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(湖州市第二中學 浙江湖州 313000)

開放式數學教學“二度”體驗與反思

●俞昕

(湖州市第二中學 浙江湖州 313000)

開放式教學一方面指課堂教學要為學生創(chuàng)設一個有利于群體交流的開放的活動環(huán)境，成為師生思維活動雙向暴露過程，通過合作討論，讓學生的思維見解、情感體驗、意志欲望、行為方式受到尊重，引發(fā)他們積極進取和自由探索；另一方面指在問題設計和討論中保留開放狀態(tài)，給學生的創(chuàng)新思維提供更廣闊的天地，得到更充分的發(fā)展.很多文獻都是以數學開放題作為載體來闡述開放式教學，筆者認為這只是“開放式數學教學”的一個側面反映，下面筆者以2個課堂實例與讀者共同體驗與反思“開放式數學教學”.

1 數學新知的開放式建構

課例片段“分類計數原理和分步計數原理”第一課時

教師給出問題(自主探究)：嘗試完成下列計數問題，并從數學的角度對這些問題進行分類，試說明分類的依據.

圖1

(1)如圖1所示，從B村到A村有2條路，從B村到C村有3條路.從B村到A村或C村，總共有多少種不同的走法？

(2)如圖1所示，從A村到B村有2條路，從B村到C村有3條路.從A村經B村到C村，總共有多少種不同的走法？

(3)從5幅不同的油畫，2幅不同的國畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？

(4)班級的某小組中有男生7人，女生5人，現要從男生或女生中選出一個組長，總共有多少種不同的選法？

(5)用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？

(6)用前6個大寫英文字母和1～9這9個阿拉伯數字，以A1,A2,…,B1,B2，…的方式給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？

教師給出合作探究任務：完成表1和表2，歸納結論.

表1 任務1

表2 任務2

大約4分鐘左右，教師請學生回答，有學生已完成題組分類工作，教師繼續(xù)給學生大約6分多鐘，請學生歸納各題組的結論.

體驗以上的教學過程總共化了12分鐘左右，這是教師精心設計的開放式數學教學.本節(jié)課的一個重點是“分類與分步計數原理”這2個原理的得出過程，我們常規(guī)的教學是讓學生在教師的引導下得出這2個原理，以教師引導為主.但在以上的開放式教學中，教師拋出“計數問題”這個概念后，就直接給出一組題組，讓學生自己計算、進行歸納和類比.在此過程中，教師沒有說過任何有關于問題結論的話，充分地體現了開放式教學“合作討論”、“自主探究”的特點.筆者認為這樣的開放式教學具備以下3點價值：(1)新知內容適宜開放式教學.教師給出的6個問題都是涉及到“兩類”和“兩步”的問題，從簡單的“兩類”和“兩步”問題出發(fā)，便于學生對新知的逐步建構，以致能順利地完成開放式教學.(2)在開放式教學過程中讓學生不自覺地運用了“歸納”和“類比”這2種重要的數學思想方法.這樣的教學設計“一箭雙雕”，既讓學生通過自主探究掌握了數學新知，又讓學生在探究過程中體會了數學思想方法的重要性.眾所周知，學習數學的思想方法往往比學習新知更為重要，掌握了數學思想方法，就等于擁有了開啟數學新知之門的金鑰匙.(3)學生有充足的時間對新知進行內化.以往教師對2個原理的引出筆墨較少，甚至直接給出結論，而是將更多的時間放置于2個原理的應用上，通過大量的例題與習題以熟練學生對2個原理的應用.殊不知在學生沒有完全將“2個原理”這個新知內化到自己的認知結構中去時，學生并沒有真正理解這2個原理，那么在應用原理解題時勢必會出現混淆不清的局面，以致于造成錯誤的解答.而開放式教學在留給學生充足的時間進行自我探究、自我建構的同時，也留給學生充足的時間進行知識的內化，真正將知識融入到認知結構中去，對“2個原理”能進行清晰地辨析與理解.

反思基于以上數學新知的開放式教學，筆者認為有必要提出以下2點與同行們商榷：(1)是不是所有的數學新知都適合“開放式教學”？(2)在開放式數學教學中，教師應扮演何種角色？這2個問題是很值得思索的.鄭毓信教授曾指出：我們不應將學習者的主動建構與向其他人學習絕對地對立起來.基于建構主義的開放式教學我們要用，但是要慎用.筆者認為建構理論在開放式課堂教學中可以體現在以下2點：(1)有些數學知識不只是通過教師傳授獲得的，而是學生在一定的情景下，借助于其他人(包括教師和學習伙伴)的幫助，利用必要的學習資源和相應的學習過程，通過意義結構獲得的.注意我們這里使用“有些數學知識”，而不是“所有數學知識”.數學是高度抽象的，若是所有數學知識都讓學生在開放的環(huán)境下自己建構，這顯然是不符合學生的認知結構的，更何況高中教育是普及性的教育，不是精英教育，因此實施開放式教學的內容要細心謹慎選擇，比如上面的課例“分類與分步計數原理”第一課時的內容是在學生的最近發(fā)展區(qū)內，比較適合讓學生進行開放式的自主探究學習.(2)教師的“教”應服從學生的“學”.教師要研究在教學過程中如何引導學生主動去觀察、思考、探索，力求通過他們自己的努力獲取知識，研究如何培養(yǎng)學生獨立學習的能力，以達到教學的最終目的，使學生不僅學會知識，而且學會學習.但在這一過程中，絕對不能忽視教師的引導作用.教師在教學中的主導作用，在于設計問題的情境、提出問題，對學生的不同答案做出評價，進一步深化問題.在整個教學中，教師的地位是啟發(fā)者、鼓勵者、咨詢者、指導者和示范者，學生的地位則是參與者和實踐者.教師在肯定學生認知主體地位的同時，還應強調教師的主導作用，即教師應是學生主動構建的組織者、幫助者、促進者.比如上述課例中，教師給出6分多鐘的時間讓學生自己歸納總結2個計數原理，若教師一言不發(fā)，就會出現“冷場”，教室里很安靜(學生不知道怎么討論)，或是學生會出現沒有明確方向的無目的性討論(無價值的討論).此時，教師應該根據學生討論的情形給予適當的方向性引導，讓學生的自主探究始終圍繞主題，一針見血.同時，教師對學生的評價也是必不可少的，評價其實也可以看成是對學生的引導.

2 數學問題的開放式探究

課例片段直線與圓錐曲線相交問題探究

教師讓學生先思考2分鐘，然后前后4個人一組，集中做一道題.過10分鐘左右，教師挑幾個小組的成果進行展示，其中有關于“垂直問題”、“中點弦問題”、“弦長問題”等題目的展示.由于是學生臨時給出的數據，因此計算量比較大，有些小組雖然添加了條件，但未能計算出結果.

體驗數學開放題是相對數學封閉題而言的，它能有效地反映學生高層次的思維，在數學教學中引進開放性問題對改革目前的數學教學有重要意義.關于什么是“數學開放題”，筆者在這里就不再贅述了，很多文獻都有詳細的論述.筆者認為解析幾何的教學中引進“開放題”這樣的開放式數學教學是有必要的.眾所周知，高中解析幾何內容的解題具有通性通法、計算量大的特征.正因為這樣,導致很多學生在學習解析幾何時有這樣的感覺：拿到題目感覺似曾相識，有點思路，但真的動筆算下去，要么算不出來要么就算不下去.通性通法是數學發(fā)展的基石，是數學教育的核心，是數學學習的主要內容之一.上述課例中的這道開放性例題就為學生提供了掌握解析幾何中通性通法的良好途徑，比如學生想到的“垂直問題”、“中點弦問題”、“弦長問題”等.學生在解析幾何學習中的另一個問題就是計算問題.有些教師在課堂上抓緊時間講題目，而認為計算是次要的，讓學生自己課后進行計算，殊不知真正能夠自覺在課后進行計算的學生并不多，這樣的教學處理容易造成學生“眼高手低”，也認為解析幾何只要方法知道就行了，計算是次要的，久而久之就導致了在考試中“永遠只知道方法但算不出來”的局面.因此在上述課例的開放式教學中，教師讓學生對自編的題目進行詳細計算，而且數據也不是湊好的易算數據，這樣對培養(yǎng)學生的計算能力是有幫助的.

總的來說，以“開放題”為載體的開放式數學教學存在這樣的教育價值：(1)在開放題的解決過程中，學生從各自不同的已有認知基礎出發(fā)，真正參與到教學中，去體驗數學，建構自己的認知結構，通過這種方式進行知識的同化和順應，其結果更加牢固.(2)在這樣的開放式教學中，學生必須打破原有的思維模式，展開聯想和想象的翅膀，從多角度、多方位、多層次進行探討，其思維方向和模式的發(fā)散性有利于創(chuàng)造性能力的形成；學生通過開放題的解答這種數學活動形式，可以在一定程度上體會并掌握科學研究的一些思維方式和基本方法，如觀察、分析、抽象、合情推理、實驗、驗證等等；開放題教學要注意師生之間、學生之間的數學交流，從而有利于提高學生用數學語言表述問題的能力.(3)開放題的教學方式還具有人文教育價值.開放題在激發(fā)學生學習的興趣，樹立學習的自信心，凸現學生的主體意識，形成獨立的人格和克服困難、勇于探索的意志品質，培養(yǎng)群體意識和合作精神，增強競爭機制，培養(yǎng)探索意識和創(chuàng)新意識，形成正確的科學態(tài)度等方面都具有極大的優(yōu)勢.

反思基于以上以“開放題”為載體的開放式數學教學，筆者認為有以下2點值得我們反思.

第一，基于開放式教學中“小組合作”的反思.在上述案例中，筆者發(fā)現有些小組合作討論的效果不是很明顯，有些學生的參與度不夠，反思跟分組有關.筆者認為我們要為學生創(chuàng)造良好的“數學學習共同體”，使每個學生都能積極參與共同體中的學習與討論.這個“數學學習共同體”的創(chuàng)設尤為重要，教師可以以學生的自由組合為主，但要進行適當的調整，做到組間同質、組內異質，保證每個小組有一個組長，統(tǒng)領整個小組的討論方向，而這個組長需要具有比較扎實的數學基礎.另外盡量做到使每個共同體內部的成員都參與，特別是學困生，要特別指定一些學生幫助那些數學學困生，以免使“小組討論”變成“學困生被遺忘的角落”，而造成這些學困生產生自卑感，更加不愿意表達自己的想法，更加排斥數學.這一點一定要引起教師的重視.此外，“小組討論”顯然也不應該被看成“合作學習”的唯一形式，恰恰相反，教師應當根據具體的教學內容、對象和環(huán)境，靈活地應用各種可能的教學形式，包括全班討論、師生問答或集體評價等.

第二，筆者認為上述開放式教學中還應注意教師評價的作用.無論開放度有多大，就像放風箏一樣，無論風箏飛得多遠，教師總要把握好方向，把握好自己手中的風箏線.教學中針對學生已經做出的多種不同解答(或多種不同解法)，教師應積極引導學生對此做出進一步的比較和評價，幫助學生對自己在數學上的收獲做出自覺的總結.即通過比較去發(fā)現各種不同解答之間可能存在的邏輯聯系，對各種解答(與解答方法)的正確性(有效性)做出判斷并給出必要的論證，以及做出必要的修正或推廣.當然這對數學教師本身的素養(yǎng)有很高的要求.

以上是筆者對開放式數學教學的“二度”體驗與反思，開放式教學理應成為數學課堂教學的“座上客”，但我們要慎用、巧用、妙用、細用，使它服務于我們的數學課堂教學，而不是為了“開放”而“開放”、“反客為主”，使得數學課堂教學為“開放”所累.