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        淺談數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用

        2013-10-16 06:26:52姜冬俠
        新課程學(xué)習(xí)·中 2013年7期
        關(guān)鍵詞:三角函數(shù)數(shù)學(xué)方法

        姜冬俠

        摘 要:在新課標(biāo)高考物理考試大綱中,要求考查學(xué)生五個方面的能力,即理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力、實驗?zāi)芰?。關(guān)于應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力,在多年的高中物理教學(xué)經(jīng)驗中,總結(jié)了幾種數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用,并且舉例談了多種常見數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用。

        關(guān)鍵詞:物理問題;數(shù)學(xué)方法;數(shù)學(xué)圖象;三角函數(shù)

        新課標(biāo)物理高考考試大綱對能力的考查有五項,即理解能

        力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力、實驗?zāi)芰?。從物理高考大綱中可以看出,要求考查學(xué)生多方面的能力,其中一項就是應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力。經(jīng)過多年的教學(xué)經(jīng)歷,我發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法在物理解題中有著廣泛的應(yīng)用,筆者借此進(jìn)行詳談:

        一、利用拋物線知識求解直線運動中的追及相遇問題

        例1.汽車前面7 m處有一騎自行車的人以5 m/s的速度行

        駛,汽車速度為10 m/s,此時此地,發(fā)現(xiàn)交叉路口的紅燈亮了,汽車和自行車分別以4 m/s和2 m/s的加速同時減速,問:①汽車能否撞著自行車?②若撞著,在什么地方?若撞不著,相距的最短距離是多少?

        解析:①用s1表示汽車t時間內(nèi)的位移,用s2表示自行車t

        時間內(nèi)的位移,用d表示兩者之間的距離。先寫出汽車和自行車各自的位移公式,再寫出距離的表達(dá)式,即:s1=10t-2t2,s2=5t-t2,所以d=s2+7-s1=t2-5t+7,由此方程d=t2-5t+7可以得知它的判別式

        Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×7=-3<0,說明t無解,表示的物理意義是兩者追不上。

        ②方程d=t2-5t+7表示拋物線方程,又因為方程d=t2-5t+7中

        的t2的系數(shù)是正值,所以拋物線開口向上,而且開口向上的拋物線有一個處于最低位置的頂點,再利用拋物線頂點的坐標(biāo)公式

        (-■,■),就可以求出距離的最小值d=■=0.75 m,同時還可以求出距離最短時經(jīng)過的時間t=-■=2.5 s。如果拋物線方程的開口向下,則表示物體間會出現(xiàn)距離的最大值,當(dāng)然利用拋物線的頂點坐標(biāo)公式也就可以求出在什么時候兩者之間距離最遠(yuǎn)。

        二、利用數(shù)學(xué)不等式a+b≥2■(a>0,b>0),求解物理中的極值問題,存在兩種情況

        1.由公式a+b≥2■可知,在兩數(shù)乘積為定值的情況下,當(dāng)兩數(shù)相等時,它們的和有最小值。

        例2.如圖1所示,電源的電動勢為E,內(nèi)阻為r,R為串聯(lián)在電路中的滑動變阻器的電阻,當(dāng)滑片移動時,什么時候電源的輸出功率最大?

        解析:電源的輸出功率即外電路上所消耗的功率,計算式為P=I2R=(■)2R=■=■,根據(jù)此式可知,R和■兩數(shù)乘積為定值r2,所以,當(dāng)R=■即R=r時,R+■有最小值,分母有最小值,故電源的輸出功率有最大值,而且最大值等于Pm=■。換句話說,當(dāng)外電路的電阻等于電源內(nèi)阻時,電源的輸出功率最大。

        2.由不等式a+b≥2■(a>0,b>0)變形可得到,ab≤(■)2,

        那么,在兩數(shù)和為定值的情況下,當(dāng)兩數(shù)相等時,它們的乘積有最大值。

        例3.把一電量Q分為q和Q-q的兩部分,使它們相距一定距離,若想使它們之間有最大的斥力,則Q和q的關(guān)系如何?

        解析:由庫侖定律公式F=k■可知,兩電荷之間的庫侖力與它們電量的乘積成正比,要想F有最大值,也就是讓q(Q-q)有最大值;又因q與(Q-q)兩數(shù)和為定值Q,當(dāng)兩數(shù)相等時,即q(Q-q)或q=■時,q(Q-q)乘積有最大值,F(xiàn)有最大值。所以說,當(dāng)它們之間有最大斥力時,Q和q的關(guān)系為q=■。

        三、利用數(shù)學(xué)相似三角形知識求解物理習(xí)題

        例4.如圖2所示,光滑半圓柱面,其中心軸線過O點與地面平行,在O點的正上方有一個不計摩擦的小定滑輪Q,跨過Q的一條輕繩,一端連在小球P上,當(dāng)另一端在F作用下使小球沿柱面緩慢上升時,設(shè)繩中拉力大小為T,小球重力為G,小球受柱面支持力大小為N,同時圓柱的半徑為R,滑輪到圓柱頂部的距離為h,Q與P之間的繩長為L,求①拉力T和支持力N;②在上升過程中,拉力T和支持力N怎樣變化?

        解析:①圖2中兩個三角形相似,根據(jù)對應(yīng)邊的比例相等,可以得出■=■=■,所以N=■R,T=■L;

        ②當(dāng)小球上升時,繩長變短即L變小,所以拉力T變小,而支持力N不變。

        四、數(shù)學(xué)圖象在物理中的廣泛應(yīng)用

        1.運動學(xué)中的速度-時間圖象(即v-t圖象),圖象與橫軸所包圍的面積可以代替物體的位移。

        例5.一輛汽車從靜止開始由甲地出發(fā),沿平直公路開往乙

        地,汽車先做勻加速運動,接著做勻減速運動,開到乙地剛好停止。其速度圖象如圖3所示,那么0~t0和t0~3t0兩段時間內(nèi)位移的比值是多少?

        解析:根據(jù)面積代表位移的原理,由圖3可以算出兩個三角形的面積之比為1∶2,所以兩段時間內(nèi)位移的比值也是1∶2。

        ②勻變速直線運動的v-t圖象是一條直線,直線的斜率則表示物體的加速度。通過斜率的大小可以判斷物體加速度的大小關(guān)系。

        ③解析:根據(jù)v-t圖象的斜率表示物體加速度的原理,可以得到圖3中的a1>a2。

        五、數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識在物理解題中的應(yīng)用

        數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識在矢量的合成與分解中廣泛應(yīng)用,尤其是在力的合成與分解中應(yīng)用廣泛。

        例6.如圖4所示,傾角為θ的斜面上靜止了一個質(zhì)量為m的物體,求斜面對物體的支持力FN和摩擦力Ff各是多少。

        解析:把重力進(jìn)行正交分解,如圖4所示,在直角三角形中,利用三角函數(shù)知識可以得到,重力的兩個分力大小分別為G1=mgsinθ,G2=mgcosθ再根據(jù)平衡條件可以得到支持力FN=mgcosθ,而摩擦力Ff=mgsinθ。

        以上是幾種數(shù)學(xué)知識在物理解題中的簡單應(yīng)用,當(dāng)然還會有更多的數(shù)學(xué)方法廣泛地應(yīng)用在物理解題中。在物理解題中,巧妙地選用解題方法,往往會收到事半功倍的效果,而且用數(shù)學(xué)知識解決物理問題,經(jīng)常會收到這種事半功倍的效果。所以,在物理教學(xué)中,教師應(yīng)該更加注重培養(yǎng)學(xué)生的這種用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。

        (作者單位 天津市濱海新區(qū)大港油田第三中學(xué))

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