周 勇 王國(guó)賢 曹小華

武漢理工大學(xué)，武漢，430063

0 引言

滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)是目前數(shù)控機(jī)床上應(yīng)用最廣泛的進(jìn)給驅(qū)動(dòng)設(shè)備，相對(duì)直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)，它具有成本低、易于控制、維護(hù)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。高速加工技術(shù)要求機(jī)床的進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)具有高速度和高加速度，然而，細(xì)長(zhǎng)的絲杠在高速、高加速度運(yùn)行過(guò)程中會(huì)引起扭轉(zhuǎn)、軸向和彎曲變形及振動(dòng)，這種變形和振動(dòng)會(huì)影響零件的加工質(zhì)量、加劇刀具磨損甚至導(dǎo)致控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定，也限制了機(jī)床進(jìn)給速度和加速度的進(jìn)一步提高。

在滾珠絲杠副驅(qū)動(dòng)中，滾珠絲杠的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是實(shí)現(xiàn)高帶寬和高定位精度的決定性影響因素之一［1-3］。由于滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一般采用半閉環(huán)控制，其位置和速度反饋是從電機(jī)碼盤(pán)或絲杠上安裝的角度編碼器獲取的，因此，轉(zhuǎn)子－絲杠系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)被包含在控制系統(tǒng)的位置、速度控制環(huán)中。此外，在實(shí)際機(jī)床的加工過(guò)程中，工作臺(tái)的位置是不斷變化的，而且被加工件往往有很高的金屬切除量，從而不可避免地會(huì)導(dǎo)致控制性能上的偏差，進(jìn)而影響到機(jī)床的加工精度。因此，有必要對(duì)滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行精確分析，充分考慮其動(dòng)力學(xué)行為對(duì)控制的影響，進(jìn)而對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行有效的補(bǔ)償。目前，對(duì)于滾珠絲杠扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)的研究通常采用有限元或集中參數(shù)等方法建立其動(dòng)力學(xué)模型［4-10］，但是由于滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性，僅僅依靠理論分析很難得到精確結(jié)果，還必須結(jié)合必要的實(shí)驗(yàn)研究。

在滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩難以精確測(cè)量，而且絲杠上也難以布置多個(gè)測(cè)點(diǎn)，因此，對(duì)其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)的測(cè)量很難采用常規(guī)的通過(guò)測(cè)量多點(diǎn)激勵(lì)－響應(yīng)的方式進(jìn)行。本文提出一種滾珠絲杠扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)測(cè)量與分析方法:在絲杠尾端安裝一個(gè)旋轉(zhuǎn)編碼器，測(cè)量電機(jī)碼盤(pán)和尾端旋轉(zhuǎn)編碼器的角加速度信號(hào)，對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行頻域分析，并結(jié)合滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算模型，獲得其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)。研究結(jié)果可為滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)分析及其高帶寬控制提供科學(xué)依據(jù)。

1 滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為本文所研究的滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)子－絲杠系統(tǒng)的示意圖。采用有限元方法，將轉(zhuǎn)子－絲杠系統(tǒng)劃分為若干個(gè)扭轉(zhuǎn)單元。由于聯(lián)軸器的剛度是非均勻分布的，故將聯(lián)軸器按輸入端和輸出端分開(kāi)，分別建立有限元單元，輸入端和輸出端之間的扭轉(zhuǎn)剛度采用聯(lián)軸器的標(biāo)稱(chēng)剛度。對(duì)于工作臺(tái)和螺母等移動(dòng)部件，忽略工作臺(tái)與滑軌之間的接觸剛度的影響，將其作為集中質(zhì)量來(lái)考慮，并按照動(dòng)能相等的原則，折算到絲杠軸上作為等效慣量。

圖1 轉(zhuǎn)子-絲杠扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)有限元-集中參數(shù)模型

對(duì)于均質(zhì)桿單元，利用形函數(shù)方法，可得到其單元慣量矩陣［7］:

式中，l為單元的長(zhǎng)度;jl為桿單元的單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;下標(biāo)i表示節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

桿單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

式中，G為桿單元的剪切彈性模量;Ip為桿單元的截面極慣性矩。

對(duì)于工作臺(tái)等直線運(yùn)動(dòng)部件，建立扭振動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，應(yīng)將它們的質(zhì)量換算成等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后把它們看作慣量元件。換算的原則是保持轉(zhuǎn)換前后動(dòng)能相等［11］，即

式中，ω為絲杠角速度;v為移動(dòng)部件速度;m為移動(dòng)部件質(zhì)量;JV為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在將等效慣量轉(zhuǎn)換到滾珠絲杠對(duì)應(yīng)單元上時(shí)，就將其視為絲杠上的一附加慣量元件。取絲杠導(dǎo)程為ξ，于是由幾何關(guān)系可得

將式(4)代入到式(3)后得移動(dòng)部件的等效慣量:

將各單元所作的分析結(jié)果進(jìn)行綜合，分別對(duì)單元慣量矩陣和單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行組集，可得到全系統(tǒng)整體慣量矩陣M和整體剛度矩陣K。

聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度采用集中剛度kct，對(duì)其組集的方法如下:取kct相鄰的兩個(gè)單元組成的子系統(tǒng)，如圖2所示，則子系統(tǒng)在t時(shí)刻的變形勢(shì)能為

式中，ui(t)=［ui(t)ui+1(t)］T，ui+j(t)(j=0，1，2，3)為單元節(jié)點(diǎn)的角位移。

圖2 考慮聯(lián)軸器集中剛度的單元子系統(tǒng)

取角位移列矢量u'i(t)=［ui(t)ui+1(t)ui+2(t)ui+3(t)］T，則式(6)可變?yōu)?/p>

以各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的角位移作為其動(dòng)力系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，記作qi，相應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力記為Qi，i=1，2，…，n(n為考慮系統(tǒng)邊界條件后的獨(dú)立變形節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù))。則由拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程可得到全系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:

對(duì)該動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，即可得到滾珠絲杠副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的各階模態(tài)固有頻率和振型。但是，由于滾珠絲杠上開(kāi)有螺旋槽，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的計(jì)算不能簡(jiǎn)單按照直圓軸處理，只能確定它們的取值在一定的范圍之內(nèi)，因而根據(jù)該方程通過(guò)仿真進(jìn)行求解，需要結(jié)合實(shí)驗(yàn)對(duì)其參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。當(dāng)采用一組取值合理的參數(shù)組合，經(jīng)過(guò)模擬試算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合時(shí)，模擬計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果皆有效。

2 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)測(cè)量裝置及方法

本文測(cè)量裝置如圖3所示，主要包括滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(含數(shù)控裝置、伺服驅(qū)動(dòng)器、伺服電機(jī)、聯(lián)軸器、滾珠絲杠、螺母、工作臺(tái)等)、旋轉(zhuǎn)編碼器、計(jì)數(shù)卡以及計(jì)算機(jī)等。通過(guò)計(jì)數(shù)卡可實(shí)時(shí)測(cè)量安裝在絲杠尾端的旋轉(zhuǎn)編碼器信號(hào)和伺服電機(jī)碼盤(pán)信號(hào)。旋轉(zhuǎn)編碼器為德國(guó)Heidenhain公司制造的ERN120系列，其物理分辨率為5000脈沖每轉(zhuǎn)，經(jīng)4倍頻后可達(dá)到20 000脈沖每轉(zhuǎn)。伺服電機(jī)碼盤(pán)的分辨率為6000脈沖每轉(zhuǎn)，經(jīng)4倍頻后可達(dá)到24 000脈沖每轉(zhuǎn)。計(jì)數(shù)卡為阿爾泰科技制造的PCI2394型4軸正交編碼器和計(jì)數(shù)器卡，通過(guò)PCI接口安裝在計(jì)算機(jī)內(nèi)，可同時(shí)測(cè)量4個(gè)通道的脈沖/方向信號(hào)。測(cè)量軟件基于實(shí)時(shí)Linux系統(tǒng)開(kāi)發(fā)，計(jì)數(shù)采樣頻率可達(dá)到10kHz。

圖3 測(cè)量裝置示意圖

測(cè)量時(shí)，首先打開(kāi)測(cè)量軟件，設(shè)置采樣周期、鎖存數(shù)據(jù)頻率、計(jì)數(shù)通道的個(gè)數(shù)等;然后進(jìn)入測(cè)量等待狀態(tài)，數(shù)控系統(tǒng)指令工作臺(tái)按照一定的位置、速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，電機(jī)碼盤(pán)和旋轉(zhuǎn)編碼器隨電機(jī)轉(zhuǎn)子－絲杠系統(tǒng)一起旋轉(zhuǎn)，計(jì)數(shù)卡的計(jì)數(shù)器模塊被觸發(fā)并開(kāi)始按照設(shè)定的采樣周期對(duì)碼盤(pán)和旋轉(zhuǎn)編碼器脈沖信號(hào)進(jìn)行計(jì)數(shù)，當(dāng)程序計(jì)數(shù)完成后將自動(dòng)停止計(jì)數(shù)(在采樣周期低的時(shí)候可以通過(guò)鍵盤(pán)輸入中止程序);最后執(zhí)行保存數(shù)據(jù)操作，即將測(cè)量數(shù)據(jù)保存至計(jì)算機(jī)，所測(cè)得的數(shù)據(jù)為一定時(shí)間間隔的脈沖個(gè)數(shù)，根據(jù)碼盤(pán)或旋轉(zhuǎn)編碼器的分辨率可得到實(shí)際的轉(zhuǎn)角值，由于是按照一定的采樣周期計(jì)數(shù)，故角速度和角加速度可通過(guò)差分運(yùn)算得到。

絲杠的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是在絲杠大位移旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中同時(shí)發(fā)生的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，對(duì)于測(cè)量信號(hào)，需要消除絲杠大位移運(yùn)動(dòng)的影響。可截取工作臺(tái)勻速運(yùn)動(dòng)段的角位移數(shù)據(jù)，并經(jīng)兩次差分運(yùn)算后得到角加速度信號(hào)，則該加速度信號(hào)包含扭轉(zhuǎn)振動(dòng)信號(hào)且理論上平均加速度為零。對(duì)不同測(cè)點(diǎn)信號(hào)作互功率譜分析，可反映兩個(gè)信號(hào)在頻域中所得兩種譜的共同成分及其相位差關(guān)系等。為抑制噪聲和測(cè)量誤差影響，可對(duì)同一測(cè)點(diǎn)取兩次測(cè)量信號(hào)作互功率譜分析，得到該測(cè)點(diǎn)振動(dòng)信號(hào)的頻域特征。

由于滾珠絲杠上難以布置多個(gè)測(cè)點(diǎn)，通過(guò)兩個(gè)測(cè)點(diǎn)僅能得到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率信息，而無(wú)法得到其振動(dòng)階次和振型，又考慮到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)一般不是密集模態(tài)，其各階頻率值相差較大，故可通過(guò)建立的滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型獲得其理論扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)固有頻率和振型，并根據(jù)測(cè)量結(jié)果對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，當(dāng)前幾階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致時(shí)，即可認(rèn)為所得到的理論模態(tài)與實(shí)際相符。

3 實(shí)例研究

本文所建立的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)見(jiàn)圖4，對(duì)其X軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行了測(cè)量與分析。該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)X軸主要計(jì)算參數(shù)如表1所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)照片

表1 X軸主要計(jì)算參數(shù)

讓X軸拖板處于絲杠中間位置，指令其作直線進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，取進(jìn)給位移為25mm，進(jìn)給速度為6000mm/min(100mm/s)，加 速 度 為 0.5g(5m/s2)。截取X軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度信號(hào)作頻域分析，圖5所示為電機(jī)碼盤(pán)信號(hào)與旋轉(zhuǎn)編碼器信號(hào)的互功率譜幅頻曲線，圖6所示為旋轉(zhuǎn)編碼器兩次測(cè)量信號(hào)的互功率譜幅頻曲線。從圖5和圖6可以看出，主要的振動(dòng)頻率為19Hz、54Hz、90Hz、352Hz和 700Hz。

圖5 電機(jī)碼盤(pán)信號(hào)與旋轉(zhuǎn)編碼器信號(hào)的互功率譜幅頻曲線

圖6 旋轉(zhuǎn)編碼器兩次測(cè)量信號(hào)的互功率譜幅頻曲線

利用MATLAB編制滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)數(shù)值計(jì)算程序，圖7和圖8分別為第1階和第2階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)固有頻率和振型圖(取電機(jī)自由端振幅為1)。結(jié)合實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果，可以判斷，352Hz為第1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率，700Hz為第2階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果誤差不超過(guò)1%，可以認(rèn)為理論計(jì)算模態(tài)振型符合實(shí)際。需要說(shuō)明的是，頻率19Hz、54Hz和90Hz可能與移動(dòng)部件的軸向振動(dòng)及工頻信號(hào)干擾相關(guān)，有待進(jìn)一步研究。

圖7 第1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)振型圖

圖8 第2階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)振型圖

4 應(yīng)用前景

本文提出的測(cè)量和分析方法可用于新產(chǎn)品試制過(guò)程中的滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)分析，實(shí)現(xiàn)滾珠絲杠副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，還可以直接用在進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制系統(tǒng)之中，構(gòu)建性能更優(yōu)的控制方式。如滾珠絲杠副進(jìn)給驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)會(huì)限制系統(tǒng)的控制帶寬并劣化機(jī)床的加工質(zhì)量，通常在伺服驅(qū)動(dòng)器速度環(huán)中利用陷波濾波器進(jìn)行補(bǔ)償(圖9)。利用本文提出的測(cè)量和分析方法，可準(zhǔn)確得到系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率及振型，為陷波濾波器的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整及補(bǔ)償效果的驗(yàn)證提供科學(xué)依據(jù)。

圖9 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的陷波濾波補(bǔ)償

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了滾珠絲杠副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)的測(cè)量和分析方法，對(duì)安裝在滾珠絲杠尾端的高分辨率旋轉(zhuǎn)編碼器信號(hào)和伺服電機(jī)碼盤(pán)信號(hào)進(jìn)行了測(cè)量和分析，并對(duì)所建立的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)子－絲杠系統(tǒng)有限元－集中參數(shù)模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，可精確得到系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)前兩階固有頻率和振型，克服了滾珠絲杠副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)難以精確測(cè)量和分析的困難。該方法可用于滾珠絲杠副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化、控制系統(tǒng)陷波濾波器的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整及補(bǔ)償效果的驗(yàn)證等。

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