●

(復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué) 上海 200433)

相似橢圓系的若干性質(zhì)

●姚源

(復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué) 上海 200433)

類(lèi)似相似橢圓的定義[1,2]，筆者給出相似橢圓系的定義.

定義對(duì)于中心相同，離心率也相同的n個(gè)橢圓，其方程如下：

…

其中0<λ<1,a>0.

即第i個(gè)橢圓的短軸長(zhǎng)等于第i+1個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)(i

圖1 圖2

相似橢圓有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1從原點(diǎn)向外引一條射線，在第一象限交C1,C2,…,Cn于點(diǎn)A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn).過(guò)這些點(diǎn)分別作切線l1,l2，…,ln(如圖2)，則

(1)l1∥l2∥…∥ln；

(2)設(shè)li截橢圓Ci-1的長(zhǎng)為L(zhǎng)i，Ai平分Li；

證明(1)設(shè)ki為直線li的斜率，此射線與x軸所成角為θ，則A1(acosθ，λasinθ)，A2(λacosθ,λ2asinθ)，…，An(λn-1acosθ,λnasinθ)，從而

即

k1=-λcotθ.

即

k2=-λcotθ.

…

即

kn=-λcotθ，

因此

k1=k2=…=kn,

故

l1∥l2∥…ln.

(2)設(shè)切線li與橢圓Ci-1交于點(diǎn)Bi,Ci，點(diǎn)Bi,Ci的橫坐標(biāo)分別為xi1,xi2(i

由式(1)，得

(3)

將式(3)代入式(2)，得

(4)

因此點(diǎn)Ai為BiCi的中點(diǎn)，即點(diǎn)Ai平分Li.

(3)由式(4)知

從而

分析此命題若用解析法證明，則需要通過(guò)繁瑣的三角化簡(jiǎn)，證明十分復(fù)雜.在此，筆者運(yùn)用較為簡(jiǎn)潔的幾何法來(lái)證明.

圖3 圖4

證明因?yàn)樵跈E圓Ci中，Pi1,Pi2,…Pim唯一確定，所以只要符合題設(shè)的Pi1,Pi2,…,Pim存在必唯一.

對(duì)于橢圓Ci與Ci-1，從原點(diǎn)向外引一條射線，交Ci,Ci-1于點(diǎn)Ai,Ai-1(如圖4).設(shè)Ai(λi-1acosθ,λiasinθ)，Ai-1(λi-2acosθ,λi-1acosθ)，則

又因?yàn)?/p>

所以

△AiOFi∽△Ai-1OFi-1,

從而

AiFi∥Ai-1Fi-1.

同理可證

△Pi1OFi∽△Pi-l1OFi-1,

△Pi2OFi∽△Pi-l2OFi-1,

…

△PimOFi∽△Pi-lmOFi-1,

從而

故

由此，可以得到一個(gè)新的命題：

[1] 姜坤崇.相似橢圓性質(zhì)又探[J].數(shù)學(xué)通訊,2011(18)：36-37.

[2] 姚源.相似橢圓系的一組性質(zhì)[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2013(6)：48-49.

歡迎訂閱和賜稿《中學(xué)教研(數(shù)學(xué))》

《中學(xué)教研(數(shù)學(xué))》創(chuàng)刊于1978年，由省屬重點(diǎn)大學(xué)——浙江師范大學(xué)主辦，著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生題名。

本刊以促進(jìn)數(shù)學(xué)教育改革和提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量為宗旨，是浙江省內(nèi)唯一面向全體中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者以及中學(xué)生的優(yōu)秀刊物?？锿怀觥翱茖W(xué)性、前沿性、指導(dǎo)性、實(shí)用性、服務(wù)性”；關(guān)注新課程改革進(jìn)程和高考動(dòng)態(tài)；展示最新的教研成果和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，熱忱為廣大師生的數(shù)學(xué)教與學(xué)排憂解難。

本刊始終緊密結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，介紹數(shù)學(xué)教育的新思想、新觀點(diǎn)、新發(fā)展，推動(dòng)教育思想的轉(zhuǎn)變，扶植新人新作，為提高廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展做出了積極的貢獻(xiàn)。本刊被中國(guó)人民大學(xué)復(fù)印資料中心、知網(wǎng)、維普等媒體轉(zhuǎn)載。設(shè)有“名師論壇”、“教學(xué)研究”、“解題技法”、“課堂聚焦”、“初數(shù)新探”、“高考中考”、“競(jìng)賽之窗”、“學(xué)生園地”、“數(shù)學(xué)文化”等欄目。本刊知識(shí)覆蓋面大，可讀性強(qiáng)，是廣大數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)愛(ài)好者的良師益友。

本刊為月刊，大16開(kāi)本，48頁(yè)，每期定價(jià)5.00元，全年定價(jià)60元，全國(guó)公開(kāi)發(fā)行(每月5日出版)。國(guó)內(nèi)刊號(hào)：CN33-1069/G4，國(guó)際刊號(hào)：ISSN1003-6407。本刊第2期為高考復(fù)習(xí)專(zhuān)輯，供2014年高考復(fù)習(xí)使用，2014年2月5日前出版。

訂閱：全國(guó)各地郵局均可訂閱,郵發(fā)代號(hào)：32-17。如錯(cuò)過(guò)郵局訂閱，也可直接向編輯部郵購(gòu)(直接匯款至編輯部即可，附言中請(qǐng)注明刊期、數(shù)量)。

投稿：電子稿件直接發(fā)送至《中學(xué)教研(數(shù)學(xué))》編輯部郵箱zxjy@zjnu.cn

聯(lián)系方式：浙江省金華市浙江師范大學(xué)《中學(xué)教研(數(shù)學(xué))》編輯部(321004)

電 話：0579-82298829

QQ(群)：199489920

歡迎廣大讀者及時(shí)訂閱本刊，歡迎老師們踴躍投稿!