崔靜偉，雷賢卿，王海洋，牛 屾，侯少帥

（河南科技大學 機電工程學院，洛陽 471003）

0 引言

平面曲線輪廓，如漸開線、橢圓和擺線輪廓等在工程中被廣泛應用，因此曲線輪廓度測量、識別和誤差評定成為輪廓度測量的重要內容[1]。如為了使發(fā)動機活塞能與汽缸良好地貼合，提高發(fā)動機熱能效應，常將活塞截面加工成中凸變橢圓的幾何形狀[2]。這種中凸變橢圓的活塞裙部形線較為復雜、輪廓加工精度要求較高。因此，研究橢圓輪廓度誤差評價方法對保證活塞及其他橢圓輪廓零件的加工質量有重要的意義。

關于橢圓輪廓度誤差的評定，國家標準尚未給出明確的定義，也沒有給定一種特定的評定算法求解橢圓輪廓度誤差。近年來國內外學者開展這方面的研究較少，取得了一些研究成果。比較有代表性的成果有劉書桂等[3]基于最小二乘原理的橢圓誤差的評價方法。鄒益民等[4]基于幾何距離的擬合算法。侯宇等[5]采用有效集法進行數(shù)據(jù)處理。陳基偉[6]提出的橢圓直接擬合算法。T.S.R.Murthy[7]提出的正交最小二乘法、二項高斯分布法和基于代數(shù)距離的最小二乘法來評定橢圓輪廓度誤差。這些評定方法對于橢圓誤差的評定都有一定的作用和效果。

本文通過平面任意位置橢圓方程、橢圓法線方程特點和橢圓本身性質，利用最小二乘原理實現(xiàn)對平面任意位置橢圓輪廓度誤差的評定。

1 最小二乘橢圓擬合

設平面任意位置橢圓（如圖1所示）方程為：

設Pi( xi, yi) （ i = 1 ,2,...,N）為橢圓輪廓上的N(N≥5)個測量點，依據(jù)最小二乘原理，所擬合的目標函數(shù)為：

欲使F為最小，須使

由此可得正規(guī)方程：

解方程(3)可得到A,B,C,D和E的值，由參考文獻[3]可得到擬合出的最小二乘橢圓的五個主參數(shù)：位置參數(shù) (θ ,x0, y0)及形狀參數(shù)(a, b) 。

圖1 平面任意位置橢圓及測量點與最小二乘橢圓關系圖

表1 測量數(shù)據(jù)（mm）

表2 數(shù)據(jù)處理結果

2 確定過測量點的橢圓法線與最小二乘橢圓的交點

如圖1所示，設點 Mi( Xi, Yi) 為過測量點pi(xi, yi)的橢圓法線與最小二乘橢圓的交點，由于交點 Mi( Xi, Yi) 既在法線上又在最小二乘橢圓[9]上，即點 M ( Xi, Yi)滿足方程組：

3 判斷各測量點 p i的位置

設擬合出的最小二乘橢圓的兩個焦點為F1(xm1,ym1)和F2(xm2, ym2)（如圖1所示）。依據(jù)橢圓的性質可得：

測量點 pi點到兩焦點的距離之和 d di為：

與求在可行路徑 P1上的最短時間一樣，可求得在可行路徑 P2上的最短時間是T2=96. 5632秒。

所以從 O → A 的最短時間T= m in{T1,T2}=94. 2283秒，最短時間路徑如上所述。

當 d d

i

≥2a時，p

i

在橢圓的外側；當dd

i

＜2a時，p

i

在橢圓的內側。

4 計算橢圓的形狀誤差

每個測量點 pi(xi, yi) 到最小二乘橢圓的法向距離為:

其中點 Mi(Xi, Yi)為過測量點 pi(xi, yi)且沿法線方向與最小二乘橢圓的交點，當測量點位于最小二乘橢圓外側時， d (i)取正值；當測量點位于最小二乘橢圓內側時， d(i)取負值。

依據(jù)形狀誤差的定義可以知道，被測橢圓的形狀誤差為：

5 實例驗證

為了檢驗算法的正確性和可靠性，用計算機模擬發(fā)生具有不同幾何中心位置、長短半軸大小的橢圓數(shù)據(jù)，用本算法對其進行形狀誤差評定，其結果與理論值之差均在計算機字長所表達的數(shù)度范圍內。對文獻[6]中數(shù)據(jù)(表1)進行了計算比較，測量數(shù)據(jù)處理結果如表2 所示。

本文通過計算各測量點沿法線方向到最小二乘橢圓的最小距離對橢圓進行的誤差評定，文獻[6]則是按連心線方向計算的測量點到理想輪廓偏差的方法進行的橢圓誤差評定。文獻[6]數(shù)據(jù)是一組標準橢圓中加入測量誤差 δ =±0 .003m 的數(shù)據(jù)，由表2可以看出，兩種方法擬合出的理想橢圓主參數(shù)相近，而本文的誤差評定結果顯示與原數(shù)據(jù)設置的誤差相吻合，測量更精確。

6 結束語

本文基于最小二乘原理，利用橢圓方程及橢圓法線方程特點，找到測量點沿法線方向到最小二乘橢圓的距離，實現(xiàn)對平面任意位置橢圓的最小二乘精確評定，無需進行坐標轉換且準確度更高。

[1] 李秀明,石照耀.基于方程的橢圓輪廓度的評定[J].北京工業(yè)大學學報,2009, (35):1303-1307.

[2] 樊玉銘. 活塞中凸形線和橢圓曲線光學測量方法的研究[J].計量學報,2003,(4) : 286-288.

[3] 劉書桂,李蓬,那永林.基于最小二乘原理的平面任意位置橢圓的評價[J].計量學報,2002,23(04): 245-247.

[4] 鄒益民,汪渤.一種基于最小二乘的不完整橢圓擬合算法[J].儀器儀表學報,2006,27(7): 808-812.

[5] 侯宇, 張競, 崔晨陽.復雜線輪廓度誤差坐標測量的數(shù)據(jù)處理方法[J]-計量學報.2002, 23(1) : 12-16.

[6] 陳基偉. 橢圓直接擬合算法研究[J] .工程勘察，2006，(6): 49-51.

[7] T.S.R. Murthy. Methods for evaluation of elliptical profiles [J]. Intemational Journal of Machine Tools and Manufacture．1985，25(4)：299-312.

[8] 關江,高啟書,孫淑艷.確定隱函數(shù)中參數(shù)的最小二乘法[J] .齊齊哈爾大學學報,2005,21(1): 85-87.

[9] 王宇華.橢圓輪廓的評定方法及其計算機模擬[J].佛山大學學報,1992,10 (6):27-31.