李紀強,周斌,丁益民,2

(1.湖北大學物理學與電子技術(shù)學院,湖北 武漢 430062; 2.中國科學院理論物理研究所,理論物理國家重點實驗室,北京 100190)

0 引言

單擺是物理學中一個很常見的模型,吸引了許多學者對其進行研究[1-6].伽利略最早發(fā)現(xiàn)了單擺振動的等時性,并用實驗證明單擺的周期隨擺長的二次方根變化.惠更斯第一次用單擺制作了擺鐘,并從擺鐘在南美洲比在巴黎每天慢2.5 min而推斷這是由于地球自轉(zhuǎn)引起的引力減弱導致的.牛頓用單擺證明了物體的重量總是與質(zhì)量成正比.現(xiàn)在天文學中也常用單擺測量星體表面的重力加速度[7].由于單擺方程沒有嚴格的解析解,在計算機誕生前,大多數(shù)討論只限于小初始擺角的情況,對大角擺動僅用相圖做了粗略的解釋.本文中利用MATLAB軟件嚴格求解單擺方程從而研究其混沌現(xiàn)象[8-11],通過數(shù)值分析的方法避免了其運動方程無嚴格解析解的問題.在對其現(xiàn)象進行模擬的同時,形象直觀地呈現(xiàn)了單擺的周期、運動形式的演化與其參數(shù)的重要聯(lián)系.基于單擺系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性,本文中在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上給出一種新的衡量混沌系統(tǒng)敏感性的量化指標——敏感系數(shù),對研究非線性力學系統(tǒng)參數(shù)對運動形式演化的影響具有參考價值.

1 無阻尼的單擺

無驅(qū)動力、無阻尼的單擺的運動可由的方程(1)描述,其中θ為鉛直方向與擺線的夾角,m為擺球質(zhì)量,L為擺長,g為重力加速度.

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整理得

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數(shù)學理論表明,方程(2)沒有嚴格的解析解,一般的情況下,sinθ≈θ的近似不成立.利用數(shù)值分析中的龍格庫塔法[12-13]可以求出方程(2)的數(shù)值解,參數(shù)取值為g=10 m/s2,L=1 m,m=1 kg.單擺的周期性運動的圖像如圖1所示.可以看出,與小角度擺動不同的是,初始擺角影響單擺的周期,且初始擺角越大,周期越長,當初始擺角為π時,單擺的周期趨于無窮大,即系統(tǒng)出現(xiàn)了相變現(xiàn)象.

圖1 不同初始擺角條件下單擺的運動圖像

圖2 周期比隨初始擺角的變化

(3)

(4)

周期比隨時間的變化如圖2所示,可以看出初始擺角為π時,單擺的周期趨于無窮大,這與前面的結(jié)論吻合.

對混沌理論的研究中,用的比較多的是相圖[15].對于單擺,由機械能守恒定律得

(5)

(6)

圖3 1周期的相圖

對于遠離臨界值的能量初值E,而后的運動是完全確定的,運動能夠預(yù)測和重復,即能量初值“相同”則運動可以“重現(xiàn)”.當然,這里的“相同”指誤差可以忽略不計,這類運動通常稱為“規(guī)則運動”,對“規(guī)則運動”的研究確立了對牛頓力學“確定性”的認識.對于能量初值在臨界值附近波動的運動,可能呈現(xiàn)出大為不同的情況.從相圖上可以看出,如果能量初值略小于臨界值,則運動遵從相圖中閉合曲線的規(guī)律運動;而能量初值略大于臨界值時,運動對應(yīng)的相圖中的曲線是非閉合的.在臨界值附近一個微小的擾動能夠造成結(jié)果的巨大差別.若δ是一個十分小的量以至于測量儀器測不出來,那么對能量E=2mgL+δ的初值都將認為是E=2mgL的初值,這時實驗中將會觀察到,對應(yīng)“相同”的能量初值隨著時間的變化有時演化成往復擺動,有時候演化成單向轉(zhuǎn)動,運動出現(xiàn)了不可預(yù)測的“隨機性”,單擺的這種“隨機行為”稱為混沌行為.

2 有阻尼的單擺

假設(shè)阻力與速度成正比,阻尼系數(shù)為γ,單擺的運動方程可寫為：

圖4 單擺在(a)負阻尼,γ=-0.2 s-1;(b)無阻尼,γ=0;(c)阻尼,γ=0.2 s-1情況下的相圖

(7)

可以分別畫出單擺在負阻尼(γ=-0.2s-1)、無阻尼(γ=0)、阻尼(γ=0.2s-1)情況下的相圖,此處初始擺角設(shè)定為θ0=π/8,如圖4所示.可以看出,在負阻尼的狀態(tài)下,系統(tǒng)的能量增加,單擺遠離最初的平衡位置,又稱“排斥子”.在無阻尼狀態(tài)下,小角度單擺相軌跡是閉合的,單擺的狀態(tài)可以確定.在阻尼狀態(tài)下,由于能量的耗散,單擺的振幅越來越小,最后靜止在平衡位置上,它的相軌跡為一條內(nèi)旋的對數(shù)螺旋線,螺旋線中心是穩(wěn)定的焦點,又稱為“吸引子”[16-19].進一步研究可發(fā)現(xiàn):混沌吸引子的圖形雖然復雜,但它的結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性,一般隨著時間的增長,其軌線是不會重疊的,它是混沌系統(tǒng)中無序穩(wěn)態(tài)的運動形態(tài).具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)是混沌吸引子最典型的特征,如果取出吸引子中的一小部分進行放大,它將具有和原來吸引子相同的內(nèi)部結(jié)構(gòu);若繼續(xù)在其取出的一小部分中再取出一小部分繼續(xù)放大,則它依然具有與原吸引子相同的內(nèi)部結(jié)構(gòu),如此循環(huán),以至無窮[20].

3 敏感性分析

混沌系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴是混沌現(xiàn)象的特征之一,本文中對混沌現(xiàn)象中初始條件變化時產(chǎn)生的差異進行分析.以無阻尼單擺為例,固定參數(shù)為g=10 m/s2,L=1 m,m=1 kg.改變初始擺角,比較同一時間點單擺運動的θ值的差異.小角度情況下,方程(2)有較好的線性特征,結(jié)果有較好的預(yù)測性.在臨界值θ0=π附近,初始條件較小的波動隨時間的增加而被“放大”,結(jié)果差異很大,如圖5所示.這種結(jié)果的波動作為將來時間的“初始條件”進一步被“放大”,所謂“差之毫厘,謬以千里”.為了描述單擺混沌現(xiàn)象對初始條件的敏感性,在參考他人的工作的基礎(chǔ)上[21-22],本文中給出了一個量化的敏感性評價指標——敏感系數(shù)S.

圖5 初始條件在臨界值附近(0.97π<θ0<1.03π)時的單擺運動

圖6 無阻尼單擺的敏感系數(shù)隨初始擺角和擺長的變化

圖7 無阻尼單擺的不同擺長條件下敏感系數(shù)隨初始擺角的變化

圖8 有阻尼單擺的敏感系數(shù)隨初始擺角和阻尼系數(shù)的變化

4 結(jié)論

通過高精度的數(shù)值計算,嚴格求解無阻尼單擺和有阻尼單擺的運動方程,研究了單擺擺長、阻尼系數(shù)和初始擺角對單擺運動的影響.研究結(jié)果表明:單擺的周期與初始擺角有關(guān);單擺在大角擺動時,系統(tǒng)的演化情況強烈依賴初始條件,不具有小角擺動的“可預(yù)測性”,它呈現(xiàn)出混沌行為.究其原因,大角擺動的運動方程不是一個線性微分方程,它的解不具有穩(wěn)定性.通過計算敏感系數(shù),發(fā)現(xiàn)初始擺角、單擺擺長、阻尼系數(shù)均能影響混沌系統(tǒng)的敏感性.

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