王素

(南通大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南通 226007)

如何構(gòu)造給定參數(shù)的區(qū)組設(shè)計(jì)是組合學(xué)家關(guān)注的研究課題,而利用區(qū)組設(shè)計(jì)的自同構(gòu)群來(lái)構(gòu)造區(qū)組設(shè)計(jì)是一個(gè)行之有效的方法.目前對(duì)于大t設(shè)計(jì)的例子很少.直到現(xiàn)在,所有已知的t≥6的t-(v,k,λ)設(shè)計(jì)都有λ≥4.另一方面,Cameron P.J.和 Praeger C.E.證明了不存在單的旗傳遞7-(v,k,λ)設(shè)計(jì)[1],作為這個(gè)工作的繼續(xù),本文中主要考慮旗傳遞6-(v,k,λ)設(shè)計(jì),證明當(dāng)λ≤20時(shí)不存在旗傳遞6-(v,k,λ)設(shè)計(jì).即得到下面定理.

主要定理：設(shè)D=(X,Β)是一個(gè)非平凡的和單的6-(v,k,λ)設(shè)計(jì),并且G≤Aut(D).如果G是旗傳遞的,則λ>20.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1.1[2]設(shè)D=(X,B)是一個(gè)非平凡的t-(v,k,λ)設(shè)計(jì),則下面結(jié)論成立：

引理1.2[2]設(shè)D=(X,B)是一個(gè)非平凡的t-(v,k,λ)設(shè)計(jì),那么對(duì)于任意的1≤s≤t,D也是一個(gè)s-(v,k,λs)設(shè)計(jì),其中

引理1.3[2]設(shè)D=(X,B)是一個(gè)非平凡的t-(v,k,λ)設(shè)計(jì),則有：

引理1.4[2](Fisher不等式) 如果D是一個(gè)有b個(gè)區(qū)組的2-(v,k,λ)設(shè)計(jì),則b≥v.

引理1.5[3]D=(X,B)是一個(gè)t-(v,k,λ)設(shè)計(jì)且t是偶數(shù),設(shè)t=2s,當(dāng)v≥k+s,則有

引理1.6[3]D=(X,B)是一個(gè)t-(v,k,λ)設(shè)計(jì)且t是奇數(shù),設(shè)t=2s+1,當(dāng)v-1≥k+s則有不等式：

引理1.7[4]如果D=(X,B)是一個(gè)非平凡的t-(v,k,λ)設(shè)計(jì),那么v>k+t.

引理1.8[5]設(shè)D=(X,B)是一個(gè)t-(v,k,λ)設(shè)計(jì),那么以下關(guān)系成立：

λ(v-t+1)≥(k-t+1)(k-t+2),t≥2.

引理1.9[6]設(shè)D=(X,Β)是一個(gè)非平凡的和單的6-(v,k,λ)設(shè)計(jì),并且G≤Aut(D)是旗傳遞的.則G=AGL(d,2)和v=2d≥8.

2 主要定理的證明

設(shè)D=(X,Β)是一個(gè)非平凡和單的6-(v,k,λ)設(shè)計(jì)并且λ≤20,G≤Aut(D)旗傳遞作用在D上,由上述給出的引理1.9,G=AGL(d,2)并且v=2d≥8.又由引理1.7,6

設(shè)ei表示向量空間V=V(d,2)的標(biāo)準(zhǔn)基的第i個(gè)向量,表示由ei生成的1-維向量子空間.令Φ=表示由e1,e2,e3生成的3-維向量子空間.因此SL(d,2)Φ在V(d,2)Φ上是傳遞的.

設(shè)Ψ={0,e1,e2,e3,e1+e2,e2+e3},由t-定義的每t個(gè)點(diǎn)恰好含于λ個(gè)區(qū)組中,對(duì)于這里特殊的t=6同樣滿足在λ個(gè)區(qū)組中,設(shè)為B1,B2,…,Bλ.因此我們可以得到Ψ?B1∩B2∩…∩Bλ.

如果B1包含一個(gè)向量α∈V(d,2)Φ,則有αSL(d,2)Φ=V(d,2)Φ,這是由SL(d,2)Φ在V(d,2)Φ上的傳遞性得到的.由這樣的關(guān)系我們還可以得到,Ψ∪V(d,2)Φ?B1SL(d,2)Φ?B1∪B2∪…∪Bλ.

因此有6+2d-8≤λ(k-6)+6即2d-8≤λ(k-6),這就推出v≤λ(k-6)+8,由引理1.8對(duì)t=6時(shí)滿足λ(v-5)≥(k-4)(k-5),這兩個(gè)關(guān)系聯(lián)立即得

k2-(9+λ2)k+6λ2-3λ+20≤0

(1)

由文獻(xiàn)[5],我們可以設(shè)λ≥6.下面我們對(duì)6≤λ≤20的情況進(jìn)行討論.

當(dāng)d=5時(shí),v=25=32,根據(jù)引理1.7我們得到k

當(dāng)d=8時(shí),由2d-8≤λ(k-6)即有k≥248/λ+6,那么就得到了k≥47.3,得到矛盾.因此λ=6的情況被排除.

對(duì)于s=0,1,2,3,4,5都成立.

通過(guò)計(jì)算我們得到d=8,k=46時(shí)b=275 411.494不是一個(gè)整數(shù),這與組合設(shè)計(jì)的定義矛盾,因此這種情況被排除.

當(dāng)d=8,k=47時(shí),由引理1.8得知,7(256-5)<(47-4)(47-5),這是不可能的.

如果λ=8,利用以上的方法,我們找到滿足整除關(guān)系的d,k有d=5,k的一些取值,但上述我們提到過(guò)這類值可以直接排除,所以之后的討論滿足整除關(guān)系的d=5情況就不一一列出了.除了這種情況以外還有d=6,k=61,62,63,64和d=8,k=23,24,25,46,47.

當(dāng)d=6時(shí),由引理1.8,k

當(dāng)d=8時(shí),利用不等式k≥248/λ+6,得到k≥37所以現(xiàn)在又只剩下k=46,47的情況,利用計(jì)算機(jī)計(jì)算分別得到b=314 755.99,b=274 574.377,都不為整數(shù),這與引理1.3矛盾.

當(dāng)λ=9,10,11時(shí),滿足整除關(guān)系d=5,6可以直接排除,d=8的情況,先利用不等式k≥248/λ+6排除了部分取值,現(xiàn)在都只剩下k=46,47,69,對(duì)于k=46,47的情況b的值不是整數(shù),而k=69與引理1.8矛盾.

當(dāng)λ=12時(shí),滿足整除關(guān)系的除了d=5,6還有d=7,k=125,126,127,128,利用引理1.7有k

當(dāng)λ=13,14,15,16時(shí),由以上結(jié)論我們只需考慮d=8的情況.λ=13,14時(shí)利用不等式排除分別有k=46,47和k=24,25,46,47,但對(duì)λ>14這個(gè)不等式對(duì)我們排除k的取值就沒(méi)有影響了.λ=15,16時(shí),利用整除關(guān)系并且除了k≥69以外還有k=23,24,25,46,47.這些取值我們?cè)俚玫絙都不是整數(shù),因此與引理1.3矛盾.

當(dāng)λ=17,18,19,20時(shí),我們?nèi)匀恢灰紤]d=8的情況,但現(xiàn)在不同的是我們注意到當(dāng)k=187或者更大時(shí),對(duì)于λ≤132都與引理1.8產(chǎn)生矛盾.所以對(duì)λ為這幾個(gè)取值的情況,除了利用這種方法排除的還剩下k=23,24,25,46,47,69,得到λs(s=0,1,2,3,4,5)總有不為整數(shù)的,這與引理1.3矛盾.

綜上所述,若D=(X,Β)是一個(gè)非平凡的和單的6-(v,k,λ)設(shè)計(jì),并且G≤Aut(D).如果G是旗傳遞的,則λ>20.

[1] Cameron P J, Praeger C E. Block-transitivet-designs,II:larget[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1993,103-119.

[2] 沈?yàn)?組合設(shè)計(jì)理論[M].上海:上海交通大學(xué)出版社,1996.

[3] Ray-Chaudhuri D K, Wilson R M.Ont-designs[J] . Osaka J Math,1975,12:737-744.

[4] Beth T, Jungnickel D, Lenz H.Design theory[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1993.

[5] Xu X, Liu W. On flag-transitive 6-(v,k,λ)designs with λ≤5[J]. Ars Combin,2010,97:507-510.