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(樂清中學(xué) 浙江樂清 325600)

形式化與非形式化在課堂教學(xué)中的融合演繹

●徐建榮

(樂清中學(xué) 浙江樂清 325600)

高中數(shù)學(xué)新課程從總體上來說，是為學(xué)生學(xué)習(xí)必需的、有用的數(shù)學(xué)，刪減了不必要的、陳舊的數(shù)學(xué)內(nèi)容，一定程度上減少了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，從出發(fā)點(diǎn)來說值得肯定．其減少了形式化數(shù)學(xué)的結(jié)果、證明等，大大加深了感性認(rèn)知等非形式化手段在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，但如何把握這兩者的完美融合仍然是教學(xué)的一個難題．

近幾年浙江省關(guān)于高中數(shù)學(xué)新課程進(jìn)行了很多相關(guān)的學(xué)習(xí)、交流，筆者也參與觀摩了很多的公開課.如今的公開課與時俱進(jìn)，更多關(guān)注學(xué)生的“參與度”、課堂的“新鮮感”等教學(xué)理念滲透.辯證來看:既不能過于強(qiáng)調(diào)“參與度、情境和探究”，也不能一味保守,總是采用傳統(tǒng)的“啟發(fā)式教學(xué)”．現(xiàn)實(shí)中，如今的常態(tài)課還走在過于形式化、啟發(fā)式教學(xué)的誤區(qū)，而公開課卻行走在完全非形式化、情境式教學(xué)的誤區(qū)．結(jié)合當(dāng)今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者認(rèn)為：高中數(shù)學(xué)中“形式化的結(jié)果”仍比較常見(諸如函數(shù)的概念、平面向量基本定理等)，而“非形式化的數(shù)學(xué)”往往能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的表象理解和記憶，但卻無法指導(dǎo)學(xué)生到達(dá)數(shù)學(xué)概念的彼岸——窺視其規(guī)律與本質(zhì)(如數(shù)形結(jié)合以形輔數(shù)、函數(shù)與方程思想等)．在新課程理念下，就如何結(jié)合形式化與非形式化的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者有一些不成熟的想法與大家分享．

1 概念對比

形式化和非形式化一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩大產(chǎn)物，其特點(diǎn)主要圍繞下面5點(diǎn)進(jìn)行界定和區(qū)分：

表1 形式化與非形式化的數(shù)學(xué)教學(xué)

2 融合教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的，因此，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)[1]．

“數(shù)學(xué)形式化”猶如舊版教材一直提倡的“啟發(fā)式教學(xué)”，而“非形式化”恰恰猶如新課程所一直提倡的“情境式教學(xué)”，我們不能說“數(shù)學(xué)形式化”完全不符合高中學(xué)生的認(rèn)知，好比完全否定“啟發(fā)式教學(xué)”毫無優(yōu)點(diǎn)一樣，也沒有任何證據(jù)說明“非形式化”就能讓高中生更透徹地理解數(shù)學(xué)概念、定理等，好比“情境式教學(xué)”就遠(yuǎn)比“啟發(fā)式教學(xué)”優(yōu)秀，有種高高在上的感覺一樣[2]．

張奠宙教授說過：數(shù)學(xué)教育要注重認(rèn)知，淡化形式，但是不能丟了形式化——淡化(對中學(xué)生而言)并非完全否定，只是小學(xué)生、中學(xué)生、大學(xué)生各種年齡階段的學(xué)生都要按照不同形式化程度來教學(xué)．筆者認(rèn)為，對高中生數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該介于形式化和非形式化之間，即適度的形式化更符合高中生的認(rèn)知心理．

3 特點(diǎn)分析

形式化是數(shù)學(xué)特有的產(chǎn)物，從舊的人教版教材開始，形式化一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，似乎沒有形式化，數(shù)學(xué)就不是數(shù)學(xué)．劉紹學(xué)教授語：以往的中學(xué)課堂，教師首先給學(xué)生介紹一個數(shù)學(xué)的定理，然后進(jìn)行嚴(yán)密的證明，進(jìn)而對定理進(jìn)行幾點(diǎn)注意，最后使用定理解決數(shù)學(xué)問題．這種數(shù)學(xué)課是形式化比較明顯的，在以往看來，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)有幾個好處：

(1)數(shù)學(xué)知識的傳授連貫，教師教學(xué)比較方便；

(2)數(shù)學(xué)定理的證明比較嚴(yán)密，使得學(xué)生心服口服；

(3)數(shù)學(xué)知識基本一步到位，在某個定理處進(jìn)行變式教學(xué)、反復(fù)演練，熟悉為止．

但是形式化的數(shù)學(xué)漸漸顯現(xiàn)出不足，主要有：

(1)對高中生而言，是不是也要學(xué)那么形式化的數(shù)學(xué)呢？反之，如果淡化一點(diǎn)，會不會有更好的教學(xué)效果？

(2)是不是每個人將來都會用到這么形式化的數(shù)學(xué)呢？

(3)數(shù)學(xué)都要追求形式化，是不是太費(fèi)神費(fèi)力？

隨著新課程改革的不斷深入，作為教材主導(dǎo)地位的形式化數(shù)學(xué)漸漸走下神壇，取而代之的是新教材，新教材較明顯地弱化了形式化的數(shù)學(xué)在高中數(shù)學(xué)中的地位．因此，“如何融合兩者，如何在教學(xué)中進(jìn)行完美的滲透”是教師教學(xué)的一種境界.下面以筆者觀摩的一堂公開課“數(shù)學(xué)歸納法(第一課時)”為例進(jìn)行分析說明.

4 教學(xué)案例

4.1 非形式化階段——創(chuàng)設(shè)情境，思考問題

探究1人工探索

探究2智能探索

結(jié)合程序語言，給出如圖1所示的框圖：

圖1

探究3可行性探討

由學(xué)生來探討這個智能探索是否可行，能否達(dá)到證明的目的．

設(shè)計(jì)意圖由學(xué)生熟悉的3個連續(xù)探究引入本節(jié)課，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律看似沒有給出數(shù)學(xué)歸納法，實(shí)質(zhì)上已經(jīng)讓學(xué)生從潛意識中接觸到了數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍，這種探究式的教學(xué)可以讓學(xué)生親臨數(shù)學(xué)歸納法的形成過程，逐漸感受數(shù)學(xué)歸納法的必要性與必須性，加深對概念的理解，并且在一次次的探究收獲中慢慢接觸數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵，尤其在首次接觸中顯得尤為重要．

4.2 形式化初步階段——層層遞進(jìn)，誘發(fā)思維

在上述探究的基礎(chǔ)上，學(xué)生明白以上辦法都不能證明，因此接下來在“非形式化階段”的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考和提煉.這個提煉的過程也許對于學(xué)生來說會比較抽象，但必不可少，這個過程需要教師的正確點(diǎn)撥和引導(dǎo).經(jīng)歷了這個過程，學(xué)生就會對數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)和依據(jù)有深刻的理解．

直面無限，我們真的束手無策？接下來通過類比等差、等比數(shù)列完成探究4.

探究4類比探索

表2 類比等差、等比數(shù)列

由表2得到探究收獲：類比數(shù)列中處理無限的方法，可以得到一種全新、巧妙的證明方法．

設(shè)計(jì)意圖通過上述幾個問題及探究，已經(jīng)明確給出了數(shù)學(xué)歸納法的過程，教師以等差、等比數(shù)列對應(yīng)為學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，抽象得出證明一個命題成立的過程.這正是一種類比推理的思想和建構(gòu)的過程．通過對一個具體問題的深入研究，得到了一種新的數(shù)學(xué)概念，也得到了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)．

4.3 形式化與非形式化融合——明確概念，活學(xué)活用

在上述基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考：

問題3新的證明方法適合于哪種題型？

問題4你能總結(jié)出新證明方法的解題步驟嗎？

由此給出本節(jié)課的課題：數(shù)學(xué)歸納法，同時很自然地給出了數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟．

問題5你能用數(shù)學(xué)歸納法來解析多米諾骨牌游戲嗎？

設(shè)計(jì)意圖在“非形式化階段”到“形式化階段”的基礎(chǔ)上，通過抽象的概況，給出了數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍和明確的解題步驟，并且及時對關(guān)鍵性步驟、易錯知識點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)撥，使學(xué)生成功地完成了質(zhì)的飛躍．

4.4 形式化最終階段——錯誤辨析，思維升華

(1)與數(shù)學(xué)歸納法有關(guān)的美麗誤會：費(fèi)馬質(zhì)數(shù)(當(dāng)p是質(zhì)數(shù)時，22p+1是質(zhì)數(shù))直到費(fèi)馬去世后67年，著名的數(shù)學(xué)家歐拉才證明了這個命題的錯誤性．

(2)有人聲稱證明了“所有的奇數(shù)都是2的倍數(shù)”．

最后進(jìn)行課堂小結(jié)，用3個英語單詞總結(jié)——數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)的“why？where？what？”來結(jié)束本堂公開課．

設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生已經(jīng)掌握數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)及步驟的情況下，給出反例辨析：第1個反例缺遞推；第2個反例缺基礎(chǔ)，由此進(jìn)一步讓學(xué)生理解2個步驟缺一不可．最后的3個單詞進(jìn)一步幫助學(xué)生進(jìn)行反思：為什么要用數(shù)學(xué)歸納法，什么時候用數(shù)學(xué)歸納法，怎么用數(shù)學(xué)歸納法．整堂課如行云流水一般把形式化和非形式化自然融合，通過對一個具體題目的層層遞進(jìn)研究，得到了本節(jié)課對概念學(xué)習(xí)的從形象到抽象的過程，是形式化數(shù)學(xué)用非形式化手段完美演繹的一節(jié)公開課．

5 教學(xué)思考

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)比較合適的方式，是有機(jī)融合形式化和非形式化的運(yùn)用，將啟發(fā)式教學(xué)與情境式教學(xué)恰當(dāng)?shù)卣?，其主要目的是通過整合創(chuàng)新教學(xué)模式，使得以學(xué)生為主體的教學(xué)理念設(shè)計(jì)不是一句空話，其優(yōu)點(diǎn)在于充分發(fā)揮學(xué)生的參與性，無論是后進(jìn)生還是優(yōu)等生，在其各自不同的范圍之內(nèi)(大多數(shù)學(xué)生更容易接受感性非形式化的數(shù)學(xué)，少數(shù)則比較容易把握形式化的數(shù)學(xué)結(jié)果)對數(shù)學(xué)知識和問題的不同層次進(jìn)行不同程度的涉及，真正落實(shí)新課程重要的開發(fā)理念：注重對數(shù)學(xué)知識形成過程的學(xué)習(xí)，淡化過于形式化的結(jié)果與證明．

筆者最后想說，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有很多方面值得我們關(guān)注，筆者從“數(shù)學(xué)歸納法”案例入手，分享了如何進(jìn)行有機(jī)融合非形式化和形式化的教學(xué)策略.在教學(xué)時，教師要注意對高中學(xué)生采用的教學(xué)方法，既不能一味“情境化”(過于直覺、感官)，也不能“形式化、啟發(fā)式教學(xué)”過度.只有2條腿走路，才能使學(xué)生能體驗(yàn)和感悟到數(shù)學(xué)思維的理性精神，才能做到與時俱進(jìn)的有效教學(xué)．

[1] 羅展華.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中形式化與非形式化表現(xiàn)特征[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2009(4):12-14.

[2] 張煥明.淺論素質(zhì)教育觀下的數(shù)學(xué)課題設(shè)計(jì)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2002(4)：8-11.

[3] 張繼紅.創(chuàng)新教育下中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式研究[D].長春：東北師范大學(xué)，2002.

[4] 涂榮豹.論數(shù)學(xué)活動的過程知識[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2002(11)：9-13.