王芙蓉，李順初，許東旭

(西華大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所， 四川 成都 610039)

0 引言

特殊函數(shù)[1]不僅是研究數(shù)學(xué)問題中所必須的，也是力學(xué)、物理學(xué)、大氣科學(xué)和海洋學(xué)以及工程技術(shù)研究中所不可缺少的.近年來(lái)的研究[2～4]表明，針對(duì)具有轉(zhuǎn)向點(diǎn)的奇攝動(dòng)問題及流體線性穩(wěn)定流動(dòng)等問題的數(shù)學(xué)模型，可經(jīng)變量替換轉(zhuǎn)化為Airy方程(z″-xz=0)來(lái)求解.

本文對(duì)Airy方程作適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q將其轉(zhuǎn)化為Bessel方程，而Bessel方程在解偏微分方程(滲流微分方程)的邊值問題中經(jīng)常見到，因此對(duì)Bessel方程的求解問題的研究[5～13]就顯得極為重要.2004年提出的解的相似結(jié)構(gòu)理論，即將微分方程的解析表達(dá)式進(jìn)行整理和化簡(jiǎn)，得到解式的相似結(jié)構(gòu)形式，更精確地分析了邊界條件對(duì)微分方程邊值問題的解的影響[14～18].

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，經(jīng)觀察分析所求的Airy方程的一類邊值問題的解可知，此解具有類似于實(shí)數(shù)可表示為連分式的所謂式相似的性質(zhì).分析求解Airy方程的一類邊值問題的步驟可知，此邊值問題可以先由Airy方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解和右邊界條件系數(shù)構(gòu)造出相似核函數(shù)，再由左邊界條件中的系數(shù)決定的相似結(jié)構(gòu)式進(jìn)行組裝，得到Airy方程的一類邊值問題的解，從而獲得求解該類邊值問題的一個(gè)新方法——相似構(gòu)造法.該方法不僅方便了工程模型的求解和分析，而且方便了相應(yīng)工程分析軟件的編制.

1 問題的提出

本文研究如下Airy方程的一類邊值問題:

作者簡(jiǎn)介:王芙蓉(1990～)，女，湖北荊門人，碩士生，研究方向?yàn)槲⒎址匠碳捌鋺?yīng)用.

(1)

其中a，b，m，n，α，β，U均為實(shí)數(shù)，且U≠0，β>α>0，m2+n2≠0.

在下述第2部分給出四個(gè)有用的引理，第3部分論證兩個(gè)基本定理，第4部分給出相似構(gòu)造法的步驟及舉例說(shuō)明，最后歸納幾點(diǎn)認(rèn)識(shí).

2 預(yù)備知識(shí)

引理2 Airy方程的通解為

(2)

其中:d1，d2為任意常數(shù);Ih(·)，Kh(·) 分別為h階的第一、第二類變型Bessel函數(shù).

引理3 構(gòu)造二元函數(shù)

ψm，n(x1，y1，t)=Km(x1t)In(y1t)+(-1)m-n+1Im(x1t)Kn(y1t)

(3)

則有

(4)

(5)

(6)

證 根據(jù)變型的Bessel函數(shù)的微分性質(zhì)[19]:

則有

同理可證(5)、(6)式成立.

為便于Airy方程邊值問題(1)的解的構(gòu)造，下面引入引解函數(shù)及解的生成函數(shù).

引理4 由Airy方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解z1(x) ，z2(x)來(lái)構(gòu)造二元函數(shù)(稱為引解函數(shù))。

從而得到

(7)

(8)

(9)

(10)

(7)～(10)式稱為解的生成函數(shù).

證 同引理3，根據(jù)變型的Bessel函數(shù)的微分性質(zhì)[19]，可得:

同理可證(9)、(10)式成立.

3 主要定理及其證明

定理1 邊值問題

(11)

(其中m，n，α，β均為實(shí)數(shù)，且β>α>0，m2+n2≠0)有唯一解：

(12)

證 由于 -x≤0，x∈(α，β)，則根據(jù)微分方程邊值問題解的唯一性定理[20]知，邊值問題(11)有唯一解.

根據(jù)引理2知， Airy方程的通解為(2)式 ，則

(13)

(14)

由于邊值問題(11)有唯一解，則關(guān)于待定系數(shù)d1，d2的線性方程(13)、(14)的系數(shù)行列式△≠0，

即

mφ1，0(α，β)+nφ1，1(α，β)≠0

(15)

由Cramer法則知：

(16)

(17)

將由(16)、(17)式確定的d1，d2代入(2)式中，即得邊值問題(11)的解:

再應(yīng)用(15)式及引理3，即得(12)式.下面證明，它是邊值問題(1)的解的相似結(jié)構(gòu)中的相似核函數(shù).

定理2 邊值問題(1)有唯一解

(18)

此式稱為邊值問題(1)的相似結(jié)構(gòu)式.

證 同定理1，由于-x≤0，x∈(α，β) ，則根據(jù)微分方程邊值問題解的唯一性定理[20]知，邊值問題(1)有唯一解.

(19)

(20)

△*=

(21)

由Cramer法則知：

(22)

(23)

再應(yīng)用 (21)式和引理3，整理后即得(18)式.

由定理1和定理2，經(jīng)觀察或簡(jiǎn)易地運(yùn)算，易得在實(shí)際應(yīng)用中的幾個(gè)有用的推論.

推論1 在邊值問題(1)或(11)中，若右邊界條件為z(β)=0 (即m≠0，n=0 )，則相應(yīng)的相似核函數(shù)為

(24)

推論2 在邊值問題(1)或(11)中，若右邊界條件為z′(β)=0(即m=0，n≠0)，則相應(yīng)的相似核函數(shù)為

(25)

推論3 邊值問題(1)的解式(18)的結(jié)構(gòu)中的第一個(gè)連分式有如下性質(zhì):

(26)

此式反映了解在左邊界處的本質(zhì)性的特征，在實(shí)際應(yīng)用中起著十分重要的作用.

4 利用相似構(gòu)造法求解問題

對(duì)定理1和定理2進(jìn)行分析，可得Airy方程邊值問題(1)的解的相似構(gòu)造法步驟：

第一步:由第一、第二類變型的Bessel函數(shù)構(gòu)造二元函數(shù)(3)式；

第二步:由Airy方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解構(gòu)造引解函數(shù)φ(x，ξ)，對(duì)x，ξ求偏導(dǎo)及混合偏導(dǎo)可得到解的生成函數(shù)(7)～(10)式；

第四步:由左邊界條件 [az+(1+ab)z′]|x=α=U中的系數(shù)a，b，U進(jìn)行組裝可得Airy方程邊值問題(1)的解(18)式.

例如，對(duì)邊值問題：

(27)

根據(jù)相似構(gòu)造法，求解如下:

第一步:構(gòu)造二元函數(shù)

第二步:由Airy方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解構(gòu)造引解函數(shù)φ(x，ξ)，從而得到解的生成函數(shù)

5 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

1)Airy方程邊值問題(1)的解式(18)具有類似于實(shí)數(shù)可表為連分式的所謂式相似的性質(zhì).

2)由相似核函數(shù)和左邊界條件的系數(shù)組裝得到Airy方程的一類邊值問題的解，其中相似核函數(shù)φ(x)由Airy方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解和右邊界條件確定，而當(dāng)右邊界條件的變化，只需要改變相似核函數(shù)即可，這更優(yōu)于通解的功能，是對(duì)通解的深化和發(fā)展.

3)此方法方便了工程模型的建立和求解，有利于進(jìn)一步地分析解的內(nèi)在規(guī)律和編制相應(yīng)工程分析軟件.

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