胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029

平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)是考察一個(gè)試驗(yàn)因素和一個(gè)區(qū)組因素對定量觀測結(jié)果影響的一個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，此設(shè)計(jì)方法是隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)方法改良后的產(chǎn)物。本文將介紹該設(shè)計(jì)類型的要點(diǎn)、定量資料一元方差分析的模型和計(jì)算公式，以及基于SAS軟件實(shí)現(xiàn)定量資料一元方差分析的方法。

1 平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的要點(diǎn)

在擬采用隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)的試驗(yàn)研究場合中，若試驗(yàn)因素的水平數(shù)大于每個(gè)區(qū)組內(nèi)可以容納的受試對象（或觀察單位）個(gè)數(shù)時(shí)，需要改用平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)［1-2］。

平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的具體實(shí)施方法：基于定量觀測指標(biāo)，依據(jù)研究目的和專業(yè)知識，確定試驗(yàn)因素及其水平，并找出對定量觀測指標(biāo)影響最明顯且來自受試對象的一個(gè)屬性變量（也叫區(qū)組因素），將屬性變量取值（即水平）相同的受試對象劃分為一個(gè)大組；設(shè)試驗(yàn)因素有v個(gè)水平，區(qū)組因素有b個(gè)水平，每個(gè)區(qū)組內(nèi)有k個(gè)受試對象，試驗(yàn)因素的每個(gè)水平重復(fù)出現(xiàn)r次。先從依據(jù)研究目的確定的具有同質(zhì)性的總體中隨機(jī)抽取b組受試對象，并要求下面兩式成立：

在式（2）中，λ為每兩種處理在不同區(qū)組中重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)。

【例1】用四種藥物治療腳氣，6名受試者為兩腳都患腳氣的患者，每只腳接受一種藥物治療，觀察指標(biāo)為治療效果評分（數(shù)值越大，療效越好）。設(shè)計(jì)格式和資料見表 1［3］。

表1 四種藥物治療腳氣的評分

【試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型的辨析】本例中，v=4（藥物有4種）、k=2（每位患者形成一個(gè)區(qū)組，每人有兩只腳），r=3（每種藥物被重復(fù)使用的次數(shù)），b=6（區(qū)組個(gè)數(shù)，即本例中的患者人數(shù)），滿足rv=kb，即3×4=2×6；同時(shí)滿足λ=r（k-1）/（v-1）=3（2-1）/（4-1）=1，λ為整數(shù)。故本例為平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)。受試對象是6名患腳氣的患者，試驗(yàn)因素是“治療藥物”，區(qū)組因素為每位患者（即個(gè)體差異），定量的觀測指標(biāo)為“療效評分”。

2 平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析

2.1 方差分析的模型

假定試驗(yàn)因素A與區(qū)組因素B之間的交互作用不存在或可以忽略不計(jì)。于是，它們之間各水平組合條件下可以不做重復(fù)試驗(yàn)；又假定試驗(yàn)因素A和區(qū)組因素B分別有v和b個(gè)水平。平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)一元定量資料的方差分析模型［1］見式（3）：

在式（3）中，Yij為兩因素A、B的（i，j）水平組合下定量觀測結(jié)果，μ為全部條件下定量觀測結(jié)果的總體平均值，τi為試驗(yàn)因素A的第i個(gè)水平的效應(yīng)，θh為區(qū)組因素B的第h個(gè)水平的效應(yīng)。關(guān)于式（3）中各參數(shù)的最小二乘估計(jì)量，見文獻(xiàn)［1］。

為檢驗(yàn)一切μij是否相等，可改為檢驗(yàn)以下兩個(gè)假設(shè)。檢驗(yàn)試驗(yàn)因素A的無效假設(shè)與備擇假設(shè)分別見式（4）、式（5）。

檢驗(yàn)區(qū)組因素B的無效假設(shè)與備擇假設(shè)分別見式（6）、式（7）。

2.2 方差分析的公式

平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)定量資料方差分析公式見表 2［1］。

表2 平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)兩因素每種水平組合下進(jìn)行一次試驗(yàn)的方差分析表

在表2中，5個(gè)離均差平方和以及FA的計(jì)算公式見下面各式：

在上述各式中，有關(guān)符號的含義如下：

其中，Ti是第i個(gè)試驗(yàn)組中全部觀測值之和，Bh是第h個(gè)區(qū)組中全部觀測值之和，位于第h個(gè)區(qū)組且試驗(yàn)因素取第i個(gè)水平時(shí)，nhi=1，否則，nhi=0；G代表所有觀測數(shù)據(jù)的總和。

3 平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)一元定量資料的實(shí)例與SAS實(shí)現(xiàn)

3.1 實(shí)例與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

【例2】某研究者為研究X線照射對血漿皮質(zhì)酮的影響，以108只大白鼠為受試對象，將它們按性別、體重等分成12個(gè)區(qū)組，每個(gè)區(qū)組內(nèi)的9只大白鼠性別相同且體重最接近，它們被隨機(jī)均分成3個(gè)試驗(yàn)單位，每個(gè)試驗(yàn)單位包含3只大白鼠。設(shè)一個(gè)對照組，記為a；另設(shè)8個(gè)試驗(yàn)組，分別記為b、c、d、e、f、g、h、i?？偣?種處理，每種處理重復(fù)4次。給予試驗(yàn)組中每只大白鼠500 R X線照射，對照組大白鼠不接受照射。試驗(yàn)因素為照射后觀測結(jié)果的時(shí)間，對照組大白鼠的觀測時(shí)間為0，而8個(gè)試驗(yàn)組的觀測時(shí)間分別為1、5、12小時(shí)及1、3、7、10、14天，在這8個(gè)時(shí)間點(diǎn)取血樣測定。每個(gè)觀測時(shí)間點(diǎn)上觀測每個(gè)區(qū)組中的一個(gè)試驗(yàn)單位（即3只大白鼠），觀測結(jié)果變量Y為每個(gè)試驗(yàn)單位3只大白鼠皮質(zhì)酮含量（μg/100 mL）（簡稱“含量”）之和。數(shù)據(jù)格式見表 3［4］。

表3 大白鼠受500 R X照射后不同時(shí)間的血漿皮質(zhì)酮含量（μg/100 mL）

【試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型的辨析】因v=9（試驗(yàn)因素的水平數(shù)），b=12（區(qū)組因素的水平數(shù)），k=3（每個(gè)區(qū)組內(nèi)能容納的受試對象數(shù)，本例中為試驗(yàn)單位數(shù)），r=4（每種處理重復(fù)次數(shù)），滿足以下兩個(gè)關(guān)系式：rv=kb=4×9=3×12=36；λ=r（k-1）/（v-1）=4（3-1）/（9-1）=8/8=1（λ必須為整數(shù)，代表每兩種處理同時(shí)出現(xiàn)的區(qū)組個(gè)數(shù)）。

由此可知，本例的試驗(yàn)設(shè)計(jì)類型為“平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)”。

3.2 用SAS實(shí)現(xiàn)方差分析

3.2.1 對例1的分析與解答

【分析與解答】設(shè)例1資料所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上第一部分是關(guān)于總模型的方差分析結(jié)果，總模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=21.96，P=0.013 9）。

以上第二部分結(jié)果表明：治療方法（treat）對定量觀測指標(biāo)的影響有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=17.67，P=0.020 7），說明不同治療方法的療效是不同的；受試者（block）對定量觀測指標(biāo)的影響無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=6.87，P=0.071 8），說明不同患者的療效之間的差別不明顯。

由圖1可看出：方法d的療效最好，它與其他三種方法的療效差異均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P均＜0.05）；方法c的療效優(yōu)于方法b，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）；方法a與方法b的療效差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，方法a與方法c的療效差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P均＞0.05）。

圖1 基于TUKEY法對4個(gè)均值進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果（平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)）

值得一提的是，由于受試者對結(jié)果的影響沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，故可以采用單因素4水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析處理該定量資料。其對應(yīng)的SAS過程步程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上結(jié)果表明：治療方法（treat）對定量觀測指標(biāo)的影響具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=10.10，P=0.004 3），說明不同治療方法的療效是不同的。

由圖2可以看出：方法d與方法a和方法b的療效差異均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P均＜0.05）；但方法d與方法c的療效差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。相對來說，方法d的療效比較好，方法c的療效尚可，方法b和方法a的療效最差。

圖2 基于TUKEY法對4個(gè)均值進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果（單因素4水平設(shè)計(jì)）

3.2.2 對例2的分析與解答

【分析與解答】設(shè)例2資料所需要SAS程序如下：

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上第一部分是關(guān)于總模型的方差分析結(jié)果，總模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（F=7.62，P＜0.000 1）。

以上第二部分結(jié)果表明：試驗(yàn)因素（treat）和區(qū)組因素（block）對定量觀測指標(biāo)的影響均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，對應(yīng)的F值和P值分別為：試驗(yàn)因素（F=11.30，P＜0.000 1）、區(qū)組因素（F=4.04，P=0.005 9），說明考慮并設(shè)置了區(qū)組因素是有價(jià)值的。

從圖3可看出，b、c、d三組的均值比較大，而其他六組的均值較接近。

圖3 9個(gè)處理組觀測結(jié)果變量的箱圖

大白鼠接受500 R X線照射，血漿皮質(zhì)酮含量均值迅速上升，從未照射時(shí)的63.950（對照組a）迅速上升到照射后1小時(shí)的117.950（試驗(yàn)組b），進(jìn)而繼續(xù)攀升到照射后5小時(shí)的128.800（試驗(yàn)組c），在此后的一段時(shí)間內(nèi)是否繼續(xù)上升不得而知（因?yàn)闆]有設(shè)置觀測點(diǎn)），但到照射后12小時(shí)，均值已下降到105.525，隨后緩慢下降并趨于平穩(wěn)狀態(tài)，到照射后第10天、14天，均值分別為51.025和51.725。

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

分別采用平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)和單因素4水平設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析處理例1中的定量資料，得到的結(jié)果略有差別，這是由于設(shè)計(jì)類型的改變直接導(dǎo)致模型誤差均方的改變。誤差均方可能變大也可能變小，但誤差項(xiàng)的自由度肯定會增大，這也就意味著計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性增大了。一般來說，當(dāng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)多因素設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的結(jié)果中存在多項(xiàng)無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的項(xiàng)時(shí)，從方差分析的模型中刪除它們，本質(zhì)上就是將它們的離均差平方和與原先模型的誤差項(xiàng)的離均差平方和進(jìn)行合并。當(dāng)然，它們所對應(yīng)的自由度也應(yīng)與原先模型誤差項(xiàng)的自由度進(jìn)行合并。因此，合并后誤差均方與原先模型的誤差均方相比較，其數(shù)值可能變大也可能變小，但從理論上來講，由于誤差項(xiàng)的自由度增大了，合并后的方差分析模型與定量資料的吻合程度更高，結(jié)果更穩(wěn)定，結(jié)論更可信。

從試驗(yàn)設(shè)計(jì)角度考量，本文例2在試驗(yàn)設(shè)計(jì)上可能存在值得商榷之處。因?yàn)樘幚硪蛩赜?個(gè)水平，而每個(gè)區(qū)組內(nèi)也正好有9只大白鼠。這表明，每個(gè)區(qū)組內(nèi)所能容納的受試者數(shù)目恰好等于處理因素的水平數(shù)，可以采用“隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)”，而沒有必要選擇“平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)”。因?yàn)楹笳吲c前者相比，不僅增添了試驗(yàn)設(shè)計(jì)上的復(fù)雜度，而且統(tǒng)計(jì)分析也更復(fù)雜（特別是在缺乏統(tǒng)計(jì)軟件的條件下），還可能降低結(jié)果的精確度（因?yàn)槭遣煌耆珔^(qū)組）。只有在客觀條件（如例1）不允許的情況下，才考慮采用平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)。

4.2 小結(jié)

本文介紹了平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)的要點(diǎn)，介紹了該設(shè)計(jì)定量資料一元方差分析的模型和方差分析公式，基于SAS軟件對兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行了詳細(xì)分析，并對多個(gè)均值進(jìn)行了兩種類型的多重比較，即兩兩比較和各試驗(yàn)組均值分別與同一個(gè)對照組均值之間的比較［5-6］。在討論中，還闡釋了隨機(jī)完全區(qū)組設(shè)計(jì)與平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)之間的異同點(diǎn)。