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(象山中學(xué) 浙江象山 315700)

析近3年高考數(shù)列考情定2013年復(fù)習(xí)策略

●楊冬梅鄧成

(象山中學(xué) 浙江象山 315700)

浙江省數(shù)學(xué)高考對于數(shù)列的考查飄忽不定，高考復(fù)習(xí)很難把握，接下來由筆者一一為您解密，以此揭開2013年高考數(shù)列復(fù)習(xí)的神秘面紗.

1 浙江省數(shù)學(xué)高考數(shù)列考查要求

高考數(shù)列重點考2條主線：一條是數(shù)列的數(shù)列特征：理解等差、等比數(shù)列的概念，掌握等差、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，利用等差、等比數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.一條是數(shù)列的函數(shù)特征：等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

2 近3年浙江省高考文、理科數(shù)列考查情況

命題特點文科解答題每年必出一題，選擇題、填空題不確定，分值在14～23分之間;理科只有2011年考了解答題，其余3年只考小題，分值在4～14分之間.

知識層面縱觀近3年浙江省數(shù)學(xué)高考，數(shù)列試題主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項、求和等基礎(chǔ)知識，出現(xiàn)頻率最高的知識點是等差、等比的通項與求和，同時結(jié)合不等式、二項式定理(理科)等基礎(chǔ)知識綜合考查.

能力層面近3年浙江省普通高中考試說明中強調(diào)“以能力立意”，即以數(shù)列的相關(guān)知識作為載體，從數(shù)列問題入手，側(cè)重體現(xiàn)對數(shù)列知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合應(yīng)用和靈活應(yīng)用．個性品質(zhì)要求關(guān)注思想價值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，注重等差(等比)數(shù)列的概念、本質(zhì)和解決數(shù)列問題的常規(guī)方法，具體表現(xiàn)為試題的情境熟、入口寬、有層次，有利于學(xué)生在公平的背景下展示真實水平，體現(xiàn)考生個體的情感、態(tài)度和價值觀，表現(xiàn)出考生的思維習(xí)慣是否慎密等．

浙江省考題與全國卷、其他省市卷數(shù)列題有區(qū)別，浙江省對數(shù)列的考查主要著眼于數(shù)列的基礎(chǔ)知識與基本方法，作為中檔題，回避了遞推數(shù)列和復(fù)雜的不等關(guān)系的論證，主要揭示等差和等比數(shù)列內(nèi)在的本質(zhì)性知識，形成浙江卷數(shù)列題的特色．

3 近3年全國各地高考文、理科數(shù)列考查情況

筆者翻閱了近3年18個省市的高考文、理科105份數(shù)學(xué)試卷，發(fā)現(xiàn)數(shù)列部分的考查具有如下特點：

命題特點大部分省市會出現(xiàn)1～2道與數(shù)列有關(guān)的試題，個別省市會出項3道數(shù)列試題.以2012年數(shù)學(xué)高考為例，福建、遼寧、四川理科卷考查了3道，湖北、江西和大綱全國文科卷考查了3道.有的省市文科考1道、理科考2道，而有的省市卻正好相反，而大多數(shù)省是文、理科各考2道與數(shù)列有關(guān)的試題.以解答題的形式考查為各省市的重點，理科相對較難.

知識層面主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項、求和等基礎(chǔ)知識，注重通性通法，淡化特殊技巧.出現(xiàn)頻率最高的知識點是等差、等比的通項與求和；與其他知識的交匯命題是高考的難點，其中與不等式的交匯試題中考放縮法的試題較難.上海市引領(lǐng)高考數(shù)列的新潮，常考創(chuàng)新題.

能力層面主要考查運算求解能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力、創(chuàng)新思維能力等.

數(shù)學(xué)思想主要考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、遞推思想等.

4 亮點掃描

4.1 重視基本概念、基本運算，注重通性通法

縱觀高考卷，對等差(等比)數(shù)列的定義、通項公式、求和公式等基本概念、基本運算的考查，依舊是這3年數(shù)學(xué)高考“數(shù)列熱點”中的重點，題型分布極為廣泛，一般表現(xiàn)在客觀題或主觀題的第(1)小題，其難度不大，平時應(yīng)注重通性通法.

例1設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=______.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析簡解運用基本量法轉(zhuǎn)化為a1,q的方程，解方程組即可.

點評類似的題目很多，這些都是基礎(chǔ)題，題號靠前，只要合理地運用定義、公式進行仔細計算即可解決此類問題.

4.2 重視等差數(shù)列、等比數(shù)列的函數(shù)特征

等差數(shù)列的通項與一次函數(shù)、前n項和與二次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系是數(shù)列的函數(shù)特征的體現(xiàn)，數(shù)列具有函數(shù)的很多性質(zhì)，如單調(diào)性、對稱性、周期性、最值等，如果從函數(shù)的角度思考問題，很多問題就迎刃而解了.

例2設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是

( )

A．若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項

B．若數(shù)列{Sn}有最大項，則d<0

C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意的n∈N*，均有Sn>0

D．若對任意的n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點評數(shù)列的函數(shù)特征是數(shù)列的重要特征，要重點關(guān)注.如2011年浙江理科第17題也考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì).

4.3 文科常規(guī)背景呈現(xiàn)，考查基礎(chǔ)知識

文科對數(shù)列的考查要求比較低，以常規(guī)背景呈現(xiàn)，常見的題型有：基本運算題、推理論證題等.試題位置相對靠前，考查基礎(chǔ)知識，是命題者在設(shè)計中認為考生應(yīng)該得分的題目，在平時的教學(xué)中應(yīng)加強解題規(guī)范和正確率的培養(yǎng).

例3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N*.

(1)求an,bn；

(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析(1)an=4n-1，bn=2n-1,n∈N*.

(2)由第(1)小題知

anbn=(4n-1)·2n-1,

從而

Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,

2Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)·2n,

于是

2Tn-Tn= (4n-1)·2n-[3+4(2+22+…+2n-1)=

(4n-5)2n+5,

故

Tn=(4n-5)2n+5.

4.4 理科交匯整合呈現(xiàn)，綜合應(yīng)用把關(guān)

數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法、二項式定理、概率、解析幾何、不等式的交匯等，其中與不等式的交匯試題是浙江省考查的一大亮點,考查考生綜合應(yīng)用能力.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn;

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

當n≥2時，

即

因此，當a>0時，AnBn.

點評本題的最大亮點是題目簡潔、表達樸素、內(nèi)涵豐富．主要考查了等差與等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式，也考查了其他數(shù)列(能裂項相消)的前n項和，結(jié)合不等式的知識考查了二項式定理、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容．

5 復(fù)習(xí)策略

分析近3年高考數(shù)列的考查情況，不難揭開2013年數(shù)列復(fù)習(xí)的神秘面紗，在數(shù)列復(fù)習(xí)過程中只要抓住下面的幾點就能迎刃而解了.

(1)吃透1個定義即數(shù)列的定義.

(2)突出2條主線數(shù)列特征,即等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)與函數(shù)特征：即單調(diào)性、對稱性、周期性、最值等.

(3)活用3類方法:基本量法:a1,an,n,Sn,d(q)知三求二;求通項方法：公式法(考查最多)、累加法、累乘法、待定系數(shù)法等；求和的方法：公式法(考查最多)、錯位相減法、裂項相消法、分奇偶討論法、絕對值數(shù)求和.

(4)關(guān)注4大題型.

基本運算題.通常涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式，常常運用基本量法解決(80%左右).

推理論證題.如證明問題:證明恒等式(考查過3次)；證明不等式(考查過9次)；證明等差、等比數(shù)列(考查過11次)等.

知識交匯題.數(shù)列與其他主干知識交匯的考題正在增多，常見的交匯有：數(shù)列與函數(shù)(考查過6次)、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)(考查過7次)、數(shù)列與三角(考查過5次)、數(shù)列與二項式定理(考查過2次)、數(shù)列與概率、數(shù)列與解析幾何(考查過3次)、數(shù)列與不等式的交匯(考查15次).

情境創(chuàng)新題.一種是引入新概念、定義新數(shù)列的一類試題．另一種是以數(shù)列知識為背景的實際應(yīng)用問題.

(5)領(lǐng)悟5大思想考試說明指出對數(shù).

數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括的考查，通過對數(shù)列知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.

函數(shù)思想.即數(shù)列的函數(shù)特征(考查過12次).

方程思想.基本量法是解決數(shù)列問題的最基本的方法，經(jīng)常結(jié)合數(shù)列通項公式和求和公式構(gòu)建方程或方程組求解，因此方程思想非常重要.

分類討論.數(shù)列中滲透分類討論的思想．例如由Sn求an，要分n=1和n≠1進行討論;在數(shù)列求和中有時需要進行奇偶討論;有些數(shù)列的通項公式是分段表示的，解題過程需要討論等.

化歸與轉(zhuǎn)化.非等差、等比數(shù)列的問題常通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求解;將一般的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列問題，是化歸轉(zhuǎn)化的重要目標．

遞推思想.遞推是數(shù)列的本質(zhì)性內(nèi)涵，雖然遞推數(shù)列不是浙江省高考涉及的內(nèi)容，但是遞推思想和方法在解決數(shù)列問題中的作用是很大的．涉及數(shù)列前n項和的關(guān)系問題，常采用遞推思想來解決．

與其他省市的數(shù)列試題相對比，浙江省數(shù)學(xué)高考的數(shù)列題難度中等．縱觀各省市考情，關(guān)于數(shù)列的教材內(nèi)容有差異，考試要求有所不同，考查的風(fēng)格也各有特色．但總體來說，等差、等比數(shù)列是永恒的背景，基本量運算是不變的旋律，與其他知識的結(jié)合是發(fā)展的方向，有關(guān)的應(yīng)用問題則是創(chuàng)新的源泉．