楊 坤

(沈陽化工大學(xué) 數(shù)理系，遼寧 沈陽 110142)

物理學(xué)是與日常生活關(guān)系最密切的學(xué)科，很多物理現(xiàn)象都可以在生活中觀察到.譬如:很多人都曾在樓上透過紗窗觀察遠(yuǎn)處的燈光，看到了紗窗網(wǎng)孔的衍射現(xiàn)象.但是，由于數(shù)學(xué)推導(dǎo)上的困難，到目前為止，還沒有人給出該現(xiàn)象的理論解釋.本文借助Mathematica 軟件，利用基爾霍夫衍射理論，推導(dǎo)出由矩形孔構(gòu)成的2 行×2 列、4行×2 列、2 行×4 列、4 行×4 列等紗窗網(wǎng)孔的Fraunhofer 衍射相對衍射強(qiáng)度公式，并在此基礎(chǔ)上歸納推廣，得到由2n行×2m列矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔的Fraunhofer 衍射相對衍射強(qiáng)度通式.繪制出不同數(shù)目矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔的幾種典型衍射圖樣及對應(yīng)的相對光強(qiáng)三維立體圖，更加真實、精確、簡便地再現(xiàn)了生活中看到的不同數(shù)目矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔的Fraunhofer(夫瑯禾費(fèi))衍射現(xiàn)象，對深刻理解不同數(shù)目矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔的Fraunhofer 衍射現(xiàn)象具有重要意義.

1 紗窗網(wǎng)孔的Fraunhofer 衍射光強(qiáng)

任意孔的Fraunhofer 衍射的基爾霍夫衍射理論公式為［1－2］:

其中，UP(X，Y)是在屏幕上任意點p(X，Y)的電磁波函數(shù)的值，r 是孔的某一微小面元至接收屏上的點p(X，Y，Z)的距離，k 是光的波矢值，C 是與光源和觀察點位置相關(guān)的一些物理量來確定的復(fù)常數(shù).

圖1 為矩形4 孔與屏上各點的坐標(biāo)表示.由圖1 可知:

把式(4)代入到式(1)可得:

在屏幕上任意點(X，Y)的光的強(qiáng)度為:

在屏幕中央點(0，0)上的光的強(qiáng)度為:

在屏幕上任意點(X，Y)的光的相對強(qiáng)度為［3－4］:

對于矩形孔構(gòu)成的2 行×2 列的紗窗網(wǎng)孔的4 孔(如圖1 所示)，根據(jù)圖1 和式(6)可得:

由圖1可得:A =4ab，式(10)代入式(9)，經(jīng)化簡可得:

圖1 矩形4 孔與屏上各點的坐標(biāo)表示Fig.1 Four rectangular holes and the screen coordinates of the points indicated

圖2 為4 行×2 列矩形8 孔與屏上各點的位置示意圖.

圖2 4 行×2 列矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)與屏上各點的位置示意圖Fig.2 4 ×2 rows of rectangular holes of the window screen and screen the schematic diagram

對于矩形孔構(gòu)成的4 行×2 列的紗窗網(wǎng)孔的8 孔(如圖2 所示)，仿照圖1 寫出圖2 各矩形孔的各點坐標(biāo)，再利用式(6)可得:

由圖2 可得:A =8ab，式(12)代入式(9)，經(jīng)化簡可得:

圖3為2 行×4 列矩形8 孔與屏上各點的位置示意圖.

圖3 2 行×4 列矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)與屏上各點的位置示意圖Fig.3 2 ×4 rows of rectangular holes of the window screen and screen the schematic diagram

對于矩形孔構(gòu)成的2 行× 4 列的紗窗網(wǎng)孔的8 孔(如圖3 所示)，仿照圖1 寫出圖3 各矩形孔的各點坐標(biāo)，再利用式(6)可得:

由圖3 可得:A=8ab，式(14)代入式(9)，經(jīng)化簡可得:

圖4 為4 行×4 列矩形孔構(gòu)成的窗紗網(wǎng)與屏上各點的位置示意圖.

圖4 4 行×4 列矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)與屏上各點的位置示意圖Fig.4 4 ×4 rows of rectangular holes of the window screen and screen the schematic diagram

對于矩形孔構(gòu)成的4 行× 4 列的紗窗網(wǎng)孔的16 孔(如圖4 所示)，仿照圖1 寫出圖4 各矩形孔的各點坐標(biāo)，再利用式(6)可得:

由圖4 可得:A=16ab，式(16)代入式(9)，經(jīng)化簡可得:

圖5 為2n行×2m列矩形孔構(gòu)成的窗紗網(wǎng)與屏上各點位置示意圖.

圖5 2n 行×2m 列矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)與屏上各點的位置示意圖Fig.5 2n ×2m rows of rectangular holes of the window screen and screen the schematic diagram

對于矩形孔構(gòu)成的2n行×2m列的紗窗網(wǎng)孔的2n×2m個孔(如圖5 所示)，由式(10)、(12)、(14)、(16)歸納推理可得:

由圖5 可得:A=(2n× 2m)ab，式(18)代入式(9)，經(jīng)化簡可得:

2 不同數(shù)目矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔在接 收屏上的Fr a unhofer 衍射模擬［5］

根據(jù)式(19)，利用Mathematica 軟件中DensityPlot 函數(shù)，模擬繪制不同數(shù)目矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔在接收屏上的Fraunhofer 衍射圖樣，用Plot3D 繪制接收屏上相對光強(qiáng)三維立體圖如表1 所示.

表1 不同數(shù)目矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔在接收屏上的Fraunhofer 衍射圖樣及對應(yīng)的相對光強(qiáng)三維立體圖Table 1 Different number of rectangular holes of screen mesh in the receiving screen Fraunhofer diffraction pattern and the corresponding relative intensity of 3D map

續(xù)表

由表1 的(6)、(7)、(8)、(9)圖可知:紗窗網(wǎng)孔Fraunhofer 衍射圖樣的主要結(jié)構(gòu)是中間較粗的十字線形狀，旁邊還有一些細(xì)的橫的與豎的亮線，這些亮線在交叉的地方亮度增大.這與透過紗窗觀察遠(yuǎn)處燈光看到的結(jié)果是一致的.從對應(yīng)的相對光強(qiáng)三維立體圖也可以看出:大小、孔間隔均相同的矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔，隨矩形孔數(shù)目增多，其主極大所包含的次極大數(shù)目變多，各級次極大衍射明紋強(qiáng)度明顯變尖變細(xì).對數(shù)目、孔大小、分布均相同的矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔，隨相鄰矩形孔間隔增大，其主極大所包含的次極大數(shù)目變多，各級衍射明條紋強(qiáng)度明顯比同一級明紋強(qiáng)度變細(xì)變尖，次極大間隔變小，各孔的多光束干涉現(xiàn)象越來越明顯，如表1 中圖(1)、(10);對數(shù)目、分布、孔間隔均相同的矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔，隨矩形孔變大，其主極大所包含的次極大數(shù)目不變，但各級衍射明條紋強(qiáng)度明顯比同一級明紋強(qiáng)度變小，次極大間隔變小，各孔的多光束干涉現(xiàn)象明顯減弱，如表1 中圖(1)、(11).

根據(jù)表1 可知:欲找出一定數(shù)目矩形孔或方形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔與Fraunhofer 衍射圖樣的內(nèi)在規(guī)律，可以通過改變各參數(shù)值，得到不同條件下紗窗網(wǎng)孔在屏上的Fraunhofer 衍射圖樣及相應(yīng)的相對光強(qiáng)三維立體圖，有針對性地總結(jié)出其遵循的規(guī)律.

3 結(jié)論

對于由2n行×2m列的矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔的Fraunhofer 衍射相對衍射強(qiáng)度通式，通過改變m、n、a、b、c 參數(shù)值，就可以繪制出對應(yīng)數(shù)目矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔的衍射圖樣及相應(yīng)的相對光強(qiáng)三維立體圖，更加真實、精確、簡便地再現(xiàn)了該數(shù)目矩形孔構(gòu)成的紗窗網(wǎng)孔的Fraunhofer(夫瑯禾費(fèi))衍射現(xiàn)象.事實上，這些實驗現(xiàn)象用實驗方法也都可以觀察到，但成本要比用這種方法高得多.所以，該方法是研究這類問題的簡單有效方法.

［1］馬科斯·玻恩，埃米爾·沃爾夫.光學(xué)原理.上冊［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005:342－428.

［2］EUGENE HECHT.Optics［M］.4thed.New York:Addison-Wesley，2002:447－464.

［3］楊坤，成泰民，葛崇員.矩形孔和圓孔構(gòu)成的雙孔Fraunhofer 衍射圖樣模擬［J］.沈陽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，30(1):36－39.

［4］楊坤，成泰民.不同三角形孔和矩形孔構(gòu)成的雙孔Fraunhofer 衍射圖樣模擬［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，38(2):64－68.

［5］張韻華，王新茂.Mathematica7 實用教程［M］.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011:215－217.