范晉偉 梅 欽 彭 浩 金愛韋 寧 堃 李海涌

1.北京工業(yè)大學，北京，100124 2.北京第二機床廠，北京，100165

0 引言

20世紀90年代以來，國內汽車工業(yè)、內燃機工業(yè)迅速發(fā)展，作為汽車、摩托車、內燃機的關鍵零件，凸輪軸的需求量越來越大。由于整個進排氣系統是由凸輪軸驅動的，故凸輪的形線精度對發(fā)動機性能的影響是極其關鍵的，凸輪軸的加工質量和加工效率將直接影響到我國汽車產品的質量和汽車工業(yè)的發(fā)展。

磨削加工是保證產品形位精度的最后一道工序，其加工精度將直接影響產品的質量。然而，由于數控凸輪軸磨床自身存在各種誤差因素的影響，導致凸輪廓形的加工精度極難保證。在這些誤差因素中幾何誤差對凸輪輪廓精度的影響最大。因此，如何克服磨床本身的幾何誤差，提高其加工精度是各國學者和企業(yè)普遍關注的問題。誤差補償法［1－2］克服了傳統誤差防止法造價昂貴、適用性差的缺點，作為提高加工精度的有效手段，得以迅速發(fā)展。誤差補償技術是通過分析數控凸輪軸磨床影響加工精度的幾何誤差來源，建立幾何誤差數學模型，經過對磨床的幾何誤差進行辨識和補償，從而提高加工精度的方法。本文重點研究的是凸輪軸磨削幾何誤差的建模和辨識方法。

1 建立數控凸輪軸磨床精密加工運動約束條件方程

近年發(fā)展起來的多體系統理論的誤差建模方法［3－5］全面考慮了影響機床精度的各項因素，以特有的低序體陣列來描述復雜系統，具有建模過程程式化、約束條件少、易于解決多體系統運動問題的特點。本文采用這一理論，提出了一種廣泛適用的、易于實現計算機自動編程的數控凸輪軸磨床幾何誤差模型的建模方法，使得建模過程程式化，排除了人為因素對模型推導過程的影響。

應用誤差補償技術提高數控凸輪軸磨床的幾何加工精度，關鍵在于數控系統對實際機床發(fā)出經過修正的精密數控指令，即在考慮數控機床運動誤差的情況下，得出修正的數控指令來控制刀具精確運動。為建立理想條件和實際條件下的數控凸輪軸磨床運動約束條件方程［6－7］，本文根據MKS8332A數控凸輪軸磨床的結構特點，在機床床身導軌、砂輪中心及凸輪軸工件上分別建立了多個動靜參考坐標系。圖1所示為MKS8332A數控凸輪軸磨床結構及各部件坐標參量，PT為實際砂輪中心在機床床身坐標系內的位置矢量，PW為某個凸輪中心坐標系內給定的理想砂輪中心在機床床身坐標系內的位置矢量。

圖1 MKS8332A磨床結構及各部件坐標參量示意圖

要使數控凸輪軸磨床能實現精密磨削，就必須保證在任意瞬時實際砂輪中心位置與理論砂輪路線的對應點完全一致，即PW＝PT，這便是數控機床精密加工條件約束方程。即

式中，rW為理論砂輪中心在工件坐標系中位置列陣；rT為刀具中心在刀具坐標系內位置列陣；［AOW］為誤差情況下凸輪軸體坐標系相對于床身坐標系的實際變換矩陣，A表示矩陣，O表示床身，W表示凸輪軸，其他依此類推；帶下標p、pe、s、se的矩陣分別表示體間理想靜止特征矩陣、體間靜止誤差特征矩陣、體間理想運動特征矩陣、體間運動誤差特征矩陣。

將參數具體化，便可得到該精密加工條件約束方程。表1為數控凸輪軸磨床各相鄰體間的變換矩陣列表。其中，x為砂輪滑臺位移，δx（x）、δy（x）、δz（x）、εx（x）、εy（x）、εz（x）分別為砂輪滑臺在運動過程中三個線位移和三個角位移誤差；εxz為X軸與Z軸垂直度誤差；θ為頭架頂尖回轉角；Δαyc、Δβxc為C軸與X軸、Y軸垂直度誤差；Δα（θ）、Δβ（θ）、Δγ（θ）、Δx（θ）、Δy（θ）、Δz（θ）為主軸回轉誤差和主軸徑向跳動誤差；Z為凸輪坐標系與凸輪左端面工件坐標系間距離；φ在下文中會有詳細介紹。在實際加工過程中，對于凸輪軸上每一個凸輪來說，工件滑臺部件的位置一旦調整確定，就不再做任何運動，對單個凸輪廓形的加工精度幾乎沒有影響，因而不考慮工件滑臺部件的運動誤差。

表1 MKS8332A數控凸輪軸磨床各相鄰體間的變換矩陣

從精密加工約束條件方程可以看出，只要通過砂輪滑臺沿X方向的適當移動和頭架頂尖沿C軸的適當轉動，使得工件在磨床床身坐標系中位置和刀具在磨床床身坐標系中位置始終嚴格保持一致，就可使凸輪廓形的幾何加工誤差趨于零。也就是說提高凸輪加工精度的問題就轉化為在考慮磨床幾何誤差因素影響下，給定什么樣的數控驅動指令值，使得凸輪廓形的幾何加工誤差趨于零的問題。

2 凸輪軸上各凸輪坐標系描述方法

圖2 凸輪軸上各凸輪坐標系示意圖

加工凸輪軸工件時，以工件左端面上中心孔和定位孔的連線作為工件的X軸。為了方便描述凸輪軸上每個凸輪輪廓，需要在每個凸輪上都建立一個凸輪坐標系。如圖2所示，設頭架頂尖坐標系繞Y軸順時針轉180°后的坐標系與凸輪左端面工件坐標系的夾角為φ，凸輪左端面工件坐標系與第一個凸輪桃尖夾角為θ1，則第一個凸輪坐標系與凸輪左端面工件坐標系夾角φ1＝φ±（90°－θ1），即表1中［AW3W］p中的φ可表示為：φ＝φ±（90°－θ1），當90°－θ1＞0時取正號，否則取負號。若第一個凸輪桃尖與第二個凸輪桃尖夾角為θ2，則第二個凸輪坐標系與凸輪左端面工件坐標系的夾角為φ2＝φ±［90°－（θ1＋θ2）］，即表1中［AW3W］p中的φ可表示為：φ＝φ±［90°－（θ1＋θ2）］。依次類推我們可以得到凸輪軸上不同方位的凸輪坐標系，即不同方位凸輪精密加工條件約束方程。

3 數控凸輪軸磨床幾何誤差參數辨識

要想通過精密加工約束方程準確計算該磨床各運動部件的運動情況，以達到誤差補償的目的，還必須建立一套準確的數控機床誤差參數辨識方法，以便獲得準確的運動誤差參數。對于機床直線導軌6項誤差，一般采用激光干涉儀用9線法［8］進行辨識；對于回轉軸的6項誤差，通常采用標準芯棒和五傳感器的方法［9］進行測量，單純依靠某種辨識方法是很難對磨床所有的誤差進行辨識的，若將幾種辨識方法結合起來則需要的檢測設

備又太多。本文利用多體系統理論的幾何誤差參數辨識模型［10-12］，結合球桿儀測量原理［13-15］提出了可以辨識所有幾何誤差的方法。

從該磨床運動模型的建立過程可以看出，影響凸輪廓形的幾何誤差有15項，這些誤差參數的辨識方法在下文進行詳細描述。

3.1 C軸運動5項幾何誤差參數辨識方法

在頭架頂尖坐標系O3中取一點P（xp0，yp0，zp0）。設ΔL＝ （Δx（θ），Δy（θ），Δz（θ），0）T表示點P在頭架繞C軸轉動θ角后，由于運動誤差的存在而產生的實際運動點和理想運動點的差值。則：

如圖3所示，球桿儀底座固定在C軸頭架上，另一端連于尾座頂尖處。建立磨床誤差模型時，我們只考慮了頭架安裝誤差和旋轉運動時產生的運動誤差，忽略了尾座頂尖與頭架間的安裝誤差，而假設兩者位于一條直線上，因為一旦兩者軸心不在一條直線上，即使在無誤差情況下也會產生桿長變化。

圖3 C軸誤差測量示意圖

球桿儀的兩球設為球A、球B，其中A球固接在C軸上隨C軸一起轉動，A球球心在頭架頂尖坐標系O3中的坐標為（x，y，z），C軸轉動θ角后，A球球心在頭架頂尖坐標系中的坐標為（x（θ），y（θ），z（θ）），將B球固定在尾座頂尖處，B球的球心坐標為（0，0，z1），設桿長為L，則有

求導得

因此可在C軸上選取6個測量點，測量出這6個點從0°～360°旋轉不同的角度所對應的桿長變化量，然后聯立式（1）、式（2）便可求出C軸旋轉時產生的6項旋轉運動誤差。通過分析，我們知道Δγ（θ）并不引起球桿儀桿長的變化，所以上述方程組得到的Δγ（θ）數值為不可信值，但在C－X軸聯動誤差辨識模型中我們可以將其求出。

但在實際情況下，頭架頂尖和尾座的軸心是不在一條直線上的。如圖3所示，設B球在X、Y方向的偏心量為m、n，即B球球心的坐標為（m，n，z1）。同理可得

求導得

由于引入了兩個未知量，只要增加兩個測點，即再增加兩組方程，仍可求得C軸旋轉時產生的旋轉運動誤差。此時，式（3）中的ΔL（θ）不再是球桿儀的桿長變化量，它必須減去頭架和尾座兩者軸心偏心所引起的變化d：

此時有ΔL（θ）＝ΔL－d。其中，ΔL為球桿儀的桿長變化量。

3.2 X軸運動幾何誤差參數辨識方法

在砂輪滑臺上取一點P（xp0，yp0，zp0）。 設ΔL＝（Δx（x），Δy（x），Δz（x），0）T表示點P在砂輪滑臺移動x距離后，由于運動誤差的存在，而產生的實際運動點和理想運動點的差值。則：

如圖4所示，球桿儀兩球分別設為A球、B球，將B球固定在磨床床身某點處，其在砂輪滑臺中坐標系設為（x0，y0，z0），把 A 球放在砂輪滑臺上隨砂輪滑臺一起移動（砂輪滑臺垂直紙面方向運動），A球放置時初始位置與B球的連線和X軸垂直，A球球心在砂輪滑臺坐標系O1中的坐標為（x0，y1，z1），砂輪滑臺移動距離x之后，A 球球心在砂輪滑臺坐標系中坐標為（x（x），y（x），z（x））。圖5為X軸運動示意圖，C點為A球理想位置，D點為A球實際位置。設砂輪滑臺移動距離x后桿長為L，則有

L2＝ （x（x）－x0）2＋ （y（x）－y0）2＋ （z（x）－z0）2

圖4 X軸誤差測量示意圖

圖5 X軸運動示意圖

求導得

在沒有運動誤差情況下：

所以

因此，可在X軸上選取6個不同測量點，測出這6個點在X向導軌運動不同位置時對應的桿長變化量，然后聯立式（5）～ 式（8）便可求出X軸運動時產生的6項運動誤差。

3.3 C－X運動軸聯動時部分幾何誤差參數辨識方法

當凸輪進入加工區(qū)域時，其Z向工件滑臺導軌不再移動。數控凸輪軸磨床的砂輪滑臺沿X向作往復進給運動的同時，磨床主軸沿C軸作變速的旋轉運動，這便是C－X運動軸聯動情況。如圖6所示，球桿儀底座固定在C軸頭架上，另一端固定在砂輪滑臺上。設BK體為頭架，BH體為砂輪滑臺，BJ體為機床床身，令rK表示pK點相對于BK體坐標系位置列陣，PKh表示pK點相對于BJ體坐標系位置列陣，rH表示pH點相對于BH體坐標系位置列陣，PHθ表示pH點相對于BJ體坐標系位置列陣。

圖6 C－X軸聯動誤差測量示意圖

BK體上pK點位置方程為

假設在初始位置（砂輪滑臺在機床床身上的位移量h＝0，θ＝0）時，各運動部件運動參數為零，且各運動件的所有幾何誤差參數也為零。當C－X軸聯動時，可得在BJ體坐標系內機床砂輪滑臺上給定點P1i相對于機床頭架頂尖上給定點P3i的相對位移方程：

若要轉角θ及進給量x使球桿儀桿長L保持不變，則上式各項都為零。從上述方程可以看出，第二個方程只有Δγ（θ）是未知量，依照上述方法在砂輪滑臺導軌上和頭架頂尖上分別確定一點即可求出Δγ（θ）；第一個方程只有εxz和Δγ（θ）是未知量，由于Δγ（θ）已經解出，按照上述方法可以很容易地解出εxz；第三個方程中Δβxc、Δαyc是未知量，在此可將其近似看作相等，即可求出這兩項誤差。然而，在C－X運動軸聯動情況下，當C軸轉動一圈時，X軸來回作兩次往復直線運動，X軸的位移和C軸轉動90°所對應的弧長是相等的，此時X軸兩端有極小部分無法運動到，由于X軸在加工過程中往復運動的位移很小，X軸所運動的范圍完全可以滿足該軸幾何誤差辨識范圍的需要。

4 精密數控加工指令值的迭代逆解方法

4.1 構造迭代求解方程

根據精密加工條件約束方程，無法直接對精密加工數控指令x、θ進行求解。需將方程中與磨床運動量x、θ有關的誤差參數用某一個已知的運動量即xi、θi所屬的誤差參數來替代，這樣便可解得更加精密的運動量xi＋1、θi＋1?？赏频茫?/p>

式（9）和式（10）即為精密數控加工指令值的迭代求解方程，其中θi＋1的具體取值根據砂輪路線列表點所在象限來決定。

4.2 確定迭代初值

求解迭代方程，必須先要給定一個迭代初值。本文以理想數控指令作為迭代初值，即假設該數控凸輪軸磨床不存在運動誤差，要加工凸輪廓形上某一點，求解對應的理想數控指令值，只要令精密加工約束條件方程中所有的運動誤差參數為零，就可得理想加工約束條件方程，即可確定理想數控指令迭代初值：

由上式可得理想數控指令值：

4.3 迭代求解的中止判別條件

為使精密數控加工指令值的迭代求解過程能夠在達到滿意的程度后停止繼續(xù)執(zhí)行，本文提出的迭代求解中止條件是：如果用本次迭代求解所得的精密加工指令值驅動數控磨床后，實際砂輪中心位置rT與理論砂輪中心位置rW間的誤差e′小于該數控磨床的運動分辨率，則迭代求解過程停止。

根據數控凸輪軸磨床精密加工條件方程，實際砂輪刀具中心位置rT為

因此該磨床精密數控指令迭代求解中止判別條件就可表示為

式中，Δx、Δy由數控凸輪軸磨床在X軸和C軸上的運動分辨率換算得出。

5 刀具路線的計算方法與曲線的擬合方法

本研究中，凸輪輪廓線偏置的計算方法即為理想刀具路線的計算方法。首先將各類凸輪廓形統一用點列表加以描述，再用三次樣條曲線來擬合所有的離散點，然后針對每個凸輪廓形列表點，計算該列表點處的圓弧法線方程，判別法線方向，凹／凸圓弧沿內外法線方向偏移一個砂輪刀具半徑，獲得該點所對應的砂輪中心路線上的一個列表點。以此方法，依次獲得磨削凸輪所需的砂輪刀具路線上的全部列表點。對于新的列表點我們可以再次用三次樣條曲線來擬合得到凸輪的等距包絡線方程，即砂輪磨削路線。通過砂輪磨削路線，我們可以獲得理想的數控加工指令代碼，這些數據是誤差補償所必需的基礎數據。

本文分別建立了數控凸輪軸磨床的幾何誤差模型、精密加工約束條件方程和各項誤差參數的辨識方法，為精密加工指令值的求解奠定了理論基礎。對于加工一個特定的凸輪所需的理想砂輪中心路線上的每一個列表點，按照上述方法，依次求得其所對應的精密數控指令值之后，我們就可以把這一系列的精密數控指令值寫成圓弧格式的G代碼形式，輸入數控系統便可以直接驅動數控凸輪軸磨床，完成精密凸輪磨削加工過程。因此，提高凸輪加工精度的問題就轉化為在考慮磨床運動誤差因素影響下，給定什么樣的數控驅動指令值，能使凸輪廓形的幾何加工誤差趨于零的問題。

6 結論

（1）基于多體系統理論，能夠準確、方便地建立數控凸輪軸磨床幾何誤差模型。利用這一模型可以推導出該磨床精密加工條件約束方程。

（2）計及磨床自身結構誤差和運動誤差的精密加工條件方程，隱含了數控指令、刀具路線和刀具軌跡之間的相互映射關系。該方程既可以用于求解精密的數控加工指令值，又可以用于求解真實的刀具軌跡，兩者是同一問題的正解和逆解。

（3）利用多體系統理論的幾何誤差參數辨識模型結合球桿儀測量原理所提出的辨識方法，能夠很好地解決該磨床的幾何誤差參數辨識問題，但在提高方程解的精度方面還需做進一步研究。

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