王曉君，安國臣，張秀清

在偵察接收機(jī)信號處理系統(tǒng)中，需要從數(shù)字信道化后的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)流中得到信號的載波頻率。由于信道化后得到的是實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)流，數(shù)據(jù)流中所包含信號的信噪比有很大不同，故所采用的算法應(yīng)該首先具有實(shí)時(shí)處理能力，其次在低信噪比情況下也能有較好的測頻精度。

工程中應(yīng)用的測頻方法有許多[1-6]，其中Kay測頻算法是一種基于最小均方誤差的相位差分頻率估計(jì)法，它在高信噪比復(fù)信號(復(fù)指數(shù)信號加高斯白噪聲)時(shí)，頻率估計(jì)方差可以達(dá)到Crammer-Rao(CR)界。

首先給出Kay測頻算法的測頻原理，然后通過仿真與其他測頻方法進(jìn)行比較，給出不同信噪比情況下的性能比較，最后論述在工程應(yīng)用中如何改進(jìn)算法性能，如何降低Kay測頻算法的信噪比閾值以及探討基于FPGA的工程實(shí)現(xiàn)方法。

1 算法原理

疊加復(fù)高斯白噪聲的復(fù)正弦信號的N個(gè)觀測值可以表示為[1]

xk=Aej(ω0k+θ)+nk，k=0,1,…,N-1，

(1)

將式(1)重寫為

(2)

,

(3)

式(2)可寫為

xk?Aej(ω0k+θ+vk),k=0,1,…,N-1,

∠xk=ω0k+θ+vk,k=0,1,…,N-1。

(4)

在式(4)的基礎(chǔ)上，Kay提出了一種可達(dá)到CR界的加權(quán)差分算法。相位差定義為

Δk=∠xk+1-∠xk，

即

Δk=ω0+vk+1-vk,k=0,1,…,N-2。

(5)

從式(5)可知，問題轉(zhuǎn)化為從有色高斯噪聲過程中估計(jì)ω0的均值。該隨機(jī)過程等效成一個(gè)系數(shù)為1和-1的滑動平均模型。因此ω0的最大似然估計(jì)等效于線性模型的最小方差無偏估計(jì)，即最小化J，

頻率的估計(jì)為

(6)

可以證明估計(jì)的方差為

(7)

協(xié)方差矩陣C為

是一個(gè)三對角矩陣，有

經(jīng)過一定的運(yùn)算得到

式中：

從而由式(6)得頻率的估計(jì)為

頻率估計(jì)可進(jìn)一步寫成

(8)

估計(jì)方差為

估計(jì)方差剛好等于CR界。wk是一個(gè)關(guān)于點(diǎn)k=N/2-1對稱的窗函數(shù)。之所以估計(jì)能夠達(dá)到CR界，完全歸功于窗函數(shù)的選擇。

2 測頻算法的性能仿真

圖1 Kay算法的測頻誤差(ω0=0.4π)Fig.1 Frequency measurement error of Kay algorithm (ω0=0.4π)

以單頻信號為例，分析不同數(shù)據(jù)長度、信噪比及信號頻率時(shí)Kay算法的測頻精度。圖1給出在固定信號頻率(ω0=0.4π)下，采用不同數(shù)據(jù)長度，在不同信噪比時(shí)的算法性能。通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，同一信號頻率下，增加參與估計(jì)的數(shù)據(jù)長度可以提高測頻精度。同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)Kay算法存在明顯的信噪比閾值。只有當(dāng)信號的信噪比大于這個(gè)閾值時(shí)，測頻的精度才可逼近CR界。

另外，Kay算法對不同信號頻率的測頻誤差是不同的，當(dāng)ω0接近于π時(shí)，測頻誤差明顯增加，這時(shí)就需要較高的信噪比來提高測頻精度。這是因?yàn)楫?dāng)ω0接近被測頻率的估計(jì)范圍[-π π]兩端時(shí)，相位差分結(jié)果Δφ(n)出現(xiàn)相位折疊的概率大大增加，從而導(dǎo)致運(yùn)算誤差。

圖2 4種實(shí)時(shí)測頻算法的性能比較(N=32，ω0=0.4π)Fig.2 Performance comparison of four kinds of real-time algorithm for frequency measurement (N=32, ω0=0.4π)

圖2給出Kay算法與曲線擬合法、擴(kuò)展Prony法和高階相位差法的測頻性能比較。仿真條件為數(shù)據(jù)長度N=32，單頻信號且ω0=0.4π，高階相位差分的階次取為10。通過仿真分析發(fā)現(xiàn)，Kay算法和高階相位差法在信噪比大于信噪比閾值的情況下都可以達(dá)到CR界，但擴(kuò)展Prony法和曲線擬合法始終無法達(dá)到CR界，相差5～6 dB。在處理單頻信號時(shí)，可見Kay算法和高階相位差法在性能和運(yùn)算復(fù)雜度上相當(dāng)。但是對于頻率調(diào)制信號，用高階相位差法進(jìn)行處理復(fù)雜度就會增加。在處理相位編碼信號時(shí)需用相鄰相位差來剔除野值，Kay算法相比高階相位差法而言運(yùn)算復(fù)雜度要小。綜合分析，這4種算法中以Kay算法的總體性能最優(yōu)。

3 應(yīng)用研究

Kay相位差分頻率估計(jì)算法是針對復(fù)指數(shù)信號模型提出的，要求系統(tǒng)使用正交采樣技術(shù)。首先根據(jù)復(fù)采樣點(diǎn)值計(jì)算出對應(yīng)的相位角，再根據(jù)確定的權(quán)值進(jìn)行差分加權(quán)，即可估計(jì)出復(fù)信號的頻率。影響頻率估計(jì)精度的參數(shù)有信噪比和參與運(yùn)算的采樣點(diǎn)數(shù)。要減小頻率估計(jì)的均方誤差，總的說來，應(yīng)該是信噪比和采樣點(diǎn)數(shù)都取的大些，但在實(shí)際應(yīng)用中，需要考慮短數(shù)據(jù)和有限信噪比的情況。

3.1 改進(jìn)Kay算法的一般方法

一種改進(jìn)算法是自適應(yīng)門限的解卷疊算法。由于一般的相位解卷疊算法是以π和-π為解卷疊門限的，因此在高頻端由于容限越來越小，從而造成高頻端測頻性能的下降。而改進(jìn)的相位解卷疊算法采用自適應(yīng)門限，算法如下：

(9)

另一種改進(jìn)算法是剔除野值。使用相位差的均值作為剔除野值的依據(jù)，一般是在此均值的基礎(chǔ)上再設(shè)定一個(gè)接受范圍(例如取±π/2)，超出此范圍的相位差被視為野值，該值被剔除并用平均相位差來代替。尤其針對二相編碼信號進(jìn)行的剔除野值處理是必需的。

以上2種改進(jìn)算法增加的處理負(fù)擔(dān)不大，但卻具有較好的改善效果，適合在工程中應(yīng)用。

3.2 提高Kay算法的檢測閾值

Kay算法存在信噪比檢測閾值，造成存在檢測信噪比閾值的原因可以歸納為2方面的問題[7-8]：1)相位差分算子的相位折疊誤差，使得信噪比閾值隨被測頻率的大小而變化；2)Kay算法本身存在信噪比閾值。當(dāng)信噪比小于6.5 dB時(shí)，相位差不再符合高斯分布，用最小二乘法處理就不能再獲得最優(yōu)解，因此即使不考慮相位折疊誤差，要想達(dá)到CR界，也存在約6.5 dB的信噪比閾值。

FITZ，LUISE和REGGIANNINI(L&R)提出應(yīng)用接收信號的自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行頻率估計(jì)的方法。實(shí)際上FITZ的估計(jì)是一種相差加權(quán)平均，L&R的估計(jì)是一種加權(quán)線性預(yù)測。但由于這兩種方法在相位提取時(shí)，在高頻區(qū)造成了不可恢復(fù)的相位混疊，雖然改善了方差閾值但縮小了估計(jì)范圍，同時(shí)也使得實(shí)現(xiàn)難度增 加[9-10]。

工程實(shí)現(xiàn)時(shí)，可應(yīng)用濾波器法降低Kay算法的信噪比閾值[9-14]。方法是在用相位差分進(jìn)行頻率估計(jì)之前，用簡單的FIR濾波器處理輸入信號，提高信噪比，達(dá)到降低信噪比閾值的目的。例如，當(dāng)使用2階濾波時(shí)，由式(1)，設(shè)ak=(xk+xk-1)/2,k=1,2，…，N-1，則ak的信噪比比原信號提高3 dB，經(jīng)推導(dǎo)可得相位差分：

(10)

根據(jù)式(10)，再利用最小二乘法可得到與式(6)相類似的頻率估計(jì)子。通過K階濾波器，信號信噪比提升10lgK，則檢測閾值就降低10lgK，但頻率估計(jì)范圍會變?yōu)樵瓉淼?/K。濾波器法在工程實(shí)現(xiàn)上具有優(yōu)勢，其濾波環(huán)節(jié)可插在原算法測頻模塊的前邊。雖然加權(quán)窗與原Kay法不同，但是可預(yù)先計(jì)算出來，并存儲在ROM存儲器中。

3.3 基于FPGA的實(shí)現(xiàn)方法

從實(shí)現(xiàn)角度講，基于FPGA實(shí)現(xiàn)Kay相位測頻法要解決的問題有[15-17]：1)為了提高精度，參與測頻的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)應(yīng)該盡可能的多，可根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置可變點(diǎn)的測頻處理，點(diǎn)數(shù)不同，加權(quán)系數(shù)就不同；2)數(shù)據(jù)流是實(shí)時(shí)動態(tài)的，計(jì)算過程中不可能存儲太多的點(diǎn)，輸出測頻結(jié)果也需要是實(shí)時(shí)的。

圖3 Kay相位差分算法實(shí)現(xiàn)Fig.3 Implementation of Kay phase difference algorithm

一種基于FPGA的Kay相位差分測頻法的實(shí)現(xiàn)框圖如圖3所示。測頻單元可實(shí)現(xiàn)8，16，32及64點(diǎn)測頻。不同點(diǎn)數(shù)下的Kay加權(quán)系數(shù)，可預(yù)先存儲在系數(shù)存儲器中。由啟停控制信號來控制一個(gè)測頻周期的開始與結(jié)束，并負(fù)責(zé)將累加器及系數(shù)存儲器地址計(jì)數(shù)器清零。

圖3所示框圖沒有考慮資源復(fù)用，適合于測頻點(diǎn)數(shù)預(yù)先不確定的場合。由于共有4路測頻單元，每一路測頻單元需要4個(gè)乘法器，因此為實(shí)現(xiàn)上述算法，需要FPGA中的乘法器數(shù)目為4×4=16個(gè)。需要的存儲器數(shù)目為4+8+16+32+64=124個(gè)。與其他3種測頻算法比較，加權(quán)相位差分算法與高階相位差分算法復(fù)雜度相當(dāng)，且非常適合于FPGA的實(shí)現(xiàn)，而擴(kuò)展Prony法與曲線擬合法算法復(fù)雜，只適宜于軟件實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié) 語

Kay加權(quán)相位差分測頻算法是一種非常適合于短數(shù)據(jù)、有實(shí)時(shí)要求的測頻算法。當(dāng)信號的信噪比大于檢測閾值時(shí)，其均方誤差逼近CR界。介紹了Kay算法原理，對算法性能進(jìn)行了仿真分析，給出了工程應(yīng)用中應(yīng)重點(diǎn)考慮的提高兩端測頻精度及降低檢測信噪比閾值的問題，并且給出了基于FPGA的實(shí)現(xiàn)框圖。Kay算法可對輸入的連續(xù)數(shù)據(jù)流進(jìn)行實(shí)時(shí)測頻，可被廣泛應(yīng)用于通信/雷達(dá)偵察接收機(jī)中的信號實(shí)時(shí)測頻中，尤其是信道化后的信道數(shù)字測頻中。在工程應(yīng)用中，該算法取得了較好的使用效果。

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