宋明珠

(銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，安徽銅陵244000)

條件概率是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中的一個重難點(diǎn)，由條件概率推導(dǎo)出的全概率公式和貝葉斯公式在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，同時也是考研的重點(diǎn)。但在多年的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn):大多數(shù)學(xué)生對這兩個公式掌握不夠準(zhǔn)確，在遇到實(shí)際問題時無從下手。案例教學(xué)是以學(xué)生為中心，學(xué)生和教師之間進(jìn)行交互式探索的教學(xué)方法。為了避免直接抽象地給出公式給學(xué)生帶來的困惑，采用案例教學(xué)，通過對實(shí)際案例分析導(dǎo)入新課，在分析的過程中既要發(fā)揮教師的引導(dǎo)、指導(dǎo)作用，又要發(fā)揮學(xué)生的主動性和積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生輕松掌握條件概率、全概率公式和貝葉斯公式以及其適用范圍，從而提高教學(xué)效果。

1 條件概率的教學(xué)方法

為了讓學(xué)生輕松掌握條件概率的定義以及它的實(shí)際意義，從學(xué)生感興趣的實(shí)際問題出發(fā)，引出條件概率的定義。

引例1 擲一枚骰子，觀察其點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件B為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3”，求在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B的發(fā)生概率。

解 樣本空間為Ω={1，2，3，4，5，6}，且每個可能的事件都等可能發(fā)生，故屬于古典概型，由題意可知A={1，3，5}，B={1，2，3}，所以 P(B)

記P(B|A)表示在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B的發(fā)生概率，因?yàn)槭录嗀已經(jīng)發(fā)生，則此時試驗(yàn)的樣本空間縮減為A={1，3，5}，此時B事件包含兩個基本事件{1}，{3}，所以P(B|A)

顯然有P(B)≠P(B|A)，即概率和條件概率是有區(qū)別的，為此引入條件概率的定義。

定義1［3］設(shè)A，B為隨機(jī)試驗(yàn)的兩個事件且P(A)＞0，則稱:

為在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B的發(fā)生的條件概率。

歸納出條件概率具有的性質(zhì):

(1)非負(fù)性:0≤P(B|A)≤1;

對于初學(xué)者，在講解條件概率時，需要強(qiáng)調(diào)P(B)，P(B|A)和P(BA)所表示的意義是不同的，P(B|A)表示條件概率，P(BA)表示事件A和事件B同時發(fā)生的概率。由式(1)可以推導(dǎo)出乘積公式如下:

乘積公式［3］:

設(shè) P(A)＞0，則有 P(AB)=P(A)P(B|A);若 P(B)＞0，則有P(AB)=P(B)P(A|B)。

將兩個事件的乘積公式推廣到有限個事件的乘積公式:若P(A1A2……An－1)，則有P(A1A2……An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2……An－1)。

為了鞏固學(xué)生對條件概率和乘積公式的認(rèn)識，讓學(xué)生獨(dú)立完成下題。

習(xí)題1 一批產(chǎn)品有10件，其中6件正品，4件次品，從中任取兩次，每次任取一件，采取非回置抽樣，求:①兩次都取到正品的概率;②第一次取到次品，第二次取到正品的概率。

解 設(shè)A表示“第一次取到是正品”，B表示“第二次取到是正品”。

對于①:兩次都取到正品的事件是AB，則P(AB)=P(A)P(B|A)

2 條件概率的實(shí)際應(yīng)用

由條件概率推導(dǎo)出的全概率公式和貝葉斯公式是用來解決實(shí)際生活中的問題，應(yīng)用價值很高，學(xué)生對公式掌握的程度，直接決定了學(xué)生解決問題的能力。通過多年對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)研究，發(fā)現(xiàn)從實(shí)例入手，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)全概率公式和貝葉斯公式的效果甚好。

2.1 全概率公式的教學(xué)方法

基于學(xué)生高中時掌握的概率知識，引導(dǎo)學(xué)生解決下列問題:

引例2 在一盒中裝有10只乒乓球，其中8只新球，第一次比賽時從中任取兩球，賽后仍放回原盒子，第二次比賽時，再從盒子里取兩個球，求第二次取出的兩個球都是新球的概率。

解 讓學(xué)生利用高中的已有的概率知識分析問題，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)第二次試驗(yàn)取得兩球的新舊，受到第一次試驗(yàn)取得兩球新舊的影響，故先對第一次取得兩個球進(jìn)行分類:

① 事件A0:新球0個，舊球2個;② 事件A1:新球1個，舊球1個;③ 事件A2:新球2個，舊球0個。

設(shè)第一次試驗(yàn)的樣本空間為Ω，則A0，A1，A2兩兩互不相容且A0∪A1∪A2=Ω，即A0，A1，A2是Ω一個完備事件組，設(shè)B表示第二次取出的兩個球都是新球，由題意可知P(B|A)=0

利用互不相容事件的可加性和條件概率及乘積公式可得:

對解題過程進(jìn)行總結(jié)，B事件發(fā)生之前受到前一次試驗(yàn)結(jié)果的影響，且A0，A1，A2是前一次試驗(yàn)的一個完備事件組，則B事件發(fā)生概率為P(B)=)，將解題方法一般化就得得到了全概率公式。

全概率公式［3］設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，A，A…A為一完備事件組，且P(A)＞ 0，i=1，2，…，n，則12ni對任一事件B，有P(B)=

全概率公式適用范圍:對于事件B，它的發(fā)生受到前一次試驗(yàn)結(jié)果的影響，且A1，A2…，An是前一次試驗(yàn)的一個完備事件組，則在計(jì)算P(B)時，將復(fù)雜的事件B分成分類進(jìn)行考慮，再利用全概率公式解出P(B)。

下面貼近生活的實(shí)際問題既可以鞏固全概率公式，又可以引入貝葉斯公式。

引例3 一人到達(dá)目的地乘火車、船、汽車和飛機(jī)的概率分別為0.3、0.2、0.1和0.4，并且遲到的概率分別為0.25，0.3，0.1和0，求① 此人遲到的概率;② 如果此人遲到，他乘坐哪種交通工具的可能性最大。

解 令A(yù)1，A2，A3，A4表示此人選擇的交通工具分別為火車、船、汽車和飛機(jī)，B表示此人遲到。對于①:B事件發(fā)生與此人選擇的交通工具有關(guān)，且A1，A2，A3，A4是一完備事件組，全概率公式的適用范圍可知，計(jì)算P(B)需要使用全概率公式，即P(B)=)，由題意可知 P(A1)=0.3，P(A2)=0.2，P(A3)=0.1，P(A4)=0.4，P(B|A1)=0.25，P(B|A2)=0.3，P(B|A3)=0.1，P(B|A4)=0，從而P(B)=0.145。

對于②:已知B事件發(fā)生，顯然利用條件概率求出結(jié)果。

對問題③的做題過程進(jìn)行歸納得出貝葉斯公式如下:

貝葉斯公式適用范圍:已知B事件已經(jīng)發(fā)生，且引起B(yǎng)事件發(fā)生的可能“原因”共有n個，分別為A1，A2，…，An且兩兩互不相容，此時可以利用貝葉斯公式計(jì)算出每個)，然后找出其中最大的一個P)，則Ai就是引起B(yǎng)事件發(fā)生的最大可能的原因。

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，1994

［2］丁萬鼎.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1999

［3］楊桂元.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.成都:電子科技大學(xué)出版社，2002

［4］李明泉.全概率公式和貝葉斯公式教學(xué)瑣談［J］.武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2007，19(4):76-78

［5］宋明珠.隨機(jī)環(huán)境馬氏鏈的常返性與暫留性［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報，2009，26(3):209-112