何九冉，四兵鋒

(北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044)

客流量預(yù)測是城市軌道交通規(guī)劃設(shè)計(jì)和運(yùn)營管理的基本依據(jù)，已成為城市軌道交通建設(shè)過程中的重要環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)的客流預(yù)測方法中應(yīng)用最廣泛的是時間序列方法，該方法最早起源于1927年，直到70年代末到80年代中后期才在我國得以深入研究和應(yīng)用。近年來自回歸移動平均模型(ARIMA 模型)是預(yù)測領(lǐng)域的主要方法之一，是時間序列方法中許多基本思想的基礎(chǔ)，姚亞夫等［1］應(yīng)用ARIMA 模型進(jìn)行交通流量趨勢預(yù)測，得到較好的預(yù)測結(jié)果;池啟水等［2］將ARIMA 模型應(yīng)用于煤炭消費(fèi)預(yù)測。ARIMA 方法現(xiàn)在已經(jīng)有一套完整的建模方法，但是具有一定的局限性，它假定分析的時間序列是平穩(wěn)的，對于非平穩(wěn)的時間序列預(yù)測結(jié)果不能達(dá)到最好，要將其轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種新型的預(yù)測方法，適合復(fù)雜、非線性的條件，擺脫了建立精確數(shù)學(xué)模型的困擾，具有良好的自組織性、自適應(yīng)性，有很強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力、抗干擾能力等［3］，目前已經(jīng)建立了BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、多層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并且這些模型已經(jīng)廣泛應(yīng)用于預(yù)測領(lǐng)域。例如，Deng 等［4］利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對公路客運(yùn)量預(yù)測，取得了較好的預(yù)測結(jié)果;Xiao 等［5］利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測高速公路短期交通流量，預(yù)測結(jié)果顯示RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測高速交通流量;李曉俊等［6］提出了基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐵路短期客流預(yù)測模型。

近年來，許多學(xué)者考慮將不同預(yù)測方法組合在一起，建立組合預(yù)測模型從而提高預(yù)測的精度。例如Tsai等［7］提出多時序單位神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和并行組合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對鐵路客運(yùn)需求進(jìn)行預(yù)測;Zheng 等［8］將貝葉斯法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合對短期的高速公路交通流預(yù)測，結(jié)果表明組合模型的預(yù)測效果比單個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型更好。

城市軌道交通的客流具有一定的時序特征，即客流量隨著年、月、周、日的變化而變化的規(guī)律，其中最明顯的時序特征是客流以周為周期，每個周期中客流具有相似的變化趨勢，由于客流易于受到多種因素的影響，每個周期內(nèi)客流變化大小均不相同，具有一定的非平穩(wěn)時間序列特征，因此，本文擬采用ARIMA-RBF 組合模型來描述和預(yù)測同時具有周期性和非平穩(wěn)時間序列特征的客流數(shù)據(jù)，主要做了以下幾個方面的工作:(1)從客流量折線圖中總結(jié)客流的時序特征，選出用于預(yù)測的歷史客流量數(shù)據(jù);(2)用ARIMA 模型對客流進(jìn)行預(yù)測，得到包含客流的線性特征的客流預(yù)測結(jié)果和包含非線性特征的ARIMA 預(yù)測誤差;(3)用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對ARIMA 預(yù)測誤差進(jìn)行預(yù)測，建立ARIMA-RBF 組合預(yù)測模型。

1 ARIMA 模型

一般來說原始的城市軌道交通客流量數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)時間系列，需要通過(d 階)差分計(jì)算將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列{yt}:

式中，B 被稱為后移算子。

對于平穩(wěn)化處理后的序列{yt}采用ARMA(p，q)模型就可以得到ARIMA(p，q)模型，設(shè)

式中，yt為t 時刻的觀測值，{εt}為零均值白噪聲序列，φi(i=1，2，3，…，p)和θj(j=1，2，3，…，q)為參數(shù)，p為自回歸階數(shù)，q 為移動平均階數(shù)，φ(B)和θ(B)為算子多項(xiàng)式，并且

ARIMA(p，d，q)模型可以表示為:

2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種逼近性能良好的前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)簡潔，具有學(xué)習(xí)速度快，還存在局部極小等優(yōu)點(diǎn)［3］，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有3 層結(jié)構(gòu)，即:輸入層、隱含層和輸出層。通常，一個具有m 個輸入值、n 個隱含節(jié)點(diǎn)及一個輸出值的RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

在圖中，{x1，x2，…，xn}為輸入數(shù)據(jù)，輸入層的神經(jīng)元個數(shù)由輸入數(shù)據(jù)的種類決定;F(x)為單輸出，(ω1，ω2，…，ωn)為隱含層與輸出層之間的連接權(quán)重。輸入層節(jié)點(diǎn)只是將數(shù)據(jù)傳遞到隱含層，所以輸入層節(jié)點(diǎn)到隱含層節(jié)點(diǎn)間的連接權(quán)重為1，隱含層節(jié)點(diǎn)i 的輸出為

圖1 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The architecture diagram of RBF neural network

其中，i=1，2，…，m;R 為徑向基函數(shù)，Ci為第i 個神經(jīng)元的徑向基函數(shù)中心，σi為第i 個神經(jīng)元的徑向基函數(shù)的寬度參數(shù);‖X-Ci‖為歐式范數(shù)。

隱含層徑向基函數(shù)可以選用不同的函數(shù)，通常使用高斯函數(shù)作為徑向基函數(shù)，即，

所以RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出可以表示為:

式中，F(xiàn)(x)為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。

3 ARIMA-RBF 組合模型

實(shí)際的客流變化不僅有線性規(guī)律也有非線性規(guī)律，ARIMA 模型和RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分別適用于線性和非線性條件下的客流預(yù)測，本文將這兩種模型組合，所建立的組合模型既能把握客流序列的線性規(guī)律，又能考慮到客流序列的非線性規(guī)律。

設(shè)一個客流序列由線性和非線性組成構(gòu)成，即:

圖2 ARIMA-RBF 模型預(yù)測流程圖Fig.2 Prediction flowchart of an ARIMA-RBF model

式中，Lt和Nt分別表示客流序列的線性和非線性組成。

首先用ARIMA 模型對客流序列中的線性組成進(jìn)行預(yù)測，得到具有非線性特征的ARIMA 模型的預(yù)測誤差et:

然后將et其作為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入單元，則RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以表示為:

式中，f 為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合的非線性方程，εt為隨機(jī)誤差，設(shè)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果為，則有:

4 實(shí)例分析

本文選取北京地鐵1 號線2011年2月21日～2012年5月27日的客流量數(shù)據(jù)預(yù)測1 號線2012年5月28日～6月3日的客流量，數(shù)據(jù)由北京市地鐵運(yùn)營有限公司提供。下面對1 號線2011年2月21日～2012年5月27日客流量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

4.1 數(shù)據(jù)分析

4.1.1 北京市軌道交通客流量數(shù)據(jù)分析

本文選取北京地鐵1 號線2011年2月21日～2012年5月27日的日客流量進(jìn)行分析，客流的變化見圖3。

由圖3 可以看出，客流量基本呈現(xiàn)以周為周期變化的趨勢。節(jié)假日因素對客流量影響較大，節(jié)假日期間客流變化與平常日客流明顯不同。元旦、清明節(jié)、五一勞動節(jié)、端午節(jié)、國慶節(jié)和中秋節(jié)期間客流量較大，五一勞動節(jié)和國慶節(jié)期間客流量能達(dá)到全年最大客流量，春節(jié)期間的客流量大幅度降低，出現(xiàn)全年最低值。并且客流變化規(guī)律也與平常日不同，除了我國法定節(jié)假日外，3月8日婦女節(jié)、圣誕節(jié)也會出現(xiàn)客流較大的變化。節(jié)假日因素不僅影響著節(jié)假日期間客流的變化，也會導(dǎo)致節(jié)前一周的客流量發(fā)生較大的變化。

圖3 1 號線2011年2月21日～2012年5月27日客流量變化趨勢圖Fig.3 Variation diagram of passenger flow from February 21，2011 to May 27，2012 for line 1

4.1.2 北京市軌道交通平常日客流量數(shù)據(jù)分析

本文是對2012年5月28日～6月3日平常日的客流進(jìn)行預(yù)測，節(jié)假日對客流變化的影響較大，所以本文將1 號線2011年2月21日～2012年5月27日期間，受到元旦、3月8日婦女節(jié)、清明節(jié)、五一、端午節(jié)、國慶節(jié)、中秋節(jié)和春節(jié)、圣誕節(jié)等節(jié)假日影響的節(jié)假日及節(jié)前一周的客流量剔除，選取2011年2月21日～2012年5月27日期間不包含任何節(jié)假日的294個平常日，共計(jì)42 個完整周的日客流量進(jìn)行分析，客流變化趨勢如圖4 所示?？梢钥吹?，1 號線在2011年2月21日～2012年5月27日期間平常日客流量以周為周期發(fā)生規(guī)律性的變化:每一周內(nèi)周一到周四是工作日，這幾天的客流量相差不是很大，周五的客流量明顯變多，周六、周日的客流量又呈明顯的下降趨勢，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于工作日的客流量;另外可以看出平常日客流量整體呈現(xiàn)一定的非平穩(wěn)特征，下面用數(shù)學(xué)方法分析平常日客流序列的平穩(wěn)性和周期性。

4.1.3 平常日客流數(shù)據(jù)平穩(wěn)性和周期性分析

自相關(guān)函數(shù)圖、偏自相關(guān)函數(shù)圖和單位根檢驗(yàn)是考察時間序列平穩(wěn)性最重要的工具，本文利用SPSS 軟件繪制2011年2月21日～2012年5月27日期間284 個平常日共計(jì)42 個完整周的客流量的自相關(guān)函數(shù)圖和偏自相關(guān)函數(shù)圖，見圖5。

從圖5 中可以看出，平常日客流的自相關(guān)函數(shù)圖呈明顯的周期性波動，周期長度為7，以周期長度及其整數(shù)倍數(shù)為階數(shù)的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)值均顯著地不為0，說明此時間序列為具有周期性的非平穩(wěn)時間序列。

利用Eviews 軟件對平常日客流進(jìn)行單位根檢驗(yàn)結(jié)果見表1。

從表1 中可以看出單位根統(tǒng)計(jì)量ADF=-2.142258，大于Eviews 給出的顯著性水平1%～10%的ADF臨界值，所以認(rèn)為該平常日客流序列是非平穩(wěn)的。

圖4 1 號線2011年2月21日～2012年5月27日平常日客流變化趨勢圖Fig.4 Variation diagram of daily passenger flow from February 21，2011 to May 27，2012 for line 1

圖5 1 號線2011年2月21日～2012年5月27日平常日客流自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)圖Fig.5 The ACF and PACF diagrams of daily passenger flow from February 21，2011 to May 27，2012 for line 1

4.1.4 數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理

由以上分析可知平常日客流序列是以一周為周期的非平穩(wěn)時間序列，需要將客流數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，即進(jìn)行周期差分。定義經(jīng)過平穩(wěn)化處理后的數(shù)據(jù)序列為{yt}，{yt}共有277 個數(shù)據(jù)，{yt，t=1，2，…，277}的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖見圖6。

表1 1 號線2011年2月21日～2012年5月27日平常日客流單位根檢驗(yàn)結(jié)果Table 1 The unit root test results of line one ordinary day passenger flow during February 21，2011 to May 27，2012

圖6 {yt}的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)圖Fig.6 The ACF and PACF diagrams of {yt}

可以看出，經(jīng)過周期差分后得到的時間序列{yt，t=1，2，…，277}的自相關(guān)函數(shù)在9 階后截尾，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾，說明此序列已成為平穩(wěn)時間序列，可以用來構(gòu)建ARIMA 模型。

對平穩(wěn)化處理后的時間序列{yt}進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果見表2。

從表2 中可以看出{yt}的單位根統(tǒng)計(jì)量ADF=-4.305616，小于Eviews 給出的顯著性水平1%～10%的ADF 臨界值，所以認(rèn)為該序列是平穩(wěn)的。

通過以上分析可知，節(jié)假日因素對城市軌道交通客流的影響是較大的，不同節(jié)假日期間客流的變化規(guī)律是不同的;平常日客流雖然呈現(xiàn)以周為周期的變化規(guī)律，但是屬于非平穩(wěn)時間序列，經(jīng)過周期差分處理后的序列成為平穩(wěn)時間序列。

表2 {yt}單位根檢驗(yàn)結(jié)果Table.2 The unit root test results of {yt}

4.2 實(shí)例預(yù)測

4.2.1 預(yù)測過程

本文選取2011年2月21日～2012年5月27日期間294 個平常日共計(jì)42 個完整周的客流量數(shù)據(jù)預(yù)測2012年5月28日～6月3日的客流量，預(yù)測過程見圖7。

圖7 ARIMA-RBF 模型客流預(yù)測流程圖Fig.7 The forecasting process of ARIMA-RBF model

284 個平常日客流分為3 部分:2011年2月21日～2011年12月18日期間224 個平常日、2012年1月9日～2012年3月25日期間35 個平常日、2012年4月9日～2012年5月27日期間35 個平常日。首先利用2011年2月21日～2011年12月18日期間平常日的客流量數(shù)據(jù)構(gòu)建ARIMA 模型，預(yù)測2012年1月9日～2012年6月3日平常日的客流量，由此可以得到2012年1月9日～2012年6月3日期間平常日客流量的預(yù)測值，通過和實(shí)際客流量對比，再將得到的2012年1月9日～2012年3月25日平常日的ARIMA 模型的預(yù)測誤差作為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)，2012年4月9日～2012年5月27日期間平常日的ARIMA 模型的預(yù)測誤差作為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期望輸出，從而構(gòu)建RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測2012年5月28日～2012年6月3日的ARIMA 模型預(yù)測客流量的誤差，將ARIMA 模型的預(yù)測值與RBF 模型預(yù)測的誤差值相加得到最終的客流預(yù)測值。

4.2.2 預(yù)測結(jié)果

本文分別用ARIMA 模型、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和ARIMA-RBF 組合預(yù)測模型對北京地鐵1 號線2012年5月28日～2012年6月3日的客流量進(jìn)行預(yù)測，用平均絕對相對百分比誤差(MAPE)作為預(yù)測結(jié)果的評價指標(biāo)，其計(jì)算公式為:

圖8 三種模型預(yù)測結(jié)果的平均絕對相對百分誤差Fig.8 Mean relative absolute percentage errors of the prediction results for the three models

式中，yi為1 號線路所預(yù)測的一周內(nèi)第i 天客流量的真實(shí)值，^yi為預(yù)測值，三種模型所預(yù)測的一周內(nèi)日客流量的平均絕對相對百分比誤差如圖8 所示。

從圖8 中可以看出，三種模型對北京地鐵1 號線2012年5月28日～6月3日的日客流量的預(yù)測結(jié)果中，ARIMA-RBF 模型預(yù)測結(jié)果的預(yù)測誤差最小，平均每天的預(yù)測誤差為3%，ARIMA 模型的預(yù)測誤差最大，平均每天的預(yù)測誤差為4%，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差介于ARIMA 模型和ARIMA-RBF 模型之間，由此可見，ARIMA-RBF 模型的預(yù)測效果最好。

5 結(jié)論

本文構(gòu)建了ARIMA-RBF 組合預(yù)測模型，其核心思想就是先用ARIMA 模型對客流變化中的線性規(guī)律進(jìn)行擬合，再用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對具有非線性特征的ARIMA 預(yù)測誤差進(jìn)行預(yù)測，從而能考慮了客流變化的非線性特征，將兩個模型的預(yù)測結(jié)果相加得到客流量的預(yù)測值。預(yù)測結(jié)果表明，本文建立的預(yù)測模型能夠提高預(yù)測精度，減小預(yù)測誤差，還能充分考慮軌道交通平常日客流的周期性和非平穩(wěn)性特征，在城市軌道交通平常日客流預(yù)測領(lǐng)域具有很好的適用性。

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