李潔，何世偉，何必勝

(北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京100044)

為緩解日益嚴(yán)重的城市交通擁堵問(wèn)題，我國(guó)一些特大城市大力開(kāi)展軌道交通建設(shè)，在較短時(shí)期內(nèi)由單一線路形成網(wǎng)絡(luò)。由于路網(wǎng)規(guī)模的快速擴(kuò)大，原有的單線運(yùn)營(yíng)管理模式不能完全適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)，迫切要求研究新方法以應(yīng)對(duì)這種快速變化的新局面。成網(wǎng)條件，即總控制中心負(fù)責(zé)多條線路的運(yùn)行控制和協(xié)調(diào)調(diào)度，線路采用相同類(lèi)型的信號(hào)系統(tǒng)和供電制式，更新的車(chē)輛及運(yùn)營(yíng)設(shè)備類(lèi)型保持統(tǒng)一和兼容，可實(shí)現(xiàn)維修、配件和技術(shù)資源的充分共享。而城市軌道車(chē)輛價(jià)格昂貴，在固定設(shè)備投資中占較大比重，車(chē)底運(yùn)用計(jì)劃又是城市軌道交通運(yùn)營(yíng)規(guī)劃中重要的內(nèi)容之一，因此運(yùn)營(yíng)效益最大化要求投入適當(dāng)數(shù)量的車(chē)輛，合理地安排列車(chē)接續(xù)和檢修，縮短列車(chē)非生產(chǎn)時(shí)間，提高利用率，降低運(yùn)營(yíng)成本。

軌道交通運(yùn)營(yíng)問(wèn)題一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)內(nèi)容。Tomoshi Otsuki等［1］將機(jī)車(chē)車(chē)輛配置問(wèn)題定義為多商品流問(wèn)題，并提出基于搜索的啟發(fā)式算法。Luis Cadarso等［2］分析了在發(fā)車(chē)頻率高、站間距短的快速公交網(wǎng)絡(luò)中，建立模型解決不同線路間的能力與車(chē)輛共享問(wèn)題。王彥棟［3］建立了以接續(xù)時(shí)間和維修時(shí)間最少為目標(biāo)函數(shù)的車(chē)底運(yùn)用計(jì)劃模型?？姷榔剑?］分別從車(chē)底使用數(shù)量最少和均衡性最好的角度建立模型。徐瑞華等［5］提出“運(yùn)行圖周期分析法”，建立多種交路條件下城市軌道交通通過(guò)能力和車(chē)底數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。吳濤［6］推演出共線運(yùn)行圖不同行車(chē)間隔時(shí)間條件下的運(yùn)行圖周期和車(chē)底運(yùn)用列數(shù)的計(jì)算方法。陶志祥［7］從客流特征、運(yùn)營(yíng)管理、基礎(chǔ)設(shè)施及設(shè)備兼容等方面分析了區(qū)域城際鐵路與城市軌道交通跨線運(yùn)行的兼容性?？梢?jiàn)，國(guó)外的研究工作主要集中在列車(chē)的編組方案、通過(guò)能力等方面，以靈活的編組結(jié)合對(duì)行車(chē)密度的調(diào)節(jié)來(lái)適應(yīng)不同時(shí)期和不同時(shí)段客流量變化的要求，雖然研究較成熟，但不符合我國(guó)城市軌道交通固定編組的情況，不能直接應(yīng)用，但其建模思路與方法可作為借鑒經(jīng)驗(yàn)。而我國(guó)城市軌道交通大多以單線運(yùn)營(yíng)為基礎(chǔ)，研究多以單線路條件為背景，或以成網(wǎng)條件下的客流情況和運(yùn)輸能力為研究方向，較少涉及到成網(wǎng)條件下的車(chē)底運(yùn)用計(jì)劃。

本文給出成網(wǎng)條件下城市軌道交通車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題的優(yōu)化方法，即基于網(wǎng)絡(luò)流模型的單車(chē)場(chǎng)與多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模型，以構(gòu)建最優(yōu)任務(wù)序列(即行車(chē)計(jì)劃)，節(jié)省車(chē)底使用數(shù)，降低運(yùn)營(yíng)成本。最后采用ILOG CPLEX 12.5優(yōu)化軟件，結(jié)合算例對(duì)模型求解分析，并與啟發(fā)式算法進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了求解方法的高效性。

1 成網(wǎng)條件下城市軌道交通車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題研究

1.1 問(wèn)題描述

城市軌道交通車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題可以描述為:給定時(shí)刻表等相關(guān)信息，在滿足相關(guān)約束條件下，調(diào)度車(chē)輛執(zhí)行時(shí)刻表給定任務(wù)(中間可插入空駛班次以減少車(chē)輛需求)，使每一任務(wù)均有唯一車(chē)輛執(zhí)行，從而構(gòu)建車(chē)輛執(zhí)行的任務(wù)序列(行車(chē)計(jì)劃)。其最主要的優(yōu)化目標(biāo)是在現(xiàn)有車(chē)輛水平下安排車(chē)輛調(diào)度方案使運(yùn)用車(chē)輛數(shù)或費(fèi)用最少。

與公交可靈活地進(jìn)行區(qū)域調(diào)度不同，城市軌道車(chē)輛只能在既定軌道上行駛，交路形式略顯單一，可以從公交的行車(chē)計(jì)劃編制中汲取經(jīng)驗(yàn)。為研究城市軌道交通車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題從單線向網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)的變化情況，本文以單車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題和多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題為理論基礎(chǔ)。

單車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題指一條線路只配備有一個(gè)車(chē)場(chǎng)，該線路上的所有收發(fā)車(chē)任務(wù)均由此車(chē)場(chǎng)的車(chē)底完成。我國(guó)多數(shù)城市的軌道交通路網(wǎng)為單線疊加而成，這種調(diào)度方案可以很好的滿足客流成網(wǎng)的運(yùn)營(yíng)組織需求，而且組織模式簡(jiǎn)單，易于操作，穩(wěn)定性強(qiáng)。針對(duì)單車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題，提出最小總成本的優(yōu)化目標(biāo)和約束條件。

隨著軌道交通的迅速發(fā)展，路網(wǎng)不斷升級(jí)，車(chē)場(chǎng)建設(shè)增多，線路間聯(lián)系緊密，單車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模式轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘬?chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模式，包含以下兩種情況:(1)一條線路配備多個(gè)車(chē)場(chǎng)，即單線路多車(chē)場(chǎng);(2)每條線路配備車(chē)場(chǎng)不唯一，可以實(shí)現(xiàn)車(chē)輛在線路間的跨線運(yùn)營(yíng)，即多線路多車(chē)場(chǎng)。多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模式研究解決區(qū)域內(nèi)多個(gè)場(chǎng)站的車(chē)輛整合調(diào)度問(wèn)題，指定最佳的執(zhí)行車(chē)輛(分布于多個(gè)車(chē)場(chǎng))使區(qū)域內(nèi)所需的車(chē)輛數(shù)最少。

成網(wǎng)條件下的城市軌道交通車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題涉及單車(chē)場(chǎng)和多車(chē)場(chǎng)兩種情況，需根據(jù)線路和車(chē)場(chǎng)的具體形式進(jìn)行具體分析。

1.2 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建與符號(hào)描述

n∈N表示任務(wù)集合;rk∈R表示出發(fā)車(chē)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)集合，tk∈T表示到達(dá)車(chē)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)集合;Vk=N∪R∪T為車(chē)場(chǎng)中節(jié)點(diǎn)集合;A={r×N，N×t}為單車(chē)場(chǎng)中弧段集合，Ak={rk×N，N×tk}為多車(chē)場(chǎng)中弧段集合。

車(chē)底調(diào)度網(wǎng)絡(luò)可以定義為:單車(chē)場(chǎng)時(shí)有網(wǎng)絡(luò) G=(V，A)，多車(chē)場(chǎng)時(shí)對(duì)每一車(chē)場(chǎng) k∈K有網(wǎng)絡(luò)Gk∈(Vk，Ak)。其中，該網(wǎng)絡(luò)中從r到t路徑表示一輛車(chē)的可行調(diào)度方案?？尚姓{(diào)度方案集合就是能覆蓋所有任務(wù)的從r到t的路徑集合。

m∈M表示單車(chē)場(chǎng)中的車(chē)輛集合，m∈Mk表示車(chē)場(chǎng)k的車(chē)輛集合;

cij表示連接弧(i，j)∈A的成本，一般設(shè)置為行程時(shí)間(不包括車(chē)次任務(wù)時(shí)間)，本文中以秒為計(jì)量單位;對(duì)于(i，j)∈N駛出駛?cè)胲?chē)場(chǎng)的弧段(r，i)(j，t)，其成本為車(chē)輛使用的固定成本，換算為秒計(jì)量;

tij表示連接任務(wù)i，j的最小折返時(shí)間，此處指同一車(chē)站的折返時(shí)間;

nij表示連接任務(wù)i，j的列車(chē)編組數(shù);

l為所用車(chē)輛長(zhǎng)度;

Lij為任務(wù)i，j所在線路上的最小站臺(tái)長(zhǎng)度;

ymij為單車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模型的0-1決策變量，ykmij為多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模型的0-1決策變量，表示第m輛車(chē)在完成了任務(wù)i后是否接續(xù)任務(wù)j。

1.3 建立模型

構(gòu)造單車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)G。

圖1中，節(jié)點(diǎn)包括任務(wù)節(jié)點(diǎn)(任務(wù)a、任務(wù)b、任務(wù)c、任務(wù)d，如表1所示)和車(chē)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)(分別用r，t代表起始點(diǎn)和終止點(diǎn))。(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)(b，d)，(c，d)為 6 條連接弧，其余為車(chē)場(chǎng)駛?cè)腭偝龌?。具體假設(shè)該車(chē)場(chǎng)存在3輛車(chē)。路徑r-a-c-t即為1輛車(chē)的調(diào)度方案，而r-a-c-t和r-b-d-t組成的路徑集合即為一可行調(diào)度方案。該可行的調(diào)度方案對(duì)應(yīng)的決策變量值如下:y1ra=1，y1ac=1，y1ct=1，y2rb=1，y2bd=1，y2dt=1，第 3 輛車(chē)空閑。

圖1 單車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Single-depot rolling stock assignment network

表1 任務(wù)時(shí)間表Table 1 Task scheduling table

單車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模型如下:

式(1)表示成本最小;約束(2)，(3)表示每一任務(wù)都必須被一輛車(chē)完成;約束(4)表示連接的兩任務(wù)間要滿足最小折返時(shí)間;約束(5)為變量約束。

構(gòu)造多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)，如圖2所示。

圖2 多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Multi-depot rolling stock assignment network

式(6)表示成本最小;約束(7)保證每一任務(wù)由一輛車(chē)完成;約束(8)流量守恒約束;約束(9)表示連接的兩任務(wù)要滿足最小折返時(shí)間;約束(10)表示完成i，j任務(wù)的列車(chē)長(zhǎng)度應(yīng)符合站臺(tái)長(zhǎng)度要求;約束(11)為變量約束。

在實(shí)際調(diào)度過(guò)程中，很多車(chē)場(chǎng)要求車(chē)輛回歸本段停放，即車(chē)輛從哪個(gè)車(chē)場(chǎng)出發(fā)，結(jié)束任務(wù)后必須回到原始車(chē)場(chǎng)，這樣就方便了車(chē)輛的管理與維修。其中約束(8)在保證流量守恒的同時(shí)，也要求車(chē)輛回段，該約束對(duì)模型的影響將在后文中進(jìn)一步分析。

車(chē)場(chǎng)調(diào)度問(wèn)題的求解方法主要有以下3類(lèi):精確算法、啟發(fā)式方法以及模擬方法。本文選擇ILOG CPLEX 12.5作為求解方法，ILOG CPLEX 12.5提供靈活的高性能優(yōu)化程序，在應(yīng)用程序開(kāi)發(fā)和部署過(guò)程中，開(kāi)發(fā)者可以使用多種不同的方法與ILOG CPLEX 12.5進(jìn)行交互，即可以通過(guò)大多數(shù)編程環(huán)境來(lái)訪問(wèn)ILOG CPLEX 12.5，并在多個(gè)平臺(tái)上對(duì)其進(jìn)行使用，實(shí)現(xiàn)了可移植性，多用于模擬實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)，本文還將免疫克隆算法作為對(duì)比算法，此算法相比于其他智能優(yōu)化算法，具有克隆、超變異、免疫記憶等特色功能，而且收斂速度快、易于編程實(shí)現(xiàn)，在保證收斂速度的同時(shí)又能維持抗體的多樣性，算法參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］。但是該算法迭代后期容易出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，導(dǎo)致搜索精度不高，對(duì)初始解有較強(qiáng)的依賴(lài)性，容易陷入局部最優(yōu)。當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)模較小時(shí)，ILOG CPLEX 12.5收斂速度快;當(dāng)規(guī)模較大時(shí)，收斂速度慢，可能會(huì)出現(xiàn)內(nèi)存溢出現(xiàn)象，無(wú)法獲得可行解。

2 算例分析

2.1 案例背景

本研究選取上海地鐵2號(hào)線與7號(hào)線為例進(jìn)行分析計(jì)算。表2為案例分析所涉及的參數(shù)。

表2 參數(shù)介紹Table 2 Parameter introduction

各停車(chē)場(chǎng)及車(chē)輛段位置如圖3所示。

每條線路開(kāi)通初期，兩車(chē)場(chǎng)并非同時(shí)投入運(yùn)營(yíng)，建設(shè)時(shí)間有先后，在第2個(gè)車(chē)場(chǎng)投入使用前，單線路車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題可由單車(chē)場(chǎng)模型解決。隨著2號(hào)線與7號(hào)線的其余車(chē)場(chǎng)建成投用后，形成多車(chē)場(chǎng)局面。龍陽(yáng)路停車(chē)場(chǎng)共同用于2號(hào)線與7號(hào)線列車(chē)的停放與養(yǎng)護(hù)，但是兩條線路車(chē)輛仍然獨(dú)立使用，未形成網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)。假設(shè)將來(lái)隨著客流量的不斷增多，7號(hào)線擴(kuò)大為8節(jié)編組，兩條線路統(tǒng)一調(diào)度，即可實(shí)現(xiàn)車(chē)輛的跨線行駛。川沙停車(chē)場(chǎng)主要用于4節(jié)編組的列車(chē)停放，在廣蘭路站以西形成一個(gè)擁有3個(gè)車(chē)場(chǎng)、兩條線路的小型區(qū)域網(wǎng)絡(luò)，以此為研究對(duì)象展開(kāi)進(jìn)一步分析。

2.2 計(jì)算結(jié)果

以列車(chē)間隔為基礎(chǔ)，選取周一至周四的早高峰時(shí)段(7:00～9:00)，編制行車(chē)計(jì)劃表，將所有車(chē)次的任務(wù)按照發(fā)車(chē)時(shí)間先后順序從1開(kāi)始排列，利用ILOG CPLEX 12.5軟件輸出任務(wù)序列和總成本費(fèi)用。不考慮折返線數(shù)量的限制。

(1)2號(hào)線獨(dú)立運(yùn)營(yíng)(圖4)。選取兩個(gè)車(chē)場(chǎng):北翟路車(chē)輛段、龍陽(yáng)路停車(chē)場(chǎng)，兩個(gè)車(chē)站:廣蘭路站、淞虹路站，為單線路多車(chē)場(chǎng)，符合多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模型。計(jì)算得總成本費(fèi)用為14 472 s(即連接弧的時(shí)間費(fèi)用總和，由于任務(wù)固定，故未包括車(chē)底執(zhí)行車(chē)次過(guò)程的時(shí)間費(fèi)用，下面計(jì)算方法相同)，使用車(chē)輛25列。

(2)7號(hào)線獨(dú)立運(yùn)營(yíng)(圖5)。選取2個(gè)車(chē)場(chǎng):陳太路停車(chē)場(chǎng)、龍陽(yáng)路停車(chē)場(chǎng)，2個(gè)車(chē)站:上海大學(xué)站、花木路站，為單線路多車(chē)場(chǎng)，符合多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模型。計(jì)算得總成本費(fèi)用為11 040 s，使用車(chē)輛32列。

(3)網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)(圖6)。選取3個(gè)車(chē)場(chǎng):北翟路車(chē)輛段、陳太路停車(chē)場(chǎng)、龍陽(yáng)路停車(chē)場(chǎng)，4個(gè)車(chē)站:上海大學(xué)站、花木路站、廣蘭路站、淞虹路站，為多線路多車(chē)場(chǎng)，符合多車(chē)場(chǎng)車(chē)底運(yùn)用模型。計(jì)算得總成本費(fèi)用為22 512 s，使用車(chē)輛55列。

圖3 二號(hào)線及七號(hào)線停車(chē)場(chǎng)及車(chē)輛段位置示意圖Fig.3 Illustration of parking lot and depot location for lines 2 and 7

圖6 實(shí)行網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)后列車(chē)運(yùn)行圖Fig.6 Train timetable for transit network

2.3 結(jié)果分析

通過(guò)3組數(shù)據(jù)的對(duì)比可以看出，當(dāng)實(shí)現(xiàn)2號(hào)線與7號(hào)線的跨線運(yùn)營(yíng)后，總成本費(fèi)用相對(duì)于兩線獨(dú)立運(yùn)營(yíng)的成本費(fèi)用之和降低了近12%，運(yùn)用總車(chē)輛數(shù)也同時(shí)減少。城市軌道交通車(chē)輛價(jià)格昂貴，這樣一來(lái)大大減少了投資成本與維修費(fèi)用，可將節(jié)省的列車(chē)當(dāng)作備用車(chē)輛，有積極的現(xiàn)實(shí)意義。這說(shuō)明成網(wǎng)條件下，車(chē)底資源得到了有效配置，達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。

若執(zhí)行完一天的開(kāi)行計(jì)劃后要求車(chē)輛回歸本段停放，增加這一約束，重新求解得到另一組數(shù)據(jù)，見(jiàn)表3。

表3 車(chē)輛是否回歸本段運(yùn)算結(jié)果Table 3 Results of entering a depot or not

從表3中可以看出，當(dāng)要求車(chē)輛回歸本段停放時(shí)，得到的總成本費(fèi)用大于或等于第一組數(shù)據(jù)，這是因?yàn)檐?chē)輛執(zhí)行完所有載客任務(wù)后，部分車(chē)輛必須空駛回原始車(chē)場(chǎng)，增加了一部分費(fèi)用。從結(jié)果來(lái)看，總體上該約束對(duì)任務(wù)節(jié)點(diǎn)的接續(xù)情況影響不大。若車(chē)型相同，只要盡量保證各車(chē)場(chǎng)車(chē)輛數(shù)的均衡，以便順利執(zhí)行開(kāi)行方案，即可在完成所有任務(wù)后，車(chē)輛不要求回到原始車(chē)輛段，從而減少空駛。

本文采取免疫克隆算法與軟件ILOG CPLEX 12.5對(duì)模型進(jìn)行求解，最終求解結(jié)果中的總成本費(fèi)用與使用車(chē)輛數(shù)二者保持一致，但免疫克隆算法求解模型的平均運(yùn)行時(shí)間為5.1 s，平均迭代次數(shù)為227次，而ILOG CPLEX 12.5平均運(yùn)行時(shí)間為1.59 s，平均迭代次數(shù)75次。兩種算法的求解關(guān)系迭代圖如圖7所示。當(dāng)求解數(shù)據(jù)規(guī)模較小時(shí)，相比于免疫克隆算法，ILOG CPLEX 12.5在求解模型上運(yùn)行時(shí)間更短，收斂性更強(qiáng)，驗(yàn)證了ILOG CPLEX 12.5求解模型的高效性。

圖7 ILOG與免疫克隆算法求解模型關(guān)系曲線Fig.7 Relationship curves of the solution model of ILOG and immune clone algorithms

當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)模較大時(shí)，再運(yùn)用ILOG CPLEX 12.5與免疫克隆算法進(jìn)行求解，得到表4所示對(duì)比結(jié)果。當(dāng)任務(wù)數(shù)由130變?yōu)?04時(shí)，ILOG的求解時(shí)間仍然低于免疫克隆算法。任務(wù)數(shù)擴(kuò)大到292時(shí)，ILOG求解時(shí)間明顯增大，再增至460時(shí)求解時(shí)間已經(jīng)達(dá)到16 832.7 s，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)免疫克隆算法的19.0 s。而執(zhí)行全天的896個(gè)任務(wù)時(shí)，免疫克隆算法只需37.4 s，ILOG雖能獲得可行解，但求解時(shí)間太長(zhǎng)，效率較低，當(dāng)線路增加任務(wù)數(shù)更多時(shí)，該方法不可行。由此可見(jiàn)，ILOG CPLEX 12.5雖然能獲得優(yōu)化解，但是隨著問(wèn)題規(guī)模的擴(kuò)大，其求解速度變慢，免疫克隆算法求解質(zhì)量相對(duì)差一些，卻能有相對(duì)較快的求解速度。因此，在實(shí)際的生產(chǎn)工作中，應(yīng)該將ILOG CPLEX 12.5與免疫克隆算法配合使用，當(dāng)對(duì)計(jì)算的求解質(zhì)量要求較高時(shí)，采用ILOG CPLEX 12.5，而對(duì)時(shí)效性要求較高時(shí)，選擇免疫克隆算法。

3 結(jié)論

本文主要研究了成網(wǎng)條件下城市軌道交通車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題。隨著地鐵網(wǎng)絡(luò)化的發(fā)展，單車(chē)場(chǎng)調(diào)度模型存在一定的局限性，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了多車(chē)場(chǎng)調(diào)度模型，建立了使總成本費(fèi)用最少的目標(biāo)函數(shù)，約束中考慮了折返時(shí)間、站臺(tái)長(zhǎng)度等現(xiàn)實(shí)條件，并新增是否回場(chǎng)的約束。采用ILOG CPLEX 12.5和免疫克隆算法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了求解分析，并結(jié)合算例驗(yàn)證了模型和求解方法的有效性，為成網(wǎng)條件下的城軌車(chē)底運(yùn)用問(wèn)題提供了較好的決策參考依據(jù)。

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