●

(騰沖縣第一中學 云南騰沖 679100)

學習增新知題解又一春

●羅仁幸

(騰沖縣第一中學 云南騰沖 679100)

文獻[1]中的例3題意如下：

筆者試圖從三角函數的內部知識和三角函數定義過渡到解析幾何、代數式的恒等變形等3個方面進行思考，并提出自己的拙解，以拓寬解題思路，豐富題目內涵，挖掘數學思想方法，揭示其規(guī)律.不妥之處請批評指正.

cosαsinα+cosβsinβ=2sinαsinβ，

即

通過和差化積與積化和差，得

sin(α+β)cos(α-β)=cos(α-β)-cos(α+β),

即 cos(α+β)=cos(α-β)[1-sin(α+β)].

(1)

因為α,β為銳角，所以

故

cos(α-β)>0,1>1-sin(α+β)≥0.

由式(1),得

cos(α+β)≥0，

從而

從而

cos(α+β)≤1-sin(α+β)，

即

cos(α+β)+sin(α+β)≤1(不成立)，

評注證法1主要運用三角函數知識證明.

證法2設x=sinα,y=sinβ.因為α,β為銳角，所以

0

即

兩邊平方，得

即

(x2+y2)2- (x2+y2)+2x2y2=

(2)

再兩邊平方，得

(x2+y2)4-2(x2+y2)3+(x2+y2)2+

4x2y2(x2+y2)2-4x2y2(x2+y2)+4x4y4=

4x2y2[1-(x2+y2)+x2y2],

化簡整理，得

(x2+y2)2[(x2+y2)-1]2+4x2y2[(x2+y2)2-1]=0，

因式分解，得

[(x2+y2)-1] [(x2+y2)3-(x2+y2)2+

4x2y2(x2+y2)+4x2y2]=0,

因此

x2+y2-1=0

或(x2+y2)3-(x2+y2)2+4x2y2(x2+y2)+4x2y2=0.

由式(2),知

(x2+y2)2-(x2+y2)+2x2y2>0,

結合x2+y2>0,得

(x2+y2)3-(x2+y2)2+2x2y2(x2+y2)>0,

因此

(x2+y2)3-(x2+y2)2+4x2y2(x2+y2)+4x2y2=

[(x2+y2)3-(x2+y2)2+2x2y2(x2+y2)]+

[2x2y2(x2+y2)+4x2y2]>0,

從而

x2+y2=1,

即

sin2α+sin2β=1.

評注證法2換元后主要用代數式變形進行推證.

證法3如圖1，設銳角α,β的終邊與單位圓分別交于點A(x1,y1),B(x2,y2).由三角函數定義知

cosα=x1,sinα=y1,cosβ=x2,sinβ=y2.

圖1

設過A，B的直線方程為y=kx+b.聯立方程組

消元整理得一元二次方程

(1+k2)x2+2kbx+b2-1=0.

依條件，點A,B在第一象限，則

(3)

x1y1+x2y2=x1(kx1+b)+x2(kx2+b)=

2(kx1+b)(kx2+b)，

2[k2x1x2+kb(x1+x2)+b2],

即

即

k(2k2b2+2+2k2-2b2)=

(1+k2)(2kb2+2b2-2k2),

故k4+k3+k2+k=(k2+2k+1)b2.

(4)

k=-1.

此時

從而

cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ=

x1x2-y1y2=0.

因為α,β是銳角，所以

評注證法3運用三角函數定義、解析幾何知識、一元二次方程等相關知識進行推證.

以上3種證法分別從不同的角度進行分析論證，論證中涉及的知識主體屬數學中的不同內容，但殊途同歸，最終使問題得以解決.作為數學思維方法訓練，理解掌握數學知識無疑是很有意義的一件事；另一方面，“探求規(guī)律，實事求是”是數學的學科精神；其三，筆者受文獻[1]的啟示，得出本文中解法，給題目添加了新的解法，同時給筆者一個學習和實踐解題的機會，真可謂“學習增新知，題解又一春”！

[1] 應之寧,紀斐.等與不等相互轉化中不等的構建[J].中學教研(數學)，2012(2)：35-38.