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(永安市第一中學(xué) 福建永安 366000)

2013年福建省數(shù)學(xué)高考試題帶來的啟示

●宋建華

(永安市第一中學(xué) 福建永安 366000)

一年一度的高考如期而至，新鮮出爐的高考試題令人賞心悅目，這些試題凝聚著命題者的心血，完美地詮釋了《高考數(shù)學(xué)考綱》與《高考數(shù)學(xué)考試說明》的要求，給我們帶來頗多的啟示．

1 數(shù)學(xué)探究是福建省數(shù)學(xué)高考試題的特色

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在教學(xué)過程中注重?cái)?shù)學(xué)探究，這是由于數(shù)學(xué)探究有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程；有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力；有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力．

在高考試題中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)探究主要考查學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，觀察、分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，或者猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論、規(guī)律，給出解釋或證明的能力，數(shù)學(xué)探究已成為檢測學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的一種重要的手段．

福建省的數(shù)學(xué)高考試卷特別鐘情于數(shù)學(xué)探究并且逐漸形成特色，從近5年的試卷中可以得到驗(yàn)證．表1為福建省實(shí)施課標(biāo)課程的5年來，在理科卷6道解答題中涉及數(shù)學(xué)探究的試題分布情況，從中可以看出數(shù)學(xué)探究所占的份量．

表1 近5年福建省理科卷6道解答題中涉及數(shù)學(xué)探究的試題分布情況

圖1

例1如圖1，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).

(1),(2)(略)

(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCD-A1B1C1D1形狀和大小完全相同的2個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f(k)，寫出f(k)的解析式(直接寫出答案，不必說明理由)．

(2013年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

分析進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的試題從結(jié)構(gòu)看有：條件開放的探究、結(jié)論開放的探究以及條件與結(jié)論均開放的探究；從試題的類型看有：方案設(shè)計(jì)型的探究、規(guī)律探索型的探究、解題策略型的探究等．本題第(3)小題要求對已知幾何體進(jìn)行拼接從而構(gòu)造出新的幾何體，問題的開放性設(shè)計(jì)利于學(xué)生多角度地進(jìn)行探究，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、發(fā)散性，而直接寫出答案不必說明理由的要求，則能反映學(xué)生的直覺思維與抽象概括能力．

2 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識得到強(qiáng)化

《考綱》與《考試說明》均有要求發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，重視應(yīng)用意識的考查．對數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的考查主要采用解決應(yīng)用問題的形式，依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型并加以解決．

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識考查的難點(diǎn)與核心在于數(shù)學(xué)建模，所謂數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程，是尋求建立數(shù)學(xué)模型方法的過程．《課程標(biāo)準(zhǔn)》對高中階段的數(shù)學(xué)建模也有詳細(xì)的要求，數(shù)學(xué)建模有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識和方法解決實(shí)際問題的過程，增強(qiáng)應(yīng)用意識．

由于客觀條件及學(xué)生知識水平的限制，數(shù)學(xué)高考應(yīng)用意識的考查還難以與數(shù)學(xué)建模劃等號，實(shí)際操作中常常對課本例、習(xí)題進(jìn)行改造，或?qū)ΤＲ?guī)的試題增加生活背景，或以概率統(tǒng)計(jì)的面目出現(xiàn)，這些做法都能達(dá)到考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的目的．

例2某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為2組，再將2組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖2所示的頻率分布直方圖．

圖2

(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；

(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

(2013年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題第19題)

分析我們知道獲取數(shù)學(xué)知識并不是最終目的，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿.本題從實(shí)際問題出發(fā)，考查了學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識與方法解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)知識在決策中的作用．

3 讓絢麗的數(shù)學(xué)文化之花為數(shù)學(xué)試卷增色

《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出并對數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了詳盡的描述與要求,這是前所未有的，體現(xiàn)了設(shè)計(jì)者對數(shù)學(xué)文化的重視．?dāng)?shù)學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知識的匯總，更重要的是它包含著豐富而深刻的文化內(nèi)涵，通過感悟數(shù)學(xué)文化，可以讓學(xué)生更深刻地感受到數(shù)學(xué)對于人們的影響，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情．

通過數(shù)學(xué)文化的方式對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行考查是一種新的形式，當(dāng)課堂教學(xué)中已經(jīng)相當(dāng)重視數(shù)學(xué)文化的滲透與傳播之時(shí)，在數(shù)學(xué)高考試題中，如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化是一個(gè)全新的課題，進(jìn)行合理地考查將有助于加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的感悟，有助于加強(qiáng)教師對數(shù)學(xué)文化的重視與傳承．福建省數(shù)學(xué)高考試卷中對此雖有體現(xiàn)但仍顯不足，湖北省的高考試卷在這方面有許多做法值得借鑒．

例3我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是______寸(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸).

(2013年湖北省數(shù)學(xué)高考文科試題第16題)

分析《數(shù)書九章》是南宋數(shù)學(xué)家秦九韶唯一的數(shù)學(xué)著作，書中列有81問,算題共分為9類，該書概括了宋元時(shí)期中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的主要成就，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)的高峰．本題借助“天池盆測雨”這個(gè)問題體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，從知識的層面看只是考查圓臺的體積以及圓的面積,要求不高，但通過這樣的考查方式卻能讓學(xué)生感受到中華數(shù)學(xué)文化燦爛的瑰寶．

4 數(shù)學(xué)本質(zhì)是問題之源，是考查之本

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì);《考綱》也規(guī)定高考要考查考生對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平．

數(shù)學(xué)本質(zhì)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有許多不同的見解，數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵應(yīng)包括：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)等．?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)是問題之源，是考查之本,數(shù)學(xué)高考試題若能在數(shù)學(xué)本質(zhì)上進(jìn)行設(shè)問，多考查數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵，則能更好地讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)最核心、最本質(zhì)的內(nèi)容,體會知識間的聯(lián)系，改變教師教學(xué)中“重結(jié)果、輕過程”的現(xiàn)象，加深廣大師生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解．

例4已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表2：

表2 x與y的值

假設(shè)根據(jù)表2中數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=bx+a，若某同學(xué)根據(jù)表2中的前2組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y′=b′x+a′,則以下結(jié)論正確的是

( )

A．b>b′,a>a′ B.b>b′,aa′ D．b

(2013年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題第9題)

分析本題有別于以往對線性回歸的考查方式，如果套用公式進(jìn)行計(jì)算將非常繁雜且不是命題者的本意.本題將設(shè)問放置在線性回歸方程中最為本質(zhì)的知識點(diǎn)(散點(diǎn)圖)上進(jìn)行考查，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)來體會知識的聯(lián)系，顯得真實(shí)而自然、簡單而優(yōu)美，對于線性回歸知識形成有序的、相互聯(lián)系的認(rèn)知結(jié)構(gòu)很有幫助．

5 規(guī)避模式成為主基調(diào)

數(shù)學(xué)高考試卷不僅承載著選拔的功能，也承擔(dān)著指導(dǎo)教學(xué)的任務(wù).如何破除當(dāng)前教學(xué)中存在的“題海戰(zhàn)術(shù)”等種種弊端，規(guī)避固有模式是一種行之有效的策略，它減少了猜題、壓題的沖動．規(guī)避模式可以采用更靈活的試題編排順序，或者在數(shù)學(xué)知識的考查上更多地進(jìn)行交匯．

現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)的主干知識包括函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)，這些主干知識是支撐高中數(shù)學(xué)知識體系的主要內(nèi)容，構(gòu)成了數(shù)學(xué)高考試卷的主體．表3為2009～2013年福建省數(shù)學(xué)高考試題中解答題考查內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)，從中可以看出在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，規(guī)避了試題的編排模式．

表3 2009～2013年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題中解答題考查內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)

僅在試題的題序上做文章還不足以達(dá)到規(guī)避模式，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，往往能使試題的情境新穎別致，對基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度，交匯能將知識、能力與素質(zhì)融為一體，從而實(shí)現(xiàn)規(guī)避模式的目的．

高中數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)數(shù)不勝數(shù)，交匯的形式也多種多樣，由此產(chǎn)生的試題更是精彩紛呈．通常知識的交匯可以在2個(gè)或2個(gè)以上不同的知識模塊之間實(shí)現(xiàn)，即以一個(gè)知識模塊為載體,考查其他模塊的知識，也可以是同一知識模塊內(nèi)的不同知識點(diǎn)之間的交匯．前者由于知識的內(nèi)容反差較大，常使得試題的呈現(xiàn)形式新穎別致，出乎預(yù)料的交匯形式容易引起人們的注意;而后者的交匯形式較為隱蔽而不顯山露水，有時(shí)題目看似傳統(tǒng)，但可能所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法卻十分深刻．

(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式.

(3)求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2 013個(gè)零點(diǎn).

(2013年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

分析本題以三角函數(shù)為載體，與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)進(jìn)行交匯.不同知識模塊的交匯使本題新穎別致，特別是其壓軸題的角色更使其成為亮點(diǎn)，外在的交匯形式只是其一.在第(2)小題探究3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的過程中，需要考生對3個(gè)數(shù)的大小進(jìn)行辨析，從而優(yōu)化解題過程，考查考生思維的簡捷性，同時(shí)較好地考查了考生的運(yùn)算求解能力；第(3)小題先研究函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)圖像的性態(tài)，再從特殊到一般解決問題，綜合地考查了考生的抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，這些都使本題熠熠生輝．

2013年福建省數(shù)學(xué)高考試題給了我們許多啟示，將促使我們進(jìn)行更多地教學(xué)反思．

[1] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀[M]．南京：江蘇教育出版社，2004：288-292.

[2] 宋建華．高中數(shù)學(xué)主干知識考查的六個(gè)關(guān)鍵詞[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué):高中版，2012(7/8)：70-72.