一道全國聯(lián)賽加試題背景下的優(yōu)美不等式
2013-10-26 02:10:44
中學教研(數學) 2013年10期
關鍵詞：實驗
●
(珠海市實驗中學高中部 廣東珠海 519090)
一道全國聯(lián)賽加試題背景下的優(yōu)美不等式
●王恒亮
(珠海市實驗中學高中部 廣東珠海 519090)
上述問題為2012年全國高中數學聯(lián)賽加試試題的壓軸題，對于它的證明在此不再贅述.筆者對題中Sn作了進一步探究，得到了一個與Sn相關的一個“優(yōu)美”不等式，現與大家分享.
證明由基本不等式知
(2)
(k+1)!=k!(k+1)≥(k+1)2kSk.
由式(3)知
(k+1)2kSk>2(k+1)Sk+1-kSk·2kSk=2(k+1)Sk+1,
故
(k+1)!>2(k+1)Sk+1,
即當n=k+1時結論也成立.由歸納法可知對任意n≥2都有
綜合式(1)～式(4)可知
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