16)中的x表示變形質點的相對位置。

將式(16)代入式(13)，并考慮等效應力等效應變關系、冪指數的材料模型假設，可求出周向應力。顯然，周向應力也是包含積分項的函數式，它是質點坐標位置的函數，再將其代入式(5)，才能計算變形能Uθ，即便采用數值方法，計算過程也非常復雜。因此，將式(16)進行簡化還是非常必要的。

2.2 應力表達式的簡化

取 r0/R0=0.5，n=0.21，當 Rw/R0取不同值時，將函數f(expu)隨u的變化規(guī)律表示在圖1上。對于給定的 Rw/R0，在 u∈［ln(r0/R0)，ln(Rw/R0)］內f(expu)接近線性分布。表1給出了在Rw/R0和 r0/R0取一系列不同值時，函數f(expu)線性相關系數的平方值R2。結果顯示R2均接近1。因而f(expu)在u的取值區(qū)間內線性相關密切，基本符合線性分布規(guī)律。容易驗證，當n在0.2附近變化時，上述規(guī)律不變。

圖1 函數f(expu)隨u的變化規(guī)律

表1 函數f(expu)線性相關系數的平方值R2(n=0.21)

進行變量代換后，因積分函數近似為自變量u的線性函數，因而徑向應力可以簡化為自變量u的二次函數。參照文獻［8］，以積分形式表示的應力表達式(16)，采用泰勒級數展開的方法，可按下式進行簡化:

簡化后的求解結果與原積分式求解結果非常接近。文獻［8］給出的算例中，在n=0.19時，最大相對誤差小于0.6%。

只有已知應力分布規(guī)律，才能計算起皺失穩(wěn)變形能，而簡明的應力表達式也為變形能的計算及進一步給出起皺失穩(wěn)判據提供了便利。

3 起皺失穩(wěn)變形能的計算

3.1 周向應力釋放的能

分析式(5)，因σθ是ρ的函數，因而需要首先求出周向應力，才能確定周向應力釋放的變形能。

根據平衡方程式(10)，式(2)可寫為

由分部積分法，得

而S'可看為ρ的函數，因S'(r0)=0(法蘭凹模入口處無皺紋高度為0，因而周向伸長也為0)，故可根據邊界條件，得

將ρ=Rw代入式(4)，得

且

因此

考察式(19)中的第一項，令ρ/R0=expu，由

式(17)可知，徑向應力可近似表示為u的線性函數，因此有

當μ=0時，若設σρ=ka+kbu+kcu2，則式(20)是可積函數，即

取μ =0，Rw/R0=0.85，r0/R0=0.5，n=0.21，采用式(19)(用數值方法)計算得到的結果和采用簡化式計算得到的結果非常接近，其相對誤差小于0.8%。可以驗證，當計算參數在可行范圍內變化時，誤差也很小。

若進一步設

則有

3.2 彎曲變形能

根據面積不變假設，將等效應變的表達式式(12)代入式(9)，得

4 臨界壓邊力及理想壓邊力行程曲線

4.1 起皺失穩(wěn)臨界壓邊力

在不考慮成形速度、溫度等成形條件對起皺影響的前提下，式(25)給出了壓邊力與材料性能參數、板坯幾何參數、拉深位置參數以及皺紋模型參數之間的關系。當成形條件、材料性能參數、板坯幾何參數以及拉深位置參數一定時，壓邊力僅與皺紋模型幾何參數有關。

當其他參數一定時，壓邊力是皺紋模型參數的函數，在臨界起皺條件下，一般允許的皺紋幅值有一定的設定值，此時，壓邊力僅是皺紋數量N或單個皺紋的圓心角φ0的函數。由式(25)，令壓邊力對φ0的一階偏導數為0，可得到臨界壓邊力下的φ0，將φ0再代入式(25)，可以求出臨界壓邊力?？梢则炞C式(25)給出的Q是φ0的單凸函數，即臨界壓邊力是所有可能的壓邊力取值中的最大值。

圖2所示是當量壓邊力Q/ym(壓邊力與皺紋幅值之比)隨皺紋數量的變化曲線?？梢钥闯?，當皺紋數量為某一數值時，壓邊力達到最大值，這就是臨界壓邊力。在實際拉深過程中，當其他參數不變時，臨界壓邊力是拉深位置的函數，即壓邊力隨行程是變化的，這就是理想壓邊力行程曲線。顯然，在拉深開始和拉深結束時，臨界壓邊力都為0，而在中間的某個拉深位置，臨界壓邊力達到最大值。在拉深過程中，若保證施加的工藝壓邊力都不小于臨界壓邊力，則能確保拉深過程不產生起皺失穩(wěn)。

圖2 Q/ym與皺紋數量的關系曲線(μ =0.08，n=0.18)

4.2 理想壓邊力行程曲線

圖3所示是臨界當量壓邊力Q/ym與拉深位置Rw/R0(法蘭外緣的相對位置)的關系曲線，由于拉深位置與拉深行程有一一對應關系，因此該曲線是理想壓邊力行程曲線的另一種表達形式。

5 結論

(1)在平面應變假設條件下，分析了軸對稱拉深成形起皺失穩(wěn)條件下的變形能，導出了計算式。

圖3 Q/ym與拉深位置的關系曲線(μ=0，n=0.18)

(2)用分部積分法、泰勒級數等數學方法簡化了變形能的計算式。新的計算式更簡明實用，與原積分形式表示的計算式非常接近。給出的算例表明，相對誤差小于0.8%。

(3)分析了起皺失穩(wěn)臨界壓邊力和理想壓邊力行程曲線的含義，并給出了算例。

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