畢 升，葉紅軍

（空軍工程大學(xué)，陜西 西安 710051）

隨著科學(xué)研究和工程技術(shù)中對(duì)于靜電場(chǎng)的應(yīng)用以及人們對(duì)于靜電應(yīng)用和靜電現(xiàn)象研究的日益深入，近年來(lái)對(duì)于各類靜電場(chǎng)電位和電場(chǎng)強(qiáng)度的分布的了解也是越來(lái)越迫切［1］。電場(chǎng)強(qiáng)度E和電位V是兩個(gè)用來(lái)描述靜電場(chǎng)的基本物理量，由于標(biāo)量在計(jì)算中和測(cè)量上要比矢量簡(jiǎn)單得多，所以靜電場(chǎng)的模擬實(shí)驗(yàn)中對(duì)靜電場(chǎng)的研究往往通過(guò)描繪出其電勢(shì)分布來(lái)進(jìn)行。但是即便是這樣，想直接測(cè)量出靜電場(chǎng)的分布仍然是相當(dāng)困難的。首先，靜電場(chǎng)是指對(duì)于觀察者靜止的電場(chǎng)，場(chǎng)區(qū)不能有電荷運(yùn)動(dòng)，所以不能用伏特計(jì)直接測(cè)量其電勢(shì)。其次，當(dāng)探針?lè)湃氪郎y(cè)的靜電場(chǎng)內(nèi)時(shí)，由于靜電感應(yīng)，探針會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷，這些電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加在原電場(chǎng)上，將會(huì)使原電場(chǎng)發(fā)生明顯的畸變，測(cè)量將會(huì)失去意義?；谝陨蟽牲c(diǎn)原因，傳統(tǒng)的靜電場(chǎng)模擬實(shí)驗(yàn)中實(shí)際利用靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒電流場(chǎng)具有相似的空間分布這一原理而進(jìn)行模擬的。因此，模擬實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到的是近似的電場(chǎng)分布圖，而本文中的利用計(jì)算機(jī)（MATLAB為代表）模擬實(shí)驗(yàn)則是從嚴(yán)格的靜電場(chǎng)公式出發(fā)，建立靜電場(chǎng)模型，運(yùn)用計(jì)算機(jī)（MATLAB）強(qiáng)大的圖形功能，獲得了更為準(zhǔn)確的靜電場(chǎng)等位線和電力線分布圖，從而更加成功地模擬了靜電場(chǎng)。

1 靜電場(chǎng)概述

靜電場(chǎng)是由靜止電荷（相對(duì)于觀察者靜止的電荷）激發(fā)的電場(chǎng)［2－3］。根據(jù)靜電場(chǎng)的高斯定理，靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線起始于正電荷或無(wú)窮遠(yuǎn)處，終止于負(fù)電荷或無(wú)窮遠(yuǎn)處，因此靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)；又從安培環(huán)路定理來(lái)說(shuō)，在靜電場(chǎng)中沿任何閉合路徑移動(dòng)電荷，靜電場(chǎng)所做的功為零，故靜電場(chǎng)又是保守場(chǎng)。由于靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)（位場(chǎng)），故用標(biāo)量電位φ來(lái)表征靜電場(chǎng)，它的單位是伏特（voltage）。電位亦稱電勢(shì)。電位是相對(duì)的，某點(diǎn)P的電位為從該點(diǎn)到某一參考點(diǎn)M（該點(diǎn)處電勢(shì)為零）移動(dòng)單位正電荷時(shí)，電場(chǎng)對(duì)其所做的功。參考點(diǎn)通常位于無(wú)窮遠(yuǎn)處，或者出于實(shí)用考慮，取地球表面為參考點(diǎn)。

2 傳統(tǒng)的靜電場(chǎng)模擬實(shí)驗(yàn)

靜電場(chǎng)的分布主要取決于電荷的分布［4］。由于帶電體周圍的靜電場(chǎng)分布在科學(xué)研究和工程技術(shù)中具有重要作用，因此對(duì)靜電場(chǎng)的研究的必要性由此可見(jiàn)。電位的分布常用來(lái)描繪靜電場(chǎng)，在傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中，通常采用穩(wěn)恒電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)的方法，即測(cè)量出與靜電場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的穩(wěn)恒電流場(chǎng)的電位分布，從而確定出靜電場(chǎng)的分布。

靜電場(chǎng)與穩(wěn)恒電流場(chǎng)是兩種不同本質(zhì)的物理場(chǎng)，但是在一定條件下兩者的數(shù)學(xué)形式（遵守的規(guī)律）相同，都遵守高斯定律，引入電位U之后，電場(chǎng)強(qiáng)度

對(duì)于靜電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度在無(wú)源區(qū)域內(nèi)滿足一下數(shù)學(xué)關(guān)系

而對(duì)于穩(wěn)恒電流場(chǎng)，電流密度j在無(wú)源區(qū)域內(nèi)也滿足以下積分關(guān)系

由此可見(jiàn)E和j在各自的區(qū)域內(nèi)滿足相同的數(shù)學(xué)規(guī)律。在相同邊界條件下，具有相同的解。因此我們可以用穩(wěn)恒電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)。在模擬條件上要保證電極形狀一定，電極電位不變，空間介質(zhì)均勻。

3 MATLAB計(jì)算軟件及其利用該軟件模擬靜電場(chǎng)

MATLAB是一種高效的科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言［5－6］。它將高性能的計(jì)算與可視化集成在一起，并提供了大量的內(nèi)置函數(shù)及工具箱，從而被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、控制系統(tǒng)、信息處理等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計(jì)工作。其典型應(yīng)用主要有科學(xué)計(jì)算、算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)采集、建模仿真和原型設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)分析研究和可視化、科學(xué)和工程繪圖、應(yīng)用開(kāi)發(fā)環(huán)境。因此用MATLAB是描繪靜電場(chǎng)的電場(chǎng)分布的有效工具之一。利用該軟件強(qiáng)大的實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化的功能，可以在能夠推導(dǎo)出靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)或電勢(shì)的合法公式甚至是測(cè)量出其足夠點(diǎn)處多場(chǎng)強(qiáng)或電勢(shì)值時(shí)，便可將靜電場(chǎng)的等電位線用二維或三維基本圖形和特殊圖形繪制出來(lái)，從而再利用正交原理將電場(chǎng)分布描繪出來(lái)。

利用該軟件模擬靜電場(chǎng)的最一般方法則是先將電位線或電場(chǎng)線的微分方程通過(guò)已有的物理和數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出來(lái)，然后在MATLAB中求解得到的方程并用相關(guān)的函數(shù)做出對(duì)應(yīng)圖形即可。下面就以最簡(jiǎn)單的等量異號(hào)點(diǎn)電荷系和同軸電纜的靜電場(chǎng)為例，利用MATLAB將其等電位線和電場(chǎng)線繪制出來(lái)以描述其靜電場(chǎng)的分布。（其他的靜電場(chǎng)類似于此過(guò)程）

3.1 等量異號(hào)的點(diǎn)電荷系電勢(shì)的分布：

（1）建立模型：XOY平面上在（2，0）和（－2，0）上分別有一帶正點(diǎn)的點(diǎn)電荷和一帶負(fù)電的點(diǎn)電荷［5］；

（3）利用MATLAB軟件進(jìn)行模擬后得到的結(jié)果如圖1～2所示：

圖1 等量異號(hào)點(diǎn)電荷系電勢(shì)分布

圖2 等量異號(hào)的點(diǎn)電荷系電場(chǎng)分布圖

3.2 同軸電纜的靜電場(chǎng)及電勢(shì)的分布：

（1）建立模型：空間內(nèi)有以Z軸為中心軸線的一長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體A（為方便建立模型，將其半徑忽略）和半徑為1的長(zhǎng)直圓筒導(dǎo)體B；

（2）推導(dǎo)出計(jì)算公式：經(jīng)推導(dǎo)可得出其電勢(shì)公式 U＝λ／（2π＊ε）＊In（r2／r）.（r2為導(dǎo)體B的半徑，r為點(diǎn)到導(dǎo)體A的距離）；

（3）利用MATLAB軟件進(jìn)行模擬運(yùn)行后的結(jié)果如圖3～4所示。

4 分析及結(jié)論

傳統(tǒng)的靜電場(chǎng)模擬實(shí)驗(yàn)是使用物理模擬法，借助與靜電場(chǎng)具有相同數(shù)學(xué)表達(dá)式和邊界條件的穩(wěn)恒電流場(chǎng)來(lái)模擬靜電場(chǎng)的一般方法。但是，傳統(tǒng)的靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)通常會(huì)存在較大的誤差。首先，實(shí)驗(yàn)是用穩(wěn)恒電流場(chǎng)來(lái)模擬靜電場(chǎng)，由于二者本質(zhì)上就不是同一性質(zhì)的物質(zhì)場(chǎng)，因此便直接決定了誤差的產(chǎn)生。其次，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中由于儀器誤差和操作不當(dāng)又會(huì)造成一定的誤差。因此，傳統(tǒng)的靜電場(chǎng)模擬不能夠足夠準(zhǔn)確地模擬出靜電場(chǎng)的真實(shí)分布。而從一定意義上來(lái)說(shuō)，利用計(jì)算機(jī)模擬靜電場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)由于省去了穩(wěn)恒電流場(chǎng)這一中間橋梁便至少?gòu)母旧弦欢ǔ潭鹊叵魅趿藢?shí)驗(yàn)的誤差。在科學(xué)研究和工程技術(shù)中利用此方法可以更加準(zhǔn)確地掌握靜電場(chǎng)從而可以更加廣泛地使用某些技術(shù)或達(dá)到事半功倍的效果。而在普通的物理學(xué)習(xí)和物理實(shí)驗(yàn)中，此方法的介入可以激發(fā)學(xué)生積極探索的思維。

圖3 同軸電纜的靜電場(chǎng)電勢(shì)分布圖

圖4 同軸電纜的靜電場(chǎng)電場(chǎng)分布圖

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［2］馬文蔚.大學(xué)物理［M］.北京：高等教育出版社，2006：232－234.

［3］張瑞杰，王靜.靜電場(chǎng)模擬描述實(shí)驗(yàn)的誤差分析和儀器改進(jìn)［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2012，25（3）：35－47.

［4］周莉英.靜電場(chǎng)的計(jì)算機(jī)模擬［D］.蘇州：蘇州大學(xué).

［5］張雅男，徐飛，葉影.MATLAB模擬靜電場(chǎng)與模擬靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)的比較［J］.物理與工程，2008：32－33.

［6］張笑天，楊 奮 強(qiáng).MATLAB7.x 基 礎(chǔ) 教 程 ［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008：46－49.