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(安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

歸納探路揭示本質(zhì)——一道壓軸填空題的解題教學(xué)分析

●崔志榮

(安豐中學(xué) 江蘇東臺(tái) 224221)

1 講與不講的討論

在一次高三檢測(cè)考試中，筆者遇到了這樣一道壓軸填空題：

例1已知實(shí)數(shù)a,b滿足：a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，則a+b=______.

筆者所任教學(xué)校800多名高三學(xué)生，解答正確的不足20人，其正確率幾乎為0，筆者所教的2個(gè)班中，共2人正確.筆者私下找這2名學(xué)生了解答題情況，他們表示不會(huì)做，是胡亂猜到答案的.在接下來(lái)的集體備課中，備課組在討論這份試卷的評(píng)講問(wèn)題時(shí)，又談到了該題講與不講的問(wèn)題，現(xiàn)回憶整理了當(dāng)時(shí)部分教師的看法：

教師A：例1的難度很大，學(xué)生的正確率十分低，我認(rèn)為可以放棄這道題的評(píng)講，不要浪費(fèi)時(shí)間.試想一下，我們講了這道題之后，能保證產(chǎn)生什么效益？能保證以后再碰到類(lèi)似的問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)做嗎？

教師B：例1的難度確實(shí)很大，但也可以評(píng)講一下，讓班上少數(shù)成績(jī)好的學(xué)生了解一下方法，對(duì)他們以后的解題可能會(huì)有幫助，當(dāng)然，我們不要期望評(píng)講了這道題后會(huì)帶來(lái)多大的效益，對(duì)95%的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是沒(méi)有用的.

教師C：教師A與教師B的觀點(diǎn)基本上是一致的，講與不講沒(méi)有太大的區(qū)別.我認(rèn)為如果要講，也不要花太多的時(shí)間，讓幾個(gè)學(xué)生了解一下方法即可，我覺(jué)得可以這樣辦，找?guī)讉€(gè)成績(jī)好的學(xué)生，與他們單獨(dú)談一談解題方法，課堂上不講.

對(duì)例1的評(píng)講問(wèn)題，筆者在集體備課會(huì)上思考沒(méi)有成熟，也就沒(méi)有表態(tài)發(fā)言.但講與不講的問(wèn)題，會(huì)后筆者仍在繼續(xù)思考，筆者也同意以上幾位教師的觀點(diǎn)，講了之后，如果不能帶來(lái)什么效益，確實(shí)不如不講；如果要講，那么就要產(chǎn)生效益.現(xiàn)在的問(wèn)題是能否通過(guò)評(píng)講產(chǎn)生效益呢？是否可以從解題教學(xué)上下功夫,得出這類(lèi)壓軸題的處理策略，讓學(xué)生的思維得到鍛煉，以對(duì)大多數(shù)學(xué)生今后再碰到類(lèi)似的問(wèn)題有幫助呢？為此，筆者對(duì)例1的解題教學(xué)作了一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并選擇了相關(guān)試題對(duì)學(xué)生進(jìn)行鞏固訓(xùn)練.現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程整理成拙文，與讀者進(jìn)行交流、研討.

2 解題教學(xué)的分析

2.1 函數(shù)的構(gòu)造

對(duì)于條件a3-3a2+5a=1與b3-3b2+5b=5，如何構(gòu)造函數(shù)？大多數(shù)學(xué)生往往會(huì)構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3-3x2+5x，從而f(a)=1,f(b)=5，這時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生:怎樣構(gòu)造出更好的函數(shù)，使f(a)與f(b)有較強(qiáng)的聯(lián)系？可以適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥學(xué)生，最終目的是構(gòu)造出函數(shù)f(x)=x3-3x2+5x-3，從而使得f(a)=-2且f(b)=2，但學(xué)生隨后發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)，這時(shí)教師還要繼續(xù)給學(xué)生指明方向，函數(shù)值f(a)與f(b)為相反數(shù)，接下來(lái)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵是什么呢？學(xué)生自然會(huì)想到要研究函數(shù)f(x)的性質(zhì)，教師應(yīng)追問(wèn)：如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)的性質(zhì)呢？

2.2 性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程

如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x3-3x2+5x-3的性質(zhì)？是歸納法！在教學(xué)中，教師應(yīng)指引學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的一個(gè)解題策略：先猜后證，并且要強(qiáng)化此解題策略，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生只有在含有探究字眼的題目中，才能想到運(yùn)用此策略.

在這次教學(xué)中，筆者首先用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生，我們?cè)诟咭粚W(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，是如何得到這2個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的？學(xué)生大都會(huì)答：描點(diǎn)法.繼而又問(wèn)：通過(guò)先描出函數(shù)圖像的部分點(diǎn)，得到函數(shù)圖像，從而發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)，這里用了什么樣的數(shù)學(xué)方法？通過(guò)引導(dǎo)，學(xué)生就知道歸納法了，還可進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，對(duì)一些特殊的數(shù)列如何發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律.學(xué)生容易回答:是由a1,a2,a3等歸納出來(lái)的.如此學(xué)生自然而然就會(huì)處理了，他們能求出f(0)=-3，f(1)=0,f(2)=3,f(3)=12,f(4)=33，可能有少數(shù)學(xué)生需要教師點(diǎn)撥，提示他們?cè)偾蟪鰂(-1)=-12,f(-2)=-33,從而師生共同發(fā)現(xiàn)了函數(shù)f(x)具有關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，因此a+b=2.

2.3 本質(zhì)的揭示過(guò)程

通過(guò)歸納法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)，再揭示問(wèn)題的本質(zhì)就不困難了，可以從下面3個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明.

方法1(對(duì)稱(chēng)中心的證明)

f(1+x)+f(1-x)=

(1+x)3-3(1+x)2+5(1+x)-3+(1-x)3-

3(1-x)2+5(1-x)-3=

2[(1+x)2-(1+x)(1-x)+(1-x)2]-

3(1+x)2-3(1-x)2+4=

-2(1+x2)-2(1-x2)+4=0.

總結(jié)函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(m,n)對(duì)稱(chēng)，即

f(m+x)+f(m-x)=2n.

方法2(與二項(xiàng)式定理聯(lián)系)

結(jié)合二項(xiàng)式定理，考慮系數(shù)關(guān)系.由于x3,x2的系數(shù)為1,-3,從而聯(lián)想到(x-1)3的二項(xiàng)式系數(shù)，于是可將函數(shù)的系數(shù)配成

f(x)=x3-3x2+3x-1+2x-2=

(x-1)3+2(x-1).

函數(shù)f(x)是由奇函數(shù)y=x3+2x向右平移1個(gè)單位得到的，它關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對(duì)稱(chēng).

這個(gè)處理方法比較簡(jiǎn)潔，但不容易想到，需要教師合理引導(dǎo).

方法3(運(yùn)用平移的手段與奇函數(shù)聯(lián)系)

由歸納容易得到函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)，而奇函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，這說(shuō)明只要將函數(shù)f(x)向左平移1個(gè)單位，就可得到奇函數(shù).于是，由函數(shù)f(x)的解析式，可轉(zhuǎn)化到函數(shù)

g(x)= (x+1)3-3(x+1)2+5(x+1)-3=

x3+2x

為奇函數(shù)，故函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對(duì)稱(chēng).

教師由此說(shuō)明命題者是怎樣設(shè)計(jì)這道試題的:先選擇了奇函數(shù)g(x)=x3+2x，然后將其向右平移1個(gè)單位后得到函數(shù)f(x)=x3-3x2+5x-3,關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，最后運(yùn)用函數(shù)值f(a)=-2，f(b)=2，整理得出了條件，要求學(xué)生求出a+b的值.

命題者的高明之處就是把函數(shù)的性質(zhì)隱藏在平移中，讓我們不容易看出來(lái).

2.4 鞏固的教學(xué)過(guò)程

為了解學(xué)生對(duì)這道壓軸填空題評(píng)講后的掌握程度，也為了進(jìn)一步強(qiáng)化歸納法在解題中的策略性應(yīng)用，筆者通過(guò)反復(fù)尋找，選取了2012年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題,讓學(xué)生當(dāng)場(chǎng)練習(xí)反饋.

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大多數(shù)學(xué)生能用歸納法得到答案，投影展示一位學(xué)生的解答：

由題意可求出

[f(a3)]2-a1a5=

教師追問(wèn)：能不能揭示這道高考題的本質(zhì)呢？也有不少學(xué)生想到了函數(shù)的轉(zhuǎn)換：

由f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π，得

f(a1)-π+f(a2)-π+…+f(a5)-π=0，

g(x)=2x+sinx.

g(b1)+g(b2)+…+g(bn)=0，

教師點(diǎn)評(píng)與原題一樣，通過(guò)歸納法發(fā)現(xiàn)了例2中函數(shù)的性質(zhì)，于是有些學(xué)生就有目的地將原函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，最終揭示了該題的本質(zhì)，是命題者將一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù)通過(guò)左右、上下平移形成的新函數(shù)，再結(jié)合等差數(shù)列的對(duì)稱(chēng)性命制而成的.

3 2點(diǎn)教學(xué)感悟

(1)不能忽視數(shù)學(xué)歸納猜想能力的教學(xué)培養(yǎng).例1與例2從考查的要求來(lái)看，考生只需具有大膽歸納猜想處理手段即可.從大的方面來(lái)講，數(shù)學(xué)歸納猜想能夠讓我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，給數(shù)學(xué)的持續(xù)發(fā)展提供保障；作為高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納猜想的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納猜想的方法，也只有如此，才能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論，才能真正激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)才能輕松快樂(lè).

(2)教師要把解題經(jīng)驗(yàn)與學(xué)生的思維活動(dòng)銜接起來(lái).長(zhǎng)期的教學(xué)活動(dòng)，使得教師往往具有豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，很多題目一拿到手，立即就能看出問(wèn)題的本質(zhì)，很快就能找出解決問(wèn)題的辦法，迅速得出結(jié)論.但這些問(wèn)題對(duì)學(xué)生而言，都是陌生的，要從零開(kāi)始思考.教學(xué)中，如果不能把教師的解題經(jīng)驗(yàn)與學(xué)生的零思考銜接好，就會(huì)使部分學(xué)生跟不上學(xué)習(xí)步伐,喪失學(xué)習(xí)興趣,學(xué)習(xí)產(chǎn)生困難.作為教師，要站在學(xué)生的思維起點(diǎn)上看問(wèn)題,充分了解學(xué)生的思維過(guò)程,充分估計(jì)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)可能遇到的困難，再結(jié)合自身解題的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)出合理的教學(xué)過(guò)程，以突破學(xué)生的思維障礙，從而達(dá)到最佳的教學(xué)效果.