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        多線性位勢型算子的一類加權(quán)不等式

        2013-11-13 00:53:46郭景芳王會敏滑軍麗
        關(guān)鍵詞:位勢權(quán)函數(shù)范數(shù)

        郭景芳, 王會敏, 滑軍麗

        (1.河北科技大學(xué)理學(xué)院,河北石家莊 050018;2.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河北石家莊 050024)

        設(shè)Φ是Rn上的非負(fù)局部可積函數(shù),滿足下面弱增長條件:存在常數(shù)δ,c>0,0≤ε<1,使得對所有k∈Z有

        (1)

        對可測函數(shù)f,定義位勢型算子TΦ:

        對于Φ滿足條件(1)的位勢型算子ΤΦ,Pérez給出了強(qiáng)型(p,q)雙權(quán)不等式成立的充分條件[1]。

        下面給出與Young函數(shù)有關(guān)的一些基本概念及記號,詳見文獻(xiàn)[3]。如果B:[0,∞)→[0,∞)為凸的遞增連續(xù)函數(shù),滿足B(0)=0,B(t)→∞,t→∞,則稱B為Young函數(shù)。

        給定一個(gè)Young函數(shù)B,Q為Rn中的方體,定義f在Q上的平均Luxemburg范數(shù)為

        (2)

        本文主要用到的Young函數(shù)是B(t)=t(1+log+t)δ,δ>0。對于這個(gè)Young函數(shù),本文表示f在方體Q上的Luxemburg范數(shù)為‖f‖L(logL)δ,Q,Orlicz極大函數(shù)為ML(logL)δf。

        1 幾個(gè)引理

        為得到本文的主要定理,先給出幾個(gè)引理。

        引理1[2]設(shè)Φ為滿足條件(1)的非負(fù)局部可積函數(shù),令f和g為具緊支集的非負(fù)有界函數(shù),μ是非負(fù)且緊支集上有限的測度,令a>2n則存在一列方體{Qk,j}和一列互不相交的子集{Ek,j},Ek,j?Qk,j,使

        (3)

        對所有k,j成立,且

        (4)

        (5)

        證明本文利用不等式(4)及v∈RH∞,其中g(shù)=w,dμ(x)=v(x)dx:

        由{Ek,j}的性質(zhì),有v(Qk,j)≤Cv(Ek,j),又由于集族{Ek,j}互不相交且Ek,j?Qk,j有:

        引理3[4]令g為使Mg a.e有限的任一函數(shù),則(Mg)-α∈RH∞,α>0。

        2 主要結(jié)論

        1)若0

        (6)

        成立;

        2)若p>1,則對任意的權(quán)函數(shù)w,存在常數(shù)C使得:

        (7)

        成立。

        證明首先證明0

        其中對任意δ>0,本文用到了Lebsgue微分定理。由于文獻(xiàn)[6]有下列結(jié)論:若w∈A1,則w-1∈RH∞;若w∈RH∞,則wλ∈RH∞,λ>0。本文對權(quán)M(gδ)-1/δ用引理2和引理3,繼續(xù)不等式

        那么只需證明‖M(gδ)-1/δ‖Lp′(w)≥‖g-1‖Lp′(Mw),因?yàn)閜′<0,這等價(jià)于證明

        但若選擇0<δ

        1,由Fefferman和Stein的經(jīng)典加權(quán)不等式[7-10]:

        立即可得式(6)。

        當(dāng)p=1時(shí)由引理2(v≡1)即可得式(6)成立。

        下面證明p>1的情形。

        首先證明下面的不等式成立,

        (8)

        由p=1得:

        由一般H?lder不等式,對于適當(dāng)?shù)腨oung函數(shù)Ψ待定,繼續(xù)不等式

        所以有式(7)成立。此時(shí)定理1證完。

        參考文獻(xiàn)/References:

        [1] PéREZ C. Two weighted inequalities for potential and fractional type maximal operrtors[J]. Indiana Univ Math J, 1994, 43: 663-683.

        [2] LI Wenming. Two-weight norm inequalitioes for multilinear potential type integral operators[J]. Math Nachr,2008, 281: 839-846.

        [3] BENNETT C,SHARPPLET R. Interpolation of Operators[M]. Boston:Academic Press,1988.

        [4] CRUZ-URIBE D, NEUGEBAUER C J. The styucture of the reverse classess[J]. Trans Amer Math Soc,1995, 347: 2 941-2 960.

        [5] CARRO M J, PéREZ C,SORIA F,et al. Maximal funtions and the control of weighted inequalities for the fractional integral operators[J].Indiana Univ Math J,2005, 54: 627-644.

        [6] PéREZ C,WHEEDEN R. Potential operators,maximal functions, and generalizations ofA∞[J].Potential Anal,2003, 19: 1-33.

        [7] FEFFERMAN C,STEIN E M. Some maximal inequalities[J].Amer J Math,1971, 93: 107-115.

        [8] MOEN K.Weighted inequalities for multilinear fractional integral operators[J]. Collect Math, 2009, 60(2): 213-216.

        [9] LI Wenming. Two-weight norm inequalitioes for commutators of potential type integral[J]. Math J Anal,2006, 322: 1 215-1 223.

        [10] YAN Xuefang, XUE Limei, LI Wenming. Weighted endpoint estimates for commutators of multilinear fractional integral operators[J]. Czech Math J, 2012, 62: 347-359.

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