王 坤，崔 棟

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島 066004)

近年來，不確定系統(tǒng)的保性能控制的問題引起了人們的關(guān)注。研究的目的是對不確定系統(tǒng)設(shè)計一個控制器，使得其閉環(huán)系統(tǒng)不僅對所容許的不確定性漸近穩(wěn)定，而且相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)不大于指標(biāo)上界。正常系統(tǒng)的保性能控制器的研究已有許多成果[1-6]。對于奇異系統(tǒng)可以更好的描述實際物理過程，所以對奇異系統(tǒng)的保性能控制的研究更有意義。文獻(xiàn)[7]—文獻(xiàn)[9]對于線性奇異系統(tǒng)的保性能控制問題有了一定的發(fā)展，文獻(xiàn)[10]研究了廣義系統(tǒng)的時滯相關(guān)非脆弱H∞保成本控制，文獻(xiàn)[11]—文獻(xiàn)[12]利用Lipschitz條件設(shè)計了魯棒H∞保性能控制器,文獻(xiàn)[13]研究了一類不確定非線性奇異系統(tǒng)的保性能控制，未對輸入時滯進(jìn)行研究。但目前對于均具有狀態(tài)時滯與輸入時滯的不確定奇異系統(tǒng)的非線性擾動的問題的研究還不多見，本文針對這一類非線性不確定奇異時滯系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，線性矩陣不等式以及基本不等式方法設(shè)計了閉環(huán)系統(tǒng)的保性能控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)二次穩(wěn)定且具有H∞抑制水平γ，保性能的性能指標(biāo)不大于指標(biāo)上界。

1 問題描述與預(yù)備知識

(1)

其中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制向量；ω(t)∈Rp為外界干擾輸入向量；z(t)∈Rq為受控輸出向量；通常矩陣E∈Rn×n為奇異矩陣，A,Ad,B1,B2,C為適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，h為不確定的、非時變的狀態(tài)時滯，滿足0≤h≤h*,h*為時滯h的已知上界；ΔA,ΔAd,ΔB1為時變參數(shù)不確定性。

假設(shè)參數(shù)不確定性是可測的，并具有如下形式：

[ΔAΔAdΔB1]=DF(t)[E1E2E3],

(2)

其中：D,E1,E2,E3是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)∈Ri×j為時變未知實矩陣，Lebesgue可測且滿足FT(t)F(t)≤I。

非線性擾動f(t,x(t),x(t-h))為時變、含有狀態(tài)和時滯狀態(tài)的耦合函數(shù)具有如下結(jié)構(gòu)：

fT(t,x(t),x(t-h))f(t,x(t),x(t-h))≤

(3)

其中H1,H2,H3是已知的定常結(jié)構(gòu)矩陣。

定義1系統(tǒng)(1)所對應(yīng)的性能指標(biāo)是：

(4)

其中：R1,R2為給定的對稱正定加權(quán)矩陣。

定義2對于系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)函數(shù)，若存在狀態(tài)反饋控制器：

u(t)=Kx(t),K∈Rm×n，

(5)

將狀態(tài)反饋控制器代入系統(tǒng)(1)，導(dǎo)出的閉環(huán)系統(tǒng)為

(6)

對于系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(4)，若存在反饋控制律u(t)和一個正數(shù)J*，使得對所有允許的非線性擾動f(t,x(t),x(t-h))和所有允許的不確定性，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)(6)是魯棒漸近穩(wěn)定的且閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)(4)滿足J≤J*，這里J*為系統(tǒng)(1)的一個性能指標(biāo)上界，則稱控制器(5)為奇異系統(tǒng)的保性能控制器。

引理1[14]對任意x,y∈Rn及任意的實數(shù)ε>0，式(7)成立：

2xTy≤εxTx+ε-1yTy。

(7)

引理2[15]對于?a,b∈Rn,R=RT>0，有如下不等式(8)成立：

-2aTb≤aTRa+bTR-1b。

(8)

引理3[16]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D,E，其中Y為對稱矩陣，則Y+DFE+ETFTDT<0，對于所有滿足FTF≤I的矩陣F都成立，當(dāng)且僅當(dāng)在常數(shù)ε>0，使得：

Y+εDDT+ε-1ETE<0。

(9)

2 魯棒控制器的設(shè)計

(10)

則系統(tǒng)(1)的標(biāo)稱系統(tǒng)在反饋控制器(5)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在初始條件下具有給定H∞的擾動抑制水平γ，并且相應(yīng)的成本函數(shù)上界為

證明取如下的Lyapunov-krasovskii泛函：

V(t,xt)=V1(t,xt)+V2(t,xt)+V3(t,xt),

V1(t,xt)=xT(t)ETPx(t),

對V(t,xt)沿閉環(huán)系統(tǒng)(6)的軌線求導(dǎo)數(shù):

其中:

2xT(t)Pf≤fTf+xT(t)PPTx(t)≤

V3(t,xt)=xT(t)Qx(t)-xT(t-h)Qx(t-h)。

當(dāng)ω(t)=0時，

閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

由于式(10)中含有不確定項，所以對式(10)中的不確定性結(jié)構(gòu)分解，于是得到下式：

其中：

最后得到:

得到：

3 數(shù)值算例

利用定理求解線性矩陣不等式，可得

則系統(tǒng)保性能狀態(tài)反饋控制器為

4 結(jié) 語

本文討論了一類非線性不確定奇異時滯系統(tǒng)的保性能控制問題。首先，給出了非線性不確定奇異時滯系統(tǒng)的魯棒H∞的保性能控制定義；然后應(yīng)用線性矩陣不等式方法、Lyapunov穩(wěn)定性理論以及基本不等式方法，給出了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒H∞的保性能控制器存在的充分條件和設(shè)計方法。用數(shù)值算例說明了方法的有效性。

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