宋 浩，黃 彥，鄧志揚(yáng)，朱泉水

（南昌航空大學(xué)，江西 南昌 330063）

在電磁學(xué)中，通電直導(dǎo)線、環(huán)形線圈（如亥姆赫茲線圈）以及通電螺線管等可以定量地計(jì)算出它們的周圍空間的磁場(chǎng)大小及分布，并有十分形象的圖形表示。但是特殊形狀的磁體及組合的靜磁場(chǎng)分布的定量計(jì)算是十分復(fù)雜的，因此也無(wú)法準(zhǔn)確而形象地描繪出磁場(chǎng)分布圖[1]。在實(shí)際的應(yīng)用研究中，往往要構(gòu)造一些特殊形狀和組合的永磁體達(dá)到科學(xué)研究實(shí)驗(yàn)和工業(yè)應(yīng)用所需磁場(chǎng)分布要求，比如科學(xué)史上著名的原子空間取向量子化實(shí)驗(yàn)——史特恩—蓋拉赫實(shí)驗(yàn)[2]、工業(yè)應(yīng)用較為廣泛的磁懸浮陀螺[3，4]。盡管工程電磁場(chǎng)計(jì)算提供了各種數(shù)值計(jì)算方法，方便程度和功能與目前計(jì)算機(jī)的有限元模擬軟件如ANSYS、ANSOFT Maxwell、COMSOL等仍無(wú)法比擬。因?yàn)镃OMSOL Multiphysics具有優(yōu)秀的多物理場(chǎng)耦合功能，且目前利用此軟件在靜磁場(chǎng)分布公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)較少，文章中特列舉了幾組形狀比較特殊的永磁體及其組合，利用COMSOL模擬它們周圍空間磁場(chǎng)分布并分析磁場(chǎng)梯度的變化。

以下模型都是在COMSOL的 “磁場(chǎng)，無(wú)電流”的應(yīng)用模式下進(jìn)行模擬的。它的外部環(huán)境條件為：溫度T＝293.15K，絕對(duì)壓力PA＝1atm。在靜磁學(xué)中沒(méi)有電流存在，可以通過(guò)使用標(biāo)量磁勢(shì)解決。由▽×H ＝0，可以定義磁標(biāo)量勢(shì)Vm，H ＝ - ▽Vm。磁化的本構(gòu)關(guān)系為B＝μ0（H＋M），又因?yàn)楱? B＝0，本構(gòu)關(guān)系變形可以得出：，此式給出了標(biāo)量磁勢(shì)與磁化強(qiáng)度的關(guān)系[5]。所以“靜磁場(chǎng)，無(wú)電流”的應(yīng)用模式的穩(wěn)態(tài)方程另外，由磁場(chǎng)中零磁標(biāo)勢(shì)面選取的任意性[6]，為了計(jì)算的方便，一般選在磁體的對(duì)稱平面上。在滿足邊界條件時(shí)，對(duì)模型設(shè)置合適的網(wǎng)格劃分，將采用有限元法[7－9]，將相應(yīng)的邊值問(wèn)題最終歸結(jié)為一組多元的代數(shù)方程求解，能很快地計(jì)算出模型中空間各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度等物理量。

1 圓柱體永磁體磁場(chǎng)力探測(cè)模擬和實(shí)驗(yàn)

一塊圓柱形永磁體周圍分布磁場(chǎng)，用一個(gè)尺寸很小的圓柱形磁體去試探這個(gè)磁場(chǎng)，當(dāng)小磁體所受的磁場(chǎng)力與自身重力相等（F＝mg）時(shí)，小磁體相對(duì)大圓柱磁體的上表面距離h。利用模擬和實(shí)驗(yàn)的方法分別獲得這個(gè)距離，以進(jìn)行模擬和實(shí)驗(yàn)的比較。

1.1 COMSOL模擬

大圓柱形磁體（中心帶孔），外半徑R1＝0.038m，內(nèi)半徑r1＝0.002 5m，高為h1＝0.032m，底面處于XY面；小圓柱磁體（中心帶孔），外半徑R2＝0.006 7m，內(nèi)半徑r2＝0.001m，高為h2＝0.006 4m，小磁體懸浮在大磁體的正上方。外部邊界為半徑0.1m、高度0.25m的圓柱，網(wǎng)格最大單位0.005m。磁體外部、邊界以內(nèi)的所有材料均是空氣。整個(gè)模型內(nèi)部磁通量守恒，大圓柱磁體的磁化強(qiáng)度M大小為750kA／m，方向?yàn)檠豘軸的正向。小圓柱磁體的磁化強(qiáng)度大小與大圓柱相等，但方向相反，其所受電磁力方向與重力相反。選擇經(jīng)過(guò)大圓柱磁體中心且平行底面的平面作為零磁標(biāo)勢(shì)面。磁體的密度為ρ＝7 500kg／m3。計(jì)算電磁力的方程為[8－9]中I為二階單位張量。計(jì)算的是小磁體表面所受的沿著Z軸正向電磁力的積分。模擬示意圖如圖1。

圖1 平衡點(diǎn)附近磁場(chǎng)分布圖（磁感應(yīng)強(qiáng)度單位特斯拉T，以下各圖相同）

1.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由于在真實(shí)情況中，自然狀態(tài)下的靜磁懸浮是不穩(wěn)定的，為防止小磁體發(fā)生翻轉(zhuǎn)，將表面涂有潤(rùn)滑油直徑約2mm的銅桿穿入大磁體和小磁體中并保持與磁體的Z軸重合。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮趲缀闻c物理特性參數(shù)上盡量與模擬保持了一致。小磁體從銅桿上自由垂落，等待小磁體自然穩(wěn)定在某個(gè)高度，用直尺測(cè)出小磁體與大磁體上表面的平衡距離并記錄，見(jiàn)表1。

表1 實(shí)測(cè)小磁體的平衡距離

實(shí)測(cè)小磁鐵平衡距離為13.30±0.17cm，模擬結(jié)果與之相差0.5cm左右，主要差別的來(lái)源：（1）實(shí)驗(yàn)中大小磁體的磁化強(qiáng)度比模擬的標(biāo)準(zhǔn)磁化強(qiáng)度值偏大；（2）模擬的網(wǎng)格不夠精細(xì)，但是精細(xì)的網(wǎng)格又會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量急劇增加；（3）實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，小磁體受到翻轉(zhuǎn)磁力矩的作用對(duì)細(xì)銅桿產(chǎn)生側(cè)向壓力，有可能產(chǎn)生與重力相反的縱向靜摩擦力，相應(yīng)會(huì)增加小磁體與大磁體表面間距。因此，模擬數(shù)據(jù)是可信的，模擬的方法是正確的。

2 特殊形狀永磁體

圖2 相對(duì)放置磁體的磁場(chǎng)

2.1 兩塊相同的相對(duì)放置磁體

幾何形狀完全相同的兩塊磁體，長(zhǎng)0.06m，寬為0.01m，之間的氣隙距離可調(diào)。外部邊界長(zhǎng)、寬都為0.3m。磁體磁化強(qiáng)度大小為750kA／m，沿著Y軸正方向。除磁體外其余部分為空氣。零磁標(biāo)勢(shì)面選在兩磁體的氣隙中心水平線上。模型圖見(jiàn)圖2（a）。通過(guò)對(duì)稱操作，可以推廣到圓柱體模型。

從圖2（b）可以看出，磁體的表磁分布是中心小兩端大；兩塊磁體的氣隙中心平面的磁場(chǎng)分布是中心變化小，兩端急劇減??；中心平面上存在一個(gè)區(qū)域磁場(chǎng)分布比較均勻，并且這一區(qū)域沿Y方向一定范圍內(nèi)磁場(chǎng)分布也是較均勻的，可認(rèn)為這個(gè)空間范圍是勻強(qiáng)磁場(chǎng)。圖2（c）表示磁場(chǎng)分布的均勻性與氣隙有關(guān)，氣隙較小時(shí)在中心平面會(huì)出現(xiàn)“阱”形磁場(chǎng)分布。

不同氣隙間距時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的均勻性由表2給出，這里在中心平面上中心附近[-0.01，0.01]磁場(chǎng)的不均勻度為

表2 不同氣隙的磁場(chǎng)不均勻度

從表2看出，本模型在氣隙2.5cm處不均勻度最接近零，隨著氣隙的增加不均勻度會(huì)以較大的絕對(duì)值非單調(diào)變化。當(dāng)氣隙距離為2.5cm時(shí)，改變磁體長(zhǎng)度L，磁體表面中心點(diǎn)及氣隙中心點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化見(jiàn)表3。它反映出中心沿Y軸的磁場(chǎng)分布的均勻性與磁體尺寸有關(guān)，但并不表現(xiàn)單調(diào)的變化函數(shù)關(guān)系。

表3 中心縱向磁場(chǎng)分布

2.2 環(huán)形磁體

圓環(huán)的內(nèi)外半徑分別為0.03m和0.02m，高0.02m。外部邊界為半徑為0.1m，高為0.1m的圓柱體。環(huán)形磁體的磁化強(qiáng)度大小為750kA／m，方向?yàn)檠豘軸正向。除環(huán)形磁體外，其它區(qū)域均為空氣。模擬圖形見(jiàn)圖3（a）。

圖3 環(huán)形磁體的磁場(chǎng)

從圖3（b）～（c）可看出，磁體的表磁大于其它空氣空間磁場(chǎng)，環(huán)內(nèi)磁場(chǎng)顯“阱”形分布，并且距中心越近這種分布越明顯，環(huán)內(nèi)Z軸上的磁場(chǎng)最小。從圖3（d）看出，在Z軸上隨著高度絕對(duì)值增加磁場(chǎng)逐漸衰減致零，在[0.01，0.02]或[-0.02，-0.01]這一區(qū)域，Z軸上磁場(chǎng)變化近似線性關(guān)系，也就是這一區(qū)域磁場(chǎng)梯度可看成常數(shù)。

2.3 具有磁回路的磁體

長(zhǎng)為0.06m，寬度0.01m的長(zhǎng)方形。中間氣隙間距為0.025m。磁軛上下對(duì)稱，上部矩形長(zhǎng)為0.1m，寬0.02m，左邊矩形為長(zhǎng)0.02m，寬0.085m。外部邊界為：長(zhǎng)0.2m，寬為0.2m的長(zhǎng)方形。模型位于中心。兩塊長(zhǎng)方磁體的磁化強(qiáng)度大小為750kA／m，方向?yàn)檠刂鳼軸的正向。磁軛材料為鐵。其它區(qū)域部分為空氣。選取過(guò)氣隙中心平行磁體的表面的平面零磁標(biāo)勢(shì)面，見(jiàn)圖4。

圖4 磁回路的磁場(chǎng)

此模型磁體與兩塊相同磁體相對(duì)放置的一樣，只是將它們與磁軛一起組成了回路。整個(gè)磁感線在磁場(chǎng)的回路中，在氣隙區(qū)域，邊界磁感線發(fā)生彎曲，減少了磁場(chǎng)損失。氣隙中心磁場(chǎng)分布與圖2（a）模型相似，但磁感應(yīng)強(qiáng)度大小提高了約2倍。同時(shí)由磁體表面的磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化可知，靠近磁軛的一面會(huì)受到磁軛的影響，使其磁感應(yīng)強(qiáng)度最大值小于另一端。

將下磁體改為三角磁體，底部長(zhǎng)方體長(zhǎng)為：長(zhǎng)0.08m，寬0.02m。三角頂端高0.03m。上磁體改為一個(gè)長(zhǎng)0.12m，寬0.06m的長(zhǎng)方形和下底邊重合的長(zhǎng)0.1m，寬0.04m的長(zhǎng)方形的布爾差運(yùn)算組合成的凹槽。緊挨凹槽的長(zhǎng)方形長(zhǎng)為：0.02m，高0.01m。上方的矩形從右到左為：長(zhǎng)0.05m，寬0.02m。長(zhǎng)0.08m，寬0.02m的矩形，與下方的完全一樣。長(zhǎng)0.02m，寬0.12m。外部邊界：邊長(zhǎng)為0.3m的正方形。模型位于正方形的中心區(qū)域。底座的長(zhǎng)方形和三角形磁體的磁化強(qiáng)度大小仍是750kA／m，方向沿著Y軸的正向。磁軛及凹槽是鐵。其余部分均為空氣。模型圖形見(jiàn)圖5（a）。

圖5 凹槽與三角磁體的磁場(chǎng)

圖5（a）中，在凹槽與三角磁體相對(duì)的氣隙中，部分磁感線從三角形頂端附近流向了凹槽內(nèi)部，另外三角形兩端的磁感線則回到了磁體的底部。相對(duì)上一模型的方形磁體，氣隙內(nèi)部的磁感線減少，磁感應(yīng)強(qiáng)度減小。但是，若是減小凹槽內(nèi)表面到三角頂端的距離，則可以將磁感線大部分集中到凹槽內(nèi)。從圖（b）可以看出，隨著凹槽到三角磁體的距離增加，三角磁體頂端表磁減小不明顯，但凹槽內(nèi)表面表磁卻減小明顯。在凹槽內(nèi)表面到三角磁體頂端沿Y軸的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布中，有一段磁場(chǎng)增加平緩，可以近似看成是恒磁場(chǎng)梯度，這一范圍比圖3（d）模型要大得多。

3 結(jié) 論

通過(guò)COMSOL“靜磁場(chǎng)，無(wú)電流”的應(yīng)用模式給出了相對(duì)放置的永磁條、具有磁回路結(jié)構(gòu)的磁軛磁極、環(huán)形磁體的磁場(chǎng)分布圖。對(duì)于兩塊完全相同的永磁體相對(duì)放置，通過(guò)調(diào)節(jié)氣隙間隙和改變磁體的長(zhǎng)度，能產(chǎn)生一個(gè)較大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。環(huán)形磁體特征是產(chǎn)生“阱”形磁場(chǎng)，而沿Z軸存在磁場(chǎng)變化近似線性關(guān)系的小范圍區(qū)域。在垂直軸線上對(duì)于磁軛、磁體、磁極等組成回路的組合，因減少了磁場(chǎng)在環(huán)境中的損耗，將絕大部分磁感線約束在了回路中，提高了氣隙中的磁場(chǎng)大小。利用三角形磁體與凹槽的組合的磁軛回路結(jié)構(gòu)，在氣隙區(qū)域Y軸上產(chǎn)生了較大區(qū)域的近似恒梯度磁場(chǎng)。

在需要靜磁場(chǎng)設(shè)計(jì)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)和演示實(shí)驗(yàn)中，如亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)分布測(cè)量、自旋磁懸浮、超導(dǎo)磁懸浮演示、磁力混沌演示、磁性液體浮力原理演示、能量轉(zhuǎn)化輪、原子空間取向量子化演示等，靜磁設(shè)計(jì)都是實(shí)驗(yàn)儀器制作甚至演示是否成功的關(guān)鍵。希望能為物理實(shí)驗(yàn)儀器的自制，在磁場(chǎng)設(shè)計(jì)方面提供一個(gè)簡(jiǎn)便有效的方法實(shí)例。

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