劉喜玲，霍振宏，陳留強(qiáng)

(1.中原工學(xué)院 a.信息商務(wù)學(xué)院;b.理學(xué)院，鄭州 450007;2.鄭州交通職業(yè)學(xué)院，鄭州 450062)

環(huán)面自映射ω-極限集軌道的漸近性

劉喜玲1a，霍振宏1b，陳留強(qiáng)2

(1.中原工學(xué)院 a.信息商務(wù)學(xué)院;b.理學(xué)院，鄭州 450007;2.鄭州交通職業(yè)學(xué)院，鄭州 450062)

迭代;周期點(diǎn);軌道;ω-極限集

0 引言

ω-極限點(diǎn)是由周期點(diǎn)的概念推廣而得到的概念，是動(dòng)力系統(tǒng)中的重要概念，而軌道則是動(dòng)力系統(tǒng)研究的基本對(duì)象。早在60年代，對(duì)于線段上的連續(xù)自映射，A.N.Sarkovskii給出了f的非游蕩點(diǎn)的任意聚點(diǎn)，都是f的ω-極限點(diǎn);80年代，A.Blockh給出了ω(f)=Ω(f)∩f(Ω(f))∩f2(Ω(f))∩…;熊金城則證明了ω-極限集是非空閉子集，且相對(duì)于f而言是強(qiáng)不變的。本文則在此基礎(chǔ)上介紹了環(huán)面上連續(xù)自映射的ω-極限集軌道的漸近性質(zhì)。

1 相關(guān)概念

設(shè)X為環(huán)面上的緊致度量空間，記X上的全體連續(xù)自映射的集合為C0(X)。

設(shè)f∈C0(X)，用f0表示恒等映射，對(duì)任何自然數(shù)n，歸納地定義:

設(shè) f∈ C0(X)，?(x，y)∈ X。如果存在整數(shù) n ＞ 0，使得 fn(x，y)=(x，y)，則稱(x，y)為 f的周期點(diǎn)，并把使fn(x，y)=(x，y)成立的最小正整數(shù)n稱作它的周期。f的全體周期點(diǎn)的集合，記作P(f)。

設(shè) f∈ C0(X)，?(x，y)∈ X。如果存在整數(shù) n ＞ 0，使得 fn(x，y)=(x，y)，則稱(x，y)為 f的周期點(diǎn)，并把使fn(x，y)=(x，y)成立的最小正整數(shù)n稱作它的周期。f的全體周期點(diǎn)的集合，記作P(f)。

設(shè)f∈C0(X)，集合A?X稱為f的不變集，如果f(A)?A;如果f(A)=A，則稱A為f的強(qiáng)不變集。

設(shè) f∈C0(X)，(x，y)∈X。若存在整數(shù)n ＞ 0和p∈P(f)，以及p的鄰域P(x，y)，使得fn(x，y)∈U(p)，則稱(x，y)為f的漸近周期點(diǎn)，記f的漸近周期點(diǎn)集為AP(f)。當(dāng)存在k＞0，使得fn(x，y)∈P(f)時(shí)，則稱(x，y)為f的終于周期點(diǎn)，記f的終于周期點(diǎn)集為EP(f)。

2 相關(guān)命題

命題 1 設(shè)f∈C0(X)。若(x，y)∈P(f)，則ωf(x，y)={x，f(x)，…，fn-1(x)}，其中n≥1 是(x，y)的周期。

此命題的證明是顯然的。

命題2 設(shè)f∈C0(X)，若(x，y)∈X，則ωf(x，y)是X的非空閉子集，且相對(duì)于f而言ωf(x，y)是強(qiáng)不變的。

證明 Orbf(x，y)是緊致度量空間X上的一個(gè)序列，因此它有子序列收斂到X上某一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)包含在ωf(x，y)內(nèi)，故ωf(x，y)不空。ωf(x，y)的閉性可由定義直接得到。

而由f是連續(xù)自映射知，f和 f-1的連續(xù)性，顯然 f(ωf(x，y))?ωf(x，y)，而且有

命題3 設(shè)f∈C0(X)。若(x，y)∈X，則對(duì)任意整數(shù)n ＞0，有

推論1 設(shè) f∈C0(X)，若(x，y)∈ X，則對(duì)任意整數(shù) n ＞ 0，ωf(x，y)= ωfn(x，y)。

換言之，映射f的ω-極限集可迭代。

證明 設(shè)(x，y)∈X，顯然有 ωfn(x，y)? ωf(x，y)。另一方面，根據(jù)命題3，知

從而

命題4 設(shè)f∈C0(X)。若(x，y)∈X，則(x，y)?AP(f)蘊(yùn)涵ωf(x，y)不可數(shù)。

證明 設(shè)(x，y)?AP(f)。先設(shè)ωf(x，y)有限而導(dǎo)致矛盾。這時(shí)ωf(x，y)中的每一點(diǎn)都是f的終于周期點(diǎn)，因而ωf(x，y)有f的周期點(diǎn)。

不妨設(shè)(x0，y0)∈ωf(x，y)是f的周期點(diǎn)，其周期為n≥1。取(x，y)的任一鄰域U(x，y)，顯然存在足夠大的 k ＞ 0，使得當(dāng) l ＞ k時(shí)，有 fl(x，y)∈ U(x，y)。不妨設(shè) fl(x，y)∈ U(x0，y0)? U(x，y)。于是

易見有，

這蘊(yùn)涵

即(x，y)為f的漸近周期點(diǎn)，與假設(shè)矛盾。上面證明了ωf(x，y)不可能是有限的。

下設(shè)ωf(x，y)無限但可數(shù)。易見ωf(x，y)無孤立點(diǎn)。令

取(x1，y1)的鄰域 U(x1，y1)，則存在 n1＞ 0，使得(xn1，yn1)∈ U(x1，y1)且

這就證明了ωf(x，y)是不可數(shù)的。

推論2 設(shè)f∈C0(X)。若(x，y)∈X，則ωf(x，y)或是由f的一條周期軌道組成，或不可數(shù)。

［1］熊金城.線段映射的動(dòng)力體系:非游蕩集，拓?fù)潇匾约盎靵y［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1988，17(1):1-11.

［2］周作領(lǐng).一維動(dòng)力系統(tǒng)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)刊，1988，3(1):42-65.

［3］張景中，熊金城.函數(shù)迭代與一維動(dòng)力系統(tǒng)［M］.成都:四川教育出版社，1992.

［4］張偉年.動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社;海德堡:施普林格出版社，2001.

［5］金渝光.關(guān)于自映射的周期點(diǎn)集［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1995，12(4):35-38.

［6］劉喜玲.環(huán)面自映射在拓?fù)淇臻g中的提升［J］.長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，17(2):8-9.

［7］霍瑞麗.動(dòng)力系統(tǒng)中幾個(gè)概念之間的聯(lián)系［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，27(3):125-130.

［8］林銀河.拓?fù)淇臻g中序列的聚點(diǎn)集與軌道的ω-極限集［J］.長春師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，25(2):16-17.

Asymptotic Property of ω-Limit Set Orbit in Self-mapping for Torus

LIU Xi-ling1a，HUO Zhen-hong1b，CHEN Liu-qing2
(1a.College of Information and Business;b.College of Science，Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China;2.Zhengzhou Jiaotong Vocational College，Zhengzhou 450062，China)

iteration;periodic point;orbit;ω-limit set

O189.1

A

1009-3907(2013)12-1588-02

2013-10-18

劉喜玲(1981-)，女，河南許昌人，講師，碩士，主要從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究。

責(zé)任編輯:

程艷艷