王寶林

摘 要：歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者是由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，是由部分到整體、由特殊到一般的推理，它在數(shù)學(xué)結(jié)論及其證明思路的發(fā)現(xiàn)中、科學(xué)發(fā)明中都起著非常重要的作用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)題型；展示；歸納推理；思路

在高考中，經(jīng)常在一些填空題中涉及形形色色的歸納推理問題，下面結(jié)合近三年來的高考真題加以分類剖析.

一、不等式背景下的歸納推理

例1.（2012年高考陜西卷）觀察下列不等式：

1+■<■，

1+■+■<■，

1+■+■+■<■，

…

照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為__________.

分析：以不等式為背景，通過已知三個(gè)不等式左邊與右邊的規(guī)律性加以歸納分析.

解析：結(jié)合已知所給定的幾項(xiàng)的特點(diǎn)，可知不等式左邊共n+1項(xiàng)，且從1一直到（n+1）的平方的倒數(shù)之和，右邊只有一項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的分母為（n+1），分子為（2n+1），則由歸納推理可知第五個(gè)不等式的左邊的最后一項(xiàng)是■，右邊的分母是6，分子是11，

故填答案：1+■+■+■+■+■<■.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理及其應(yīng)用.歸納的前提是特殊的情況，歸納是立足于觀察或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的.通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同特征，從已知的相同特征中推出一個(gè)明確表述的規(guī)律.

二、函數(shù)背景下的歸納推理

例2.（2011年高考山東卷）設(shè)函數(shù)f（x）=■（x>0），觀察：

f1（x）=f（x）=■，

f2（x）=f[f1（x）]=■，

f3（x）=f[f2（x）]=■，

f4（x）=f[f3（x）]=■，

…

根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：

當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn（x）=f[fn-1（x）]=__________.

分析：以函數(shù)為背景，通過觀察函數(shù)式的分母中x的系數(shù)1，3，7，15，…，以及分母中的常數(shù)2，4，8，16，…，通過歸納，研究?jī)闪袛?shù)與n之間存在的關(guān)系分別為2n-1與2n，從而得出一般的表達(dá)式問題.

解析：觀察知：四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為x+2，3x+4，7x+8，15x+16，

即（21-1）x+21，（22-1）x+22，（23-1）x+23，（24-1）x+24，

所以歸納出分母為fn（x）=f[fn-1（x）]的分母為（2n-1）x+2n，

則當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn（x）=f[fn-1（x）]=■，

故填答案：■.

點(diǎn)評(píng)：主要通過直觀函數(shù)表達(dá)式與數(shù)列的關(guān)系，考查數(shù)列性質(zhì)、歸納能力、探究性能力和創(chuàng)新意識(shí)，綜合推理與歸納，數(shù)列與函數(shù)等綜合問題.求解關(guān)鍵是如何根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判斷其變化

規(guī)律.

三、數(shù)列背景下的歸納推理

例3.（2013年高考湖北卷）古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯研究

過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為■=■n2+■n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

三角形數(shù) N（n，3）=■n2+■n，

正方形數(shù) N（n，4）=n2，

五邊形數(shù) N（n，5）=■n2-■n，

六邊形數(shù) N（n，6）=2n2-n，

…

可以推測(cè)N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，24）=_________.

分析：以數(shù)列為背景，利用已知三到六邊形數(shù)的等式中n2的系數(shù)與n的系數(shù)的數(shù)列排列特征加以歸納，得到一般性的結(jié)論.

解析：由題目知：

三角形數(shù) N（n，3）=■n2+■n=■n2+■n，

正方形數(shù) N（n，4）=n2 =■n2+■n，

五邊形數(shù) N（n，5）=■n2-■n=■n2+■n，

六邊形數(shù) N（n，6）=2n2-n =■n2+■n，

…

觀察每個(gè)等式，等式中n2的系數(shù)分母均為2，分子從1開始每次遞增1；而n的系數(shù)分母均為2，分子從1開始每次遞減1.

于是根據(jù)規(guī)律，可以推測(cè)：N（n，k）=■n2+■n，

所以N（10，24）=■×102+■×10，故填答案：1000.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理及其應(yīng)用.在歸納推理過程中，關(guān)鍵是要有敏銳的觀察力.通過變形，找出前幾項(xiàng)的表達(dá)式與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，從而推出一般形式下的表達(dá)式.對(duì)于一般表達(dá)式，還要代入題目條件進(jìn)行驗(yàn)證，以免出錯(cuò).

在新課標(biāo)高考中，歸納推理的考查背景越來越豐富多彩，往往還可以涉及三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)表等，是高考中的一大亮點(diǎn)，也是知識(shí)交匯與能力綜合的一大戰(zhàn)場(chǎng)，關(guān)鍵是歸納能力、探究性能力和創(chuàng)新意識(shí)等的應(yīng)用，通過題目條件歸納出實(shí)質(zhì)性的內(nèi)容，并利用歸納的結(jié)果加以分析與解決問題.

參考文獻(xiàn)：

周雪麗.2011年高考數(shù)學(xué)客觀題中的創(chuàng)新題型賞析[J].中學(xué)教學(xué)雜志，2011（19）.

（作者單位 陜西榆林教研室）