張興坊，劉超，張健

(棗莊學(xué)院 光電工程學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

電偶極子是空間中兩個相距很近的等量異號點電荷所組成的帶電體系，是電磁場理論中的一個理想物理模型，在電介質(zhì)極化、天線輻射等方面有著重要應(yīng)用. 文獻中處理電偶極子空間場強問題時，大多僅計算電偶極軸線延長線或中垂線等特殊方向的電場［1］，對于一般方向的場強計算，需將正負點電荷激發(fā)的空間場強矢量分解合成后，才得到形式復(fù)雜的場解，但結(jié)果有時不易理解.為此，文獻中常考慮電偶極子的遠場解，通過簡化，形象直觀的展現(xiàn)電偶極子場強的空間分布形式，定性的突出電偶極子的物理概念. 但是，文獻中的“遠場”概念僅指出是遠離電偶極子區(qū)域的場，并沒有對“遠”給予定量的解釋，而且簡化過程中的高階小量對實際場的影響程度也較少分析. 本文利用二項式定理對電偶極子空間場強解析解多極展開，分別就展開式中的各次項以及遠場解等與空間實際場強的區(qū)別進行討論，并比較了在空間不同角度的場強誤差程度.

1 理論模型

電偶極子的理論模型如圖1 所示.電偶極子中兩個點電荷間的距離為d，坐標原點O置于電荷連線中心處，電偶極軸與z軸重合，P為空間中任意一點，到原點、正負電荷的距離分別為r、r1和r2，θ 為OP與z軸間的夾角，代表了場點在空間中的不同方位.

圖1 電偶極子理論模型Fig.1 The theorerical model of electric dipole

空間中場點P的場強解析解表達式為［2］

當d ＜r時，應(yīng)用二項式公式［3］將(1)式括號中的分母部分分別展開，可得階數(shù)的不同分別表示為零次項，一次項、二次項等.當只取場強多項式

將(2)式和(3)式代入(1)式后，可得一個由多項式表示的場強公式.按照中的前2 項(零次項和一次項)并考慮d ＜＜r時，可得

式中，P = ezqd為電偶極矩.(4)式即為常見的電偶極子遠場解形式.一般來說，取的展開式項數(shù)越多，所得到的電偶極子場越精確.

2 數(shù)值模擬與分析

首先分析電偶極遠場解和取場強多項式前2 項時的近似解與實際場解間的差別.圖2(a － c)分別給出了場點P在不同角度(θ=0、θ=π/4、θ=π/2)時，利用遠場解和場強多項式前2 項得到的場強度與實際場的比值隨空間距離的變化情況.由圖2(a)可以看出，在d/r =2 時，遠場解為實際場強的88%，誤差達12%，而利用多項式前2 項得到的近似場強更接近于實際場強，達到92%，存在約8%的誤差，并且隨著距離(d/r)的增大，兩種方式得到的場強逐漸接近實際場強，在d/r =10 時，已基本分辨不出差別.多項式前2項的近似解比遠場解大，這是因為，遠場解考慮d ＜＜r后，比近似解少了d2/4r(2) 項，但隨著距離的增大，兩個解之間的差別逐漸減小，當d/r =10 時，都非常接近實際場，在精度要求不高的應(yīng)用情形時，遠離電偶極子10 倍距離的區(qū)域已經(jīng)是“遠”距離.而從圖2(b)可以看出，偶極遠場解比多項式近似解更接近于實際場強，幾乎從d/r =2 時就與實際場強無區(qū)別，而多項式解在此時卻有2%的差別，并且隨著距離的增大，在d/r =10時才與實際場差別較小.從圖2(c)可以看出，多項式近似解卻又更接近于實際場強，從d/r =3 時與實際場強無區(qū)別，而偶極遠場此時約有10%的差別，并且隨著距離的增大，約在d/r =10 時才基本與實際場區(qū)分不大.

從圖2 可以得出，隨著場點角度的不同，利用多項式前2 項得到的近似場和偶極遠場解與實際場強的差別也不同.隨著角度(0＜θ＜π/2)的增大，前者是先誤差大后精確度高，而后者則是先誤差大再精確高然后又誤差大.但在精度要求不高的情況下，在d/r =10 時，兩者得到的場與實際場差別很小.

圖2 當場點處于不同角度時，利用電偶極遠場形式和場強多項式前2 項得到的場強度與解析解的比值(分別以虛線和實線表示)隨距離的演化情況. (a)θ = 0，(b)θ =π/4，(c)θ = π/2Fig.2 The rations of the solutions from far field form and polgnomial form to analytic form (represented by soid and dashed lines)as a funcrin of electrie point distance with the point in different angles (a)θ = 0，(b)θ = π/4，(c)θ = π/2

為了進一步分析多項式的項數(shù)對于精確度的影響.圖3 給出了在0 角度時，利用多項式前幾項得到的近似場強與實際場強的比值隨距離的變化.可以看出，取的多項式的項數(shù)不同，得到的場強精確度也不同.當取前3 項時，精度反而比前2 項更差，即使在d/r =10 時，仍有5%的區(qū)別;但當取前4 項時，精度又提高，即使是在d/r =2 時，精度也已經(jīng)達到5%，且隨著距離的增大，精確迅速提高，在d/r =4 時，已基本與實際場無差別;但當取前5 項時，精度又減小，但與取前3 項得到的近似場誤差減小程度相比，此時在d/r =6時，已基本與實際場相當;當取前6 項時，精度又提高，且在d/r =3 時近似等于實際場.由此得出，當取場強多項式的偶數(shù)項時，近似場的精度隨著項數(shù)的增加越來越提高，而取基數(shù)項時，得到的近似場精度不高，但隨著項數(shù)的增多，誤差快速減小，基本在d/r =5 時近似場約等于實際場.

圖3 在θ = 0 時，取場強多項式不同項數(shù)的近似場強隨距離的變化Fig.3 The approximate field intensity from the different number of polynomial terms as a function of distances with θ = 0

圖4 和圖5 分別給出了場點在θ=π/4 和θ=π/2 時，利用多項式前幾項得到的場強與實際場強的比值隨距離的變化情況.從圖4 可看出，與取多項式的基數(shù)項相比，取場強多項式的偶數(shù)項得到的近似場精度更高.與圖3 項比較，均是除了前3 項得到的近似場誤差稍外，其它近似場解均隨著項數(shù)的增加精確越來越高，誤差快速減小.由圖5 看出，隨著多項式的項數(shù)的增加，近似場精度單調(diào)提高，取前3 項時，在d/r =3 時近似場已約等于實際場，而取前4 項時，在d/r =2 時已看不出實際場與近似場的差別.

圖4 在θ = π/4 時，取場強多項式不同項數(shù)的近似場強隨距離的變化Fig.4 The approximate field intensity from the different number of polynomial terms as a function of distances with θ = π/4

圖5 在θ = π/2 時，取場強多項式不同項數(shù)的近似場強隨距離的變化Fig.5 The approximate field intensity from the different mumber of polynomial terms as a functiom of distances withθ = π/2

3 結(jié)論

利用電偶極子空間場強解析式的多極展開，分析了遠場解與場強多項式解得到的近似場與實際場的誤差程度.表明隨著空間場點角度(0＜θ＜π/2)的增加，前者是先誤差大再精確高然后再誤差大，而后者則是先誤差大后精確度高，在精度要求不高的情況下，在d/r =10 時，兩者得到的場均與實際場差別很小.而場強多項式項數(shù)的增加對空間場強精度的影響卻不同，在θ=0 和θ=π/4 時，當取場強多項式的偶數(shù)項時，近似場的精度隨著項數(shù)的增加越來越提高，而取基數(shù)項時，得到的近似場精度不高，但隨著項數(shù)的增多，誤差快速減小，基本在d/r =5 時近似場約等于實際場;而當θ=π/2 時，近似場精度隨著多項式的項數(shù)的增加單調(diào)快速提高，在d/r =3 時近似場已約等于實際場.

［1］趙凱華，陳熙謀. 電磁學(xué)［M］. 北京:高等教育出版社，2006.

［2］謝處方，饒克謹. 電磁場與電磁波［M］. 北京:高等教育出版社，2011.

［3］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 高等數(shù)學(xué)(上)［M］. 北京:高等教育出版社，2007.