谷 偉

(中南財經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，武漢 430073)

0 引言

利率是生活中常見的經(jīng)濟(jì)變量，一直是市場各方關(guān)注的焦點(diǎn)之一，特別是短期無風(fēng)險利率，它對其他金融產(chǎn)品的定價和利率風(fēng)險的管理起著非常大的影響。近年來，許多學(xué)者提出了各類模型來擬合短期利率數(shù)據(jù)，其中一種是利用隨機(jī)微分方程所控制的擴(kuò)散過程來描述利率的隨機(jī)行為。這方面的期限結(jié)構(gòu)模型主要有：Merton(1973)[1]模型、Vasicek(1977)[2]模型、CIR(1985)[3]模型、CKLS(1992)[4]模型等，它們均是通過對隨機(jī)微分方程設(shè)定不同的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)來獲得的。如何利用觀測到的數(shù)據(jù)來快速、準(zhǔn)確的估計利率擴(kuò)散模型中的未知參數(shù)，以及哪個模型對數(shù)據(jù)的擬合程度最好，這些都是研究的熱門問題。

考慮如下由一維隨機(jī)微分方程所控制的擴(kuò)散過程模型

其中θ是未知參數(shù)向量，Xt表示瞬時利率，漂移項(xiàng)μ(Xt;θ)表示 Xt的瞬時均值，擴(kuò)散項(xiàng) σ(Xt;θ)表示 Xt的瞬時方差，μ(Xt;θ)和 σ(Xt;θ)是非線性函數(shù)，Wt是一維標(biāo)準(zhǔn)維納過程。假定擴(kuò)散過程Xt在時間點(diǎn)0=t0＜t1＜...＜tn=T上有離散觀測值Xobs=(x0,x1,...,xn),且Δ=ti-ti-1為常數(shù)。

對于擴(kuò)散過程模型(1)的參數(shù)估計問題，Hansen(1982)[5]研究了在計量經(jīng)濟(jì)模型假定下，GMM估計量的一致性結(jié)果以及漸進(jìn)分布等問題；Lo(1988)[6]用極大似然法得到參數(shù)估計；Pedersen(1995)[7],Brandt&Santa-Clara(2002)[8]提出了模擬極大似然估計法；Durham&Gallant(2002)[9]比較了各種連續(xù)時間擴(kuò)散過程似然估計的數(shù)值方法，并將估計方法擴(kuò)展應(yīng)用到隨機(jī)波動模型，Ait-Sahalia(2002,2008)[10.11]提出了Hermite多項(xiàng)式近似法。本文采用Hurn[12]提出的一種基于偏微分方程的估計方法，該方法通過數(shù)值求解與擴(kuò)散模型相關(guān)聯(lián)的偏微分方程(PDE)，獲得轉(zhuǎn)移密度函數(shù)的近似解。同時，考察中國銀行間同業(yè)拆借市場利率的多個單因子模型，應(yīng)用該方法進(jìn)行參數(shù)估計，并引入AIC準(zhǔn)則進(jìn)行模型識別。

1 基于C-N差分的偏微分方程估計方法

如果擴(kuò)散過程Xt的轉(zhuǎn)移密度 p(xt|xs;θ)(s＜t)已知，則可得如下似然函數(shù)

其中 p(Δ,xi|xi-1;θ)是兩觀測值 xi-1和 xi間的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)。則θ的估計值可通過最大化式(2)，也可最小化(3)

事實(shí)上，X的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)通常都是未知的，如何獲得 p(Δ,xi|xi-1;θ)，則成為一個關(guān)鍵問題。本文考慮了基于偏微分方程的方法近似 p(Δ,xi|xi-1;θ)。

假 定 p(Δ,xi|xi-1;θ)≡p(ti,xi|ti-1,xi-1;θ)，并 記p(t,x)=p(t,x|ti-1,xi-1;θ)，Karatzas and Shreve(1992)[13]指出轉(zhuǎn)移密度函數(shù) p(t,x)是以下Fokker-Plank偏微分方程的解

假定擴(kuò)散過程X=(x0,x1,...,xn)的取值區(qū)間為[a,b]，則(6)應(yīng)滿足如下初值條件

和邊值條件(Hurn等[12])。

其中 δ(·)為Dirac delta函數(shù)。求解(6)～(8)可獲得相應(yīng)的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)，但Dirac delta初值函數(shù)的處理成為一個棘手的問題，Jensen和Poulsen(2002)[14]指出，可以選擇均值為 xi-1+μ(xi-1;θ)Δt，方差為 Δtσ2(xi-1;θ)的正態(tài)分布作為初值函數(shù)的近似。

采用有限差分法求解方程(6)，把區(qū)間[a,b]等分成N份，取步長為 Δy=(b-a)/N ，其中節(jié)點(diǎn) yi=a+iΔy(i=0,1,…,N)，同時把時間區(qū)間[ti-1,ti]以步長Δt=(ti-ti-1)/m等分成m份，其中節(jié)點(diǎn)ti,j=ti-1+jΔt,(i=1,2,…,N,j=0,1,…,m)。記 r=Δt/(Δy)2，μi=μ(yi)，σi=σ(yi)，=p(ti,j,yi)，則(6)的離散格式為

事實(shí)上，(9)是通過Crank-Nicolson差分法對(6)進(jìn)行離散獲得的。

假定 p(t,x)的解落在區(qū)間[y0,yN]或區(qū)間[y0,∞]上，漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)滿足μ(y0)≥0，σ(y0)=0，可以認(rèn)為在邊界點(diǎn)y0處沒有累積任何密度，則可取 p(t,y0)=0。然而在邊界點(diǎn) yN處，通過離散邊值條件(8)，且令(9)中i=N-1，可得如下格式

若取 p(t,y0)=0(否則，可獲得類似(10)的結(jié)果)，則離散格式(9)的起始迭代為

結(jié)合(9)～(11)，最終，可得如下矩陣形式的差分格式

其中AL和 AR是(N+1)×(N+1)矩陣，pi是包含轉(zhuǎn)移密度函數(shù)…,的(N+1)維向量。

2 單因素利率擴(kuò)散模型及AIC準(zhǔn)則

對(1)中的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)作不同的假設(shè)，可得不同的利率擴(kuò)散模型。Merton(1973)是最早用隨機(jī)微分方程描述利率變化隨機(jī)行為的，Vasick(1977)說明了利率具有均值回復(fù)的特征，此后又涌現(xiàn)出了眾多模型，見表1所示。

從表1可以看出，所有模型的漂移項(xiàng)均為擴(kuò)散過程Xt的線性函數(shù)，模型1～4是模型5的特殊形式，而模型6是模型3的一個變換模型。在模型5中，θ1表示利率的均值回復(fù)速度，θ2表示利率的均值回復(fù)水平，θ3表示利率的波動系數(shù)，θ4表示粘性系數(shù)。

表1 單因子利率模型表

為從眾多模型中選擇一個最為合適的模型來擬合實(shí)際數(shù)據(jù)，我們引入了AIC準(zhǔn)則[14]進(jìn)行模型識別。

3 實(shí)證分析

本文收集了1996年2月至2010年3月中國銀行間貨幣市場的拆借利率IBO007，所使用的是每月加權(quán)后的平均利率，共計170個月度數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源：中國貨幣網(wǎng)，www.chinamoney.com.cn)。由于拆借利率按單利計算，不妨按下述公式將其轉(zhuǎn)換為等價連續(xù)復(fù)利：R(t)=52ln(1+r(t)/52)，其中r(t)表示觀測的加權(quán)平均利率，R(t)表示轉(zhuǎn)換后的連續(xù)復(fù)利?？梢垣@得變換后170個數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計特征，均值：0.0381，標(biāo)準(zhǔn)差：0.0292，偏度：3.8662，峰度：1.5273，最大值：0.1124，最小值0.0102，其時間序列圖如圖1所示。

圖1 連續(xù)復(fù)利R(t)的時間序列圖

從時間序列圖上看，從1996年2月到1999年12月，2006年5月到2009年1月這兩個期間內(nèi)數(shù)據(jù)波動比較厲害，前段時期是中國貨幣政策發(fā)生重大調(diào)整的時期，后段時期是受次貸危機(jī)的影響而頻繁調(diào)整貨幣政策。

表2列出了利用R(t)獲得單因子模型的參數(shù)估計結(jié)果，模型1和2的參數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差相對較大，故這兩個模型的估計結(jié)果不可靠，不適合于對利率數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。對比模型3、4、5和6的AIC值，模型3的AIC值最小，其次是模型5，也就是說，對于所考察的樣本數(shù)據(jù)擬合最好的是CIR模型，其次是CKLS模型。且由估計結(jié)果可知，利率的均值回復(fù)水平是0.025，這意味著中國利率的長期水平值是0.025，當(dāng)利率低于這個值時，利率有上升的趨勢，反之，有下降的趨勢。

表2 單因子利率模型的參數(shù)估計，括號內(nèi)為參數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差

4 結(jié)論

本文采用基于偏微分方程的估計方法對多個單因子利率擴(kuò)散模型進(jìn)行參數(shù)估計，并引入了AIC準(zhǔn)則進(jìn)行模型擬合效果的對比?？紤]了這種估計算法在中國銀行間貨幣市場拆借利率中的應(yīng)用，在所考慮的樣本區(qū)間內(nèi)，擬合效果最好的是CIR模型，其次是CKLS模型，且由估計結(jié)果可知，利率的均值回復(fù)水平是0.025。

[1]Merton.Theory of Rational Option Pricing[J].Bell Journal of Economics and Management Science,1973,（4）.

[2]Vasicek,O.An Equilibrium Characterization of the Term Structure[J].J.Finan.Econom,1977,(5).

[3]Cox,J.C.,Ingersoll,J.E.,Ross,S.A.A Theory of the Term Structure of Interest Rates[J].Econometrica,1985,53(2).

[4]Chan,K.C.,Karolyi,G.A.,Longstaff,F.A.,et al.An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-term Interest Rate[J].Journal of Finance,1992,(47).

[5]Hansen,L.P.Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators[J].Econometrica,1982,50(4).

[6]Lo.,A.W.Maximum Likelihood Estimation of Generalized Ito Processes with Discretely Sampled Data[J].Econometric Theory,1988,(4).

[7]Pedersen,A.R.A New Approach to Maximum Likelihood Estimation for Stochastic Differential Equations Based on Discrete Observations[J].Scand.J.Stat.,1995,(27).

[8]Brandt,M.,Santa-Clara,P.Simulated Likelihood Estimation of Diffusions with an Application to Exchange Rate Dynamics in Incomplete Markets[J].J.Financ.Econ.,2002,(63).

[9]Durham,G.B.,Gallant,A.R.Numerical Techniques for Maximum Likelihood Estimation of Continuous-time Diffusion Processes[J].J.Bus.Econ.Stat.,2002,20(3).

[10]Ait-Sahalia,Y.Maximum Likelihood Estimation of Discretely Sampled Diffusions:a Closed form Approximation Approach[J].Econometrica,2002,(70).

[11]Ait-Sahalia,Y.Closed-form Likelihood Expansions for Multivariate Diffusions[J].Annal.of Stat.,2008,36(2).

[12]Hurn,A.S.,Jeisman,J.,Lindsay,K.A.Transitional Densities of Diffusion Processes:a new Approach to Solving the Fokker-planck Equation[J].J.of Deriv.,2007,(14).

[13]Karatzas,I.,Shreve S.Brownian Motion and Stochastic Calculus(2ndEdtion)[M].New York:Springer-Verlag,1992.

[14]Uchida,M.,Yoshida,N.AIC for Ergodic Diffusion Processes from Discrete Observations,Preprint MHF 2005-12,March 2005,Faculty of Mathematics,Kyushu University,Fukuoka[Z].2005.